Grandeurs et mesures

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1 Grandeurs et mesures

2 Table des matières N Leçon Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Page Me1 La longueur (1) X X X 3 Me2 Utiliser la règle graduée X X X 4 Me3 La longueur (2) X X 5 Me4 La masse (1) X X X 6 Me5 La masse (2) X X 7 Me6 La capacité/le volume (1) X X X 8 Me7 Le capacité/le volume (2) X X 9 Me8 Effectuer des conversions X X 10 Me9 Tableau de conversion X X 11 Me10 La monnaie X X X 12 Me11 Lecture de l heure X X X 13 Me12 Les mesures de durées X X 15 Me13 Les conversions de durées X X 15 Me14 Les calculs de durées X 16 Me15 Le périmètre X X X 17 Me16 Le périmètre du carré et du rectangle X X 17 Me17 La longueur du cercle X 18 Me18 Le volume du pavé X 18 Me19 Aires et périmètres X X 19 Me20 Mesurer une aire X 20 Me21 L aire des figures usuelles X 21 Agnès Gay 2

3 La longueur (1) Me1 Niveau 1 Mesurer une longueur, c est mesurer la distance d un point à un autre, ou la taille de quelque chose (sa hauteur, sa largeur ) L unité de mesure utilisée pour mesurer des longueurs est le mètre (m). Mais quand un objet est trop grand ou trop petit, on peut utiliser des multiples du mètre : le kilomètre (km) le centimètre (cm), le millimètre (mm) longueurs mesurées en kilomètres (km) la distance entre deux villes ; la distance parcourue par un vélo lors d une ballade ; longueurs mesurées en mètres (m) la hauteur d un immeuble ; les dimensions d une pièce ; la taille d un orque ; longueurs mesurées en centimètres (cm) la taille d un crayon ; la hauteur de la table d un élève ; le tour de taille d une personne ; longueurs mesurées en millimètres (mm) la taille d un insecte ; la largeur d une dent ; 1 km = m 1 m 1 m = 100 cm 1 m = mm Pour mesurer une longueur, on peut utiliser : - Une règle graduée - Un mètre enrouleur - Un satellite pour les très grandes distances Remarque : dans certains pays, on utilise d autres unités pour mesurer : en Angleterre, on ne mesure pas en «mètres», mais en «miles». Agnès Gay 3

4 Utiliser la règle graduée Me2 Niveau 1 Une règle graduée est une règle sur laquelle sont tracés des repères d unités de longueur. Voici une règle graduée en centimètres : 1 cm 1 mm ½ cm = 5 mm Le nombre de centimètres est écrit en dessous de chaque grand trait. Chaque centimètre contient 10 mm (les petits traits). Le trait correspondant à 5 mm est un peu plus long pour qu on le repère facilement. Pour mesurer un trait avec une règle, je dois poser la règle le long du trait, en positionnant le zéro exactement au début du trait. Ensuite, je regarde jusqu où va mon trait. Mon résultat est le nombre de centimètres complets suivi du nombre de millimètres Ce trait mesure 2 cm et 7 mm. Ce trait mesure 2,7 cm. Agnès Gay 4

5 La longueur (2) Me3 Niveau 2 Tableau des mesures de longueurs : kilomètre (km) Les multiples L UNITE Les sous-multiples hectomètre (hm) décamètre (dam) mètre (m) 1000 m 100 m 10 m 1 m décimètre (dm) m centimètre (cm) m millimètres (mm) m 1 km = 1000 m 1 hm = 100 m 1 dam = 10 m 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm On remarque que chaque unité de longueur commence par un préfixe. Chaque préfixe a une signification bien précise qu on retrouve dans d autres unités de mesures. kilo mille fois plus grand milli mille fois plus petit hecto cent fois plus grand centi cent fois plus petit déca dix fois plus grand déci dix fois plus petit Agnès Gay 5

6 La masse (1) Me4 Niveau 1 Mesurer la masse d un objet, c est dire «combien il pèse». L unité de mesure utilisée pour mesurer des masses est le gramme (g). Mais quand un objet est trop lourd ou trop léger, on peut utiliser des multiples du gramme : la tonne (t), le kilogramme (kg), le milligramme (mg) masses mesurées en tonnes (t) la masse d une baleine ; la masse de la production de pommes de terre d un champ ; masses mesurées en kilogrammes (kg) la masse d un enfant ; la masse d un cartable ; masses mesurées en grammes (g) la masse de la farine nécessaire pour faire un gâteau ; la masse d un poussin ; masses mesurées en milligrammes (mg) la masse d un médicament ou d une substance chimique ; 1 t = g 1 kg = g 1 g 1 g = 1000 mg Pour mesurer une longueur, on peut utiliser : - Une balance de Roberval - Un pèse-personne - Un pèse-lettre - Une balance de cuisine Remarque : dans certains pays, on utilise d autres unités pour mesurer : en Angleterre, on ne mesure pas une masse en «grammes», mais en «stones» et en «ounces». Agnès Gay 6

7 La masse (2) Me5 Niveau 2 Tableau des mesures des masses : Les multiples L UNITE Les sous-multiples Tonne (t) Quintal (q) X kilogramme (kg) hectogramme (hg) décagramme (dag) gramme (g) décigramme (dg) centigramme (cg) milligramme (mg) g 1000 kg g 100 kg 1000g 10 kg 1000 g 100 g 10 g 1 g g g g 1 t = g 1 q = g 1 kg = 1000 g 1 hg = 100 g 1 dg = 10 g 1 g = 10 dg 1 g = 100 dg 1 g = 1000 dg On remarque que chaque unité de masse commence par un préfixe. Chaque préfixe a une signification bien précise qu on retrouve dans d autres unités de mesures. kilo mille fois plus grand milli mille fois plus petit hecto cent fois plus grand centi cent fois plus petit déca dix fois plus grand déci dix fois plus petit Agnès Gay 7

8 La capacité / le volume (1) Me6 Niveau 1 Mesurer la capacité d un récipient, c est indiquer le volume qu il pourra contenir. Mesurer le volume d un liquide ou d un objet, c est mesurer la place qu il prend. L unité de mesure utilisée pour mesurer des volumes est le litre (l). Mais quand un objet est trop volumineux ou trop petit, on peut utiliser des multiples du litre : l hectolitre (hl), le millilitre (ml) volumes mesurés en hectolitres (hl) le volume d eau dans une citerne volumes mesurés en litres (l) le volume d eau dans une bouteille le volume d air expiré par un être humain volumes mesurés en millilitres (ml) le volume de salive produit en une minute 1 hl = 100 l 1 l 1l = 1000 ml Pour mesurer un volume, on peut utiliser : - Un verre mesureur - Une éprouvette graduée Remarque : on mesure aussi les volumes à l aide d une autre unité : le m 3 (se prononce mètre cube). 1 l = 1 dm 3 Ainsi, pour mesurer la capacité d un objet, on n utilise pas d instrument de mesure, mais les dimensions de l objet. Agnès Gay 8

9 La capacité / le volume (2) Me7 Niveau 2 Tableau des mesures des volumes : Les multiples L UNITE Les sous-multiples Le kilolitre n est pas utilisé hectolitre (hl) décalitre (dal) litre (l) 100 l 10 l 1 l décilitre (dl) l centilitre (cl) l millilitre (ml) l 1 hl = 100 l 1 dl = 10 l 1 l = 10 dl 1 l = 100 dl 1 l = 1000 dl On remarque que chaque unité de masse commence par un préfixe. Chaque préfixe a une signification bien précise qu on retrouve dans d autres unités de mesures. kilo mille fois plus grand milli mille fois plus petit hecto cent fois plus grand centi cent fois plus petit déca dix fois plus grand déci dix fois plus petit Agnès Gay 9

10 Effectuer des conversions Me8 Niveau 2 Quand effectuer une conversion? Certaines situations mathématiques nécessitent d effectuer des conversions : quand on veut comparer ou additionner des données il faut qu elles aient la même unité, exprimée selon le même multiple. Une sculpture fait 3 m de haut. La partie basse de la structure pèse 1,5 t. La partie haute pèse 650 kg. On ne peut pas additionner des t et des m. On peut additionner des t et des kg, mais seulement en convertissant l une des données. On sait que 1 t = kg. Donc 1,5 t = kg La sculpture pèse donc kg ( = 2150) Comment effectuer une conversion? Pour effectuer une conversion, le plus simple est d utiliser un tableau de mesures. Ex : Convertir 54 kg en g : 54 kg = Convertir 432 cg en g : 432 cg = Convertir 7,4 dag en dg : 7,4 dag = t q X kg hg dag g dg cg mg , 3 2 Il faut donc décaler la virgule vers la gauche ou vers la droite afin de modifier le multiple. Agnès Gay 10

11 Tableau de conversion Me9 Niveau 2 kilo hecto déca déci centi milli t (tonnes) q (quintal) X kg hg dag g dg cg mg hl dal l dl cl ml Km hm dam m dm cm mm

12 La monnaie Me10 Niveau 1

13 Lecture de l heure Me11 Niveau 1 Sur une horloge à aiguilles, la petite aiguille indique les heures, la grande aiguille indique les minutes. Il existe donc une double graduation autour de l horloge. Ici, il est 10 heures et 12 minutes. On écrit : 10h12 Attention : la petite aiguille (celle des heures), avance très lentement, mais elle avance quand même! Il faut donc être précis dans la lecture de l heure. Quand il est 9h10, la petite aiguille n est plus sur le 9, elle a légèrement avancé. Agnès Gay 13

14 Quand il est 9h30, la petite aiguille est à mi-chemin entre le 9 et le 10. Quand il est 9h45 (ou 10h moins de quart), la petite aiguille est proche du 10. Pour passer de l heure du matin à l heure du soir, il suffit d ajouter 12h : 3h10 (l après-midi) 3+12=15, on dit donc 15h10 10h45 (le soir) = 22, on dit donc 22h45 Agnès Gay 14

15 Les mesures de durées Me12 Niveau 2 Pour mesurer une durée, on peut utiliser : - Une montre à aiguille ou digitale - Un gnomon ou un cadran solaire - Une clepsydre - Un chronomètre - Un calendrier année mois jour (j) heure (h) 12 mois 52 semaines 30 jours* 24 h 60 min 365 jours *Attention : certains mois du calendrier ont 28, 29 ou 31 jours minute (min) 60 s h seconde (s) min Les conversions de durées Me13 Niveau 2 Ex : convertir 3j 11h 42min en minutes : 3j = 3 x 24h 11h = 11 x 60 min 42min = 42 min = 3 x 24 x 60 min = 660 min = 4320 min Donc 3j 11h 42min = = 5022 min Ex2 : convertir 7852min en jours, heures et minutes : = 130h, reste 52min = 5j, reste 10h Donc 7852 min = 5j 10h 52min Agnès Gay 15

16 Les calculs de durées Me14 Niveau 3 Pour additionner ou soustraire des durées : il faut, comme dans une opération, aligner les classes (jours, heures, minutes ) et effectuer des retenues si besoin. Ania part à 16h35 de l école. Son trajet dure 17 minutes. A quelle heure arrive-t-elle? 16h35min + 17min = Ania arrivera à 16h52 à l école h 3 5 min + 0 h 1 7 min 1 6 h 5 2 min Pour être exact, il faut parfois convertir le résultat obtenu : Pour cuisiner un la tarte préférée de ma tante, il faut compter : 20 minutes de préparation, 32 minutes de cuisson et 40 minutes au réfrigérateur avant de la déguster. Combien de temps est nécessaire à la confection de cette tarte? La confection de la tarte durera 102 min. Or, 1h=60min =42 Donc la confection de la tarte durera 1h42min min min min min Agnès Gay 16

17 Le périmètre Me15 Niveau 1 Le périmètre d une figure est la mesure du «tour» de la figure. Calculer le périmètre d un polygone : 5 cm P polygone = ,8 = 14,8 cm 2 cm 2 cm 1,8 cm 4 cm P polygone = sommes des mesures des côtés Le périmètre du carré et du rectangle Me16 Niveau 2 Le périmètre du carré (ou du losange) : x P carré = x + x + x + x P carré = 4 x x Le périmètre du rectangle (ou du parallélogramme) : P rectangle = l + l + L + L P rectangle = 2 x l + 2 x L ou P rectangle = 2 x (L + l) l L Agnès Gay 17

18 La longueur du cercle Me17 Niveau 3 Le cercle étant une ligne courbe, on ne parle pas du périmètre du cercle, mais de la longueur d un cercle, ou de la circonférence d un cercle. P cercle = π x r x 2 P cercle = π x D d r avec π ~ 3,14 π (se prononce pi) est un nombre mystérieux qui a été découvert quand on a cherché à calculer le rapport entre la circonférence d un cercle et son diamètre. Le volume du pavé Me18 Niveau 3 Volume du pavé : V pavé = longueur x largeur x hauteur 6 cm V pavé = 3 x 2 x 6 = 36 cm 3 Le volume d un solide ne se calcule pas en litre mais en m 3. 3 cm 2 cm Agnès Gay 18

19 Aire et périmètre Me19 Niveau 2 Il ne faut pas confondre l aire et le périmètre d une figure : Le périmètre d une figure est la mesure du tour de la figure. Ici, P = 16 côtés de carreau + 6 diagonales de carreau L aire d une figure est la mesure de la surface de la figure, la place qu elle occupe. Ici, A = 30 carreaux Agnès Gay 19

20 Mesurer une aire Me20 Niveau 3 L aire est la valeur de la place occupée par une surface. Elle est exprimée selon une unité (Ex : 1 m 2, 1 carreau du cahier ) Pour calculer l aire occupée par une surface, il faut savoir combien de fois l unité peut être placée à l intérieur de celle-ci. Ex : l aire de cette figure est de 11 unités. Les unités usuelles de calcul des aires : Les principales unités utilisées sont le cm 2, le m 2 et le km 2. 1 cm 2 = 1 m 2 = cm 2 1 km 2 = m 2 Attention : avec les aires, quand on veut passer d un multiple à l autre (ex : de centi à déci), il ne faut pas multiplier la valeur par 10, mais par 100, car il y a 100 cm 2 dans 1 dm 2. Agnès Gay 20

21 Tableau de conversion des unités de mesures d aires : Ex : 320 m 2 = hm 2 =. cm 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm L aire des figures usuelles Me21 Niveau 3 Aire d un carré de x cm de côté A carré = x x x x Aire d un rectangle de longueur L et de largeur l : A rectangle = L x l l L Agnès Gay 21

22 Aire d un losange ou un parallélogramme de y cm de côté et de hauteur h : A losange = A parallélogramme = y x h h h y y Aire d un triangle de base B et de hauteur h : A triangle = B x h 2 h B Attention : l aire et le périmètre d une surface sont deux mesures différentes. Le périmètre mesure la longueur totale des côtés d une surface, l aire mesure la place occupée par une surface. Deux surface peuvent avoir même périmètre, mais des aires différentes, et inversement. Ex : 1 cm A = P = 6 cm 2 cm A = P = 3 cm 4 cm A = P = 1 cm Agnès Gay 22