Électronique de puissance - Mécatronique

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1 Modélisation vectorielle en triphasé 3. Actionneurs : ISEN

2 Modélisation vectorielle en triphasé Plan du cours 1 Modélisation vectorielle en triphasé Triphasé équilibré et champs tournants 2

3 Modélisation vectorielle en triphasé Objectif du cours Commande directe des machines synchrones et asynchrones : Complexe. Non linéaire. Objectifs : Obtenir une commande en vitesse linéaire du type de celle des moteurs à courant continu. Maximiser l efficacité de la commande : optimisation du couple instantané.

4 Triphasé équilibré et champs tournants Modélisation des machines réelles Système triphasé équilibré : Triphasé : grandeurs déphasées de 2π 3. Équilibré : G a (t) + G b (t) + G b (t) = 0, grandeur G. On note : v 1 [v abc ] = v 2, [i abc ] = i 2 et [Φ abc ] = Φ 2 v 3 i 3 Φ 3 i 1 Φ 1

5 Triphasé équilibré et champs tournants Modélisation des machines réelles Pourquoi le triphasé? Création d un champ tournant polyphasé. Pourquoi ne pas utiliser du diphasé (comme dans les modèles présenté au cours n 2)? Diphasé : 2 alimentations en tension en quadrature 4 fils d alimentation (i 1 + i 2 0). Triphasé : 3 alimentations de tension en décalage de fils d alimentation (i 1 + i 2 + i 3 = 0) donc pas besoin de fil de retour. Autres avantages : réduits les harmoniques de rang 3.

6 Triphasé équilibré et champs tournants Modélisation des machines réelles Système triphasé et champs tournant : Expression des forces magnétomotrices dans la direction OM : F a (θ, t) = Ki a (t)cos(θ) F b (θ, t) = Ki b (t)cos(θ 2π 3 ) F c (θ, t) = Ki c (t)cos(θ + 2π 3 )

7 Triphasé équilibré et champs tournants Modélisation des machines réelles Expression des courants : i a (t) = I cos(ωt) i b (t) = I cos(ωt 2π 3 ) i c (t) = I cos(ωt + 2π 3 ) Force magnétomotrice résultante : F(θ, t) = 3 K I cos(ωt θ) 2 Les 3 bobinages créent un champ tournant à la vitesse ω.

8 Modélisation vectorielle en triphasé Triphasé équilibré et champs tournants Modélisation des machines réelles Système triphasé équilibré et asservissement : Triphasé équilibré système lié : G c = G a G b Grandeurs statoriques et rotoriques : Déphasage spatio-temporel de θ = ω r t (angle entre le rotor et le stator). L asservissement des grandeurs triphasées non transformées est inutilement complexe. On introduit des transformations vectorielles pour simplifier le problème.

9 Triphasé équilibré et champs tournants Transformée de Concordia (1) Triphasé équilibré système lié : G c = G a G b Idée : Rendre ce système de tensions décorrélé. Transformée de Concordia (matrice de passage orthogonale [Co]) : G 0 G α = G a G b = [ Co ] G a G b G 3 β 0 G c G c Transformée inverse de Concordia ([Co] 1 ) : G a G b = G 0 G α = [ Co ] 1 G a G b G c G β G c

10 Triphasé équilibré et champs tournants Transformée de Concordia (2) Propriétés : Permet de passer d un système triphasé à un système diphasé (en quadrature) + composante homopolaire. Conserve les puissances. Décorrèle la matrice de couplage inductif entre phases. G 0 : composante homopolaire nulle si système équilibré.

11 Triphasé équilibré et champs tournants Matrice de rotation (1) Concordia au stator : système diphasé à axes fixes OK Concordia au rotor : système diphasé à axes tournants dépendant de θ. Idée : Rendre le vecteur [ ] G 0αβ au rotor indépendant de θ. Matrice de rotation (matrice de passage orthogonale [ρ(θ)]) : G 0 G d = cosθ sin θ G 0 G α = [ ρ(θ) ] G 0 G α 0 sinθ cosθ G q Matrice de rotation inverse ([ρ(θ)] 1 ) : G 0 G α = cosθ sinθ G 0 G d = [ ρ(θ) ] 1 G 0 G d 0 sin θ cosθ G β G β G q G β G q

12 Triphasé équilibré et champs tournants Matrice de rotation (2) Propriétés : Permet de passer d un système diphasé rotorique tournant à un système diphasé fixe. Conserve les puissances.

13 Triphasé équilibré et champs tournants Transformée de Park (1) Combinaison de la transformée de Concordia et de la rotation : Transformée de Park (orthogonale) : [P] = [Co][ρ(θ)] G 0 = G d G q cosθ cos(θ 2π 3 ) cos(θ + 2π 3 ) sinθ sin(θ 2π 3 ) sin (θ + 2π 3 ) G a G b G c Transformée de Park inverse :[P] 1 = [ρ(θ)] 1 [Co] 1 G a = G b G c cosθ sin θ 1 2 cos(θ 2π 3 ) sin(θ 2π 3 ) G 0 G d 1 2 cos(θ + 2π 3 ) sin(θ + 2π 3 ) G q

14 Triphasé équilibré et champs tournants Transformée de Park (2) Propriétés : Permet de passer d un système triphasé rotorique tournant à un système diphasé fixe. Conserve les puissances. G 0 : composante homopolaire nulle si système équilibré. Il existe une transformée de Park conservant les courants (peu d intérêt).

15 Triphasé équilibré et champs tournants Transformée de Park (3) : Application à une machine Application à une machine (synchrone ou asynchrone) : Tensions statoriques dans une machine : [v abc ] = [R][i abc ] + d dt [Φ abc] [P] 1 [v odq ] = [R][P] 1 [i odq ] + d dt ( ) [P] 1 [Φ odq ] On multiplie par [P] pour passer dans le repère de Park : [v odq ] = [R][i odq ] + [P] d ( ) [P] 1 [Φ odq ] dt [v odq ] = [R][i odq ] + [P] d[p] 1 [Φ odq ] + d[φ odq] dt dt

16 Triphasé équilibré et champs tournants Transformée de Park (4) : Application à une machine On montre que : [P] d[p] 1 dt = dθ dt En projetant [v odq ], on obtient alors : v o = Ri o + dφ o dt v d = Ri d + dφ d dt v q = Ri q + dφ q dt = 0 (equilibre) dθ dt Φ q + dθ dt Φ d

17 Triphasé équilibré et champs tournants Transformée de Park (5) : Application à une machine On obtient les puissances (active ou/et réactive) en multipliant par le courant : Ri 2 d + (dφ d dt Ri 2 q + ( dφ q dt dθ dt Φ q)i d + dθ dt Φ d)i q Termes en Ri 2 d : dissipation thermique (P J) Termes en dφ d dt i d et dφ q i q : puissance réactive (Q e ). dt Termes en dθ dt Φ di q et dθ dt Φ qi d : puissance active (P e ).

18 Modélisation vectorielle en triphasé Triphasé équilibré et champs tournants Transformée de Park (5) : Application à une machine Finalement, la puissance active est égale à : P e = dθ dt Φ di q dθ dt Φ qi d or mécaniquement (p : nombre de paires de poles) : On a donc en éliminant P e : 1 dθ P e = C e Ω = C e p dt C e = p(φ d i q Φ q i d )

19 Machine synchrone : commande scalaire On considère une Machine Synchrone à Aimants Permanents (MSAP) à pôles lisses : Rq : Dans une machine à pôles lisses, la valeur de l inductance de chacun des enroulements statoriques ne varie pas lorsque le rotor tourne (les lignes de champs sont toujours canalisées de la même manière).

20 Modélisation vectorielle en triphasé (2) Tensions statoriques dans une machine synchrone : [v abc ] = R[i abc ] + d dt [Φ abc] L M M [v abc ] = R[i abc ]+ M L M d dt [i abc] + d dt M M L }{{} Inductances statoriques cos θ cos θ 2π Φ 3 f cos θ + 2π 3 }{{} Flux Φ f au stator

21 Modélisation vectorielle en triphasé (3) On montre (voir plus loin) que le couple moteur est de la forme : C = k Φ f I sin δ Pour piloter la machine il faut maintenir l angle δ à une valeur permettant d obtenir le couple souhaité Autopilotage on observe θ de manière à piloter les courants [i abc ] avec un décalage d angle δ fixé. Le pilotage se fait par asservissement des courants sur leur consignes.

22 Modélisation vectorielle en triphasé (3)

23 (4) Intérêt de l autopilotage (scalaire ou vectoriel) : Permet de réaliser une commande en vitesse de la machine. Fort couple au démarrage Inconvénients de l autopilotage scalaire : L asservissement se fait sur des courants sinusoïdaux performances médiocres et difficile à implanter en temps réel. La transformée de Park permet de transformer les courants sinusoïdaux [i abc ] en courants constants [i odq ] : on commande alors la norme d un vecteur courant Contrôle vectoriel

24 (1) On considère une Machine Synchrone à Aimants Permanents (MSAP) à pôles saillants (utilisée en mécatronique) : Rq : La saillance des pôles (dissymétrie) va faire varier périodiquement (à chaque demi-tour) la valeur de l inductance de chacun des enroulements statoriques (selon que lignes de champs sont canalisées ou non).

25 (2) Tensions statoriques dans une machine synchrone : [v abc ] = R[i abc ] + d dt [Φ abc] [v abc ] = R[i abc ] + L M M M L M d dt [i abc] + d cos θ cos θ 2π Φ 3 f dt M M L cos θ + 2π 3 L s cos(2θ) L s cos 2(θ + 2π ) 3 Ls cos 2(θ 2π ) 3 + L s cos 2(θ + 2π ) 3 Ls cos 2(θ 2π ) Ls cos 2θ d 3 L s cos 2(θ 2π ) 3 Ls cos 2θ Ls cos 2(θ + 2π ) dt [i abc] 3 }{{} Inductances dues aux poles saillants

26 (3) On applique la transformée de Park : R + sl [v odq ] = 0 R + sl d L q ω [i odq ] + sφ f 0 L d ω R + sl q 0 avec : L 0 = L + 2M L d = L M L s L q = L M 3 2 L s s d dt (Laplace) ω = dθ dt Rq : On note que la transformée de Park permet de simplifier la matrice des inductances et de ne plus la faire dépendre de l angle θ.

27 Modélisation vectorielle en triphasé (4) En introduisant les flux de Park [φ odq ] on obtient : [v odq ] = R R 0 [i odq ] + s s ω [φ odq ] 0 0 R 0 ω s avec Φ o = L 0 i o, Φ d = L d i d + Φ f, Φ q = L q i q. On en déduit l expression du couple : C e = p(φ d i q Φ q i d ) = p((l d i d + Φ f )i q (L q i q )i d ) C e = p(φ f i q + (L d L q )i d i q )

28 (5) C e = p(φ f i q + (L d L q )i d i q ) L d = L q si la saillance est nulle (invariance du rotor par rotation) L s = 0 et les termes en cos(2θ) disparaissent. On retrouve une expression du couple du type : C e = p(φ f i q ) = B 0 SI sin(δ), avec δ l angle entre l aimant et le champ tournant. En pratique : L q > L d le courant i d doit être maintenu à 0 pour avoir un couple maximal : commande vectorielle. Le réglage du couple se fait via le flux ou le courant i q.

29 (6) Autopilotage d une machine synchrone par commande vectorielle.

30 (7) Intérêt de l autopilotage vectoriel : Permet de réaliser une commande en vitesse de la machine. L asservissement de fait sur des grandeurs fixes dans le temps ([i odq ]). Une machine synchrone autopilotée vectoriellement est techniquement supérieure en tous points à une MCC de même puissance (couple de démarrage, précision,...) Inconvénients de l autopilotage vectoriel : Nécessité d avoir un contrôleur de type DSP pour réaliser les transformations de Park.

31 Modélisation vectorielle en triphasé On considère une Machine Asynchrone à cage d écureuil : Rq : Dans une machine asynchrone à cage d écureuil, les spires au rotor sont constituées par des barres de fer entourant le rotor et formant une cage cylindrique appelée cage d écureuil.

32 (2) Enroulements dans une machine asynchrone : Tensions statoriques dans une machine asynchrone : [v s abc ] = R s [i s abc ] + d dt [Φ s abc] Tensions rotoriques (court-circuit) dans une machine asynchrone : [v r abc ] = R r [i r abc ] + d dt [Φ r abc] = [0]

33 Modélisation vectorielle en triphasé (2) [ ] [Vs ] = R [V r ] [ ] [Is ] + d [I r ] dt [ [Ls ] [M sr ] [M sr ] [L s ] ][ [Is ] [I r ] ] avec l s M s M s l r M r M r [L s] = M s l s M s [L r] = M r l r M r M s M s l s M r M r l r cos(θ) cos(θ + 2π ) cos(θ 2π ) 3 3 [M sr] = [M r s] = M sr cos(θ 2π ) cos(θ) cos(θ + 2π ) 3 3 cos(θ + 2π ) cos(θ 2π ) cos(θ) 3 3

34 (3) On montre que le couple moteur moyen est égal à : < C >= 3pω s Φ 2 s [ ( R g R g ) ] 2 = 3pΦ 2 s [( ) ] 2 + (Nωs ) 2 R + (N) 2 ω r R ω r avec N = (L r M2 L s ) ( Ls M ) 2 M = 2 Msr R = Rr 3 Le couple peut être réglé entre autres par : ( ) 2 Ls M Le flux statorique (via la tension d alimentation par exemple) La pulsation ω s d alimentation. La résistance rotorique (automatique grâce à l effet de peau sur un rotor à cage profonde)

35 Modélisation vectorielle en triphasé (4) Evolution du couple pour diverses tensions et fréquences d alimentation.

36 (3) Pour une pulsation d alimentation ω s donnée et à flux constant, le couple est maximal lorsque la valeur du glissement vaut : Ce qui nous donne : g = R Nω s ω s = ω r + R N Il faut donc asservir la vitesse du champ tournant statorique sur la vitesse de rotation de la machine pour maximiser le couple : On utilise un autopilotage scalaire permettant d asservir les tensions statoriques V abc.

37 (4) Intérêt de la commande scalaire : Permet de réaliser une commande en vitesse de la machine. Fort couple au démarrage Inconvénients de la commande scalaire : L asservissement se fait sur des courants sinusoïdaux performances médiocres et difficile à implanter en temps réel. La transformée de Park permet de transformer les courants sinusoïdaux [i abc ] en courants constants [i odq ] : on commande alors la norme d un vecteur courant Contrôle vectoriel

38 Modélisation vectorielle en triphasé (1) Rappel : Tensions dans une machine asynchrone [ ] [ ] [Vs ] [Is ] = R + d [ ][ ] [Ls ] [M sr ] [Is ] [V r ] [I r ] dt [M sr ] [L s ] [I r ] Après application de la transformée de Park, on a : V sd R s i sd Φ sd ω sφ sq V sq V rd = R s i sq R r i rd + d Φ sq dt Φ rd + ω sφ sd ω rφ rq V rq R r i rq Φ rq ω rφ rd avec Φ sd = L si sd + Mi rd, Φ sq = L si sq + Mi rq, Φ rd = L r I rd + Mi sd. On choisit la référence d angle au rotor pour avoir Φ rq = 0.

39 (2) Les enroulements au rotor sont en court-circuit, on a donc : V rd = R r i rd + dφ rd = 0 dt V rq = R r i rq + ω r Φ rd = 0 En remplaçant i rd par 1 L r (Φ r d Mi sd ) et i rq par Misq L r, on obtient : dφ rd τ r + Φ rd = M i sd dt ω r τ r Φ rd = M i sq Le flux rotorique (Φ rd ) est fixé par le courant i sd (τ r = L r /R r 100ms). A Φ rd fixé, la pulsation rotorique ω r (et donc le glissement) sont fixés par i sq.

40 Modélisation vectorielle en triphasé (3) Expression du couple moteur dans le repère de Park : avec Φsd = σl s i sd + C e = p(φ sd i sq Φ sq i sd ) ( ) M L r Φ rd, Φsq = σl s i sq et σ = 1 M2 L r L s. On obtient donc : ( M C e = p L r ) Φ rd i sq

41 Modélisation vectorielle en triphasé (4) Commande vectorielle d une machine asynchrone : ( ) M C e = p Φ rd i sq L r On fixe le flux Φ rd à une valeur constante (nominale) à l aide de i sd. On règle le couple à la valeur souhaitée à l aide de i sq. La vitesse du champ tournant ω s est fixée par la mesure de ω et par l estimation de ω r à l aide d un modèle du moteur (ω r = M isq τ rφ rd ).

42 Modélisation vectorielle en triphasé (5) Commande vectorielle d une machine asynchrone : schéma synoptique

43 (5) Intérêt de la commande vectorielle : Permet de réaliser une commande en vitesse de la machine. L asservissement de fait sur des grandeurs fixes dans le temps. Le réglage du flux et celui du couple sont distincts. Une machine asynchrone pilotée en commande vectorielle est techniquement supérieure en tous points à une MCC de même puissance (couple de démarrage, précision,...) Inconvénients de la commande vectorielle : Nécessité d avoir un contrôleur de type DSP pour réaliser les transformations de Park.

44 Bibliographie Modélisation vectorielle en triphasé Convertisseurs statiques. Modélisation et commande de la machine asynchrone. Caron Hautier. (Technip) Introduction à l electrotechnique approfondie. Séguier, Notelet et Lesenne (Tec et Doc). Convertisseurs de l électronique de puissance (Tomes 1, 2, 3, 4). Séguier (Tec et Doc). Techniques de l ingénieur (http :// Commande électronique des moteurs électriques. M. Pinard (Dunod).