AP14 - MECANIQUE DE NEWTON

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1 EXERCICE 1 : Les trajectoires, vecteurs vitesse et accélération du centre d inertie sont représentés ci-dessous : 1. En justifiant, indiquer les situations où les vecteurs sont bien représentés. 2. Pour les bonnes représentations, préciser la nature du mouvement du centre d inertie de la balle. AP14 - MECANIQUE DE NEWTON a v v a v a v a EXERCICE 2 : Le schéma suivant représente, à l échelle 1 cm,2 m.s 1, les vecteurs du centre d un mobile autoporteur au dates t k = k. t, avec t = 3 ms. Effectuer la construction raphique du vecteur accélération a 2 à l échelle 1 cm étapes. 1 m.s 2. Détailler les différentes M 3 M 2 v 3 v 1 M 1 EXERCICE 3 : Le biathlon est une épreuve combinant ski de fond et tir à la carabine. On étudie un aspect du parcours d'un athlète de masse M = 75, k portant une carabine de masse m c = 4, k. Lors du tir, une balle de masse m b = 5, est epulsée de la carabine avec une vitesse v b = 31 m.s 1. La balle doit atteindre l'une des cinq cibles disposées sur un support. 1. Calculer la quantité de mouvement de la balle à la sortie du canon. 2. On ne tient pas compte des az éjectés et on suppose que le système constitué de la carabine et de la balle est pseudo-isolé avant et après le tir Quelle randeur vectorielle reste constante avant et après le tir? 2.2. Calculer la valeur de la vitesse de recul de la carabine. 3. En réalité, l'athlète tient fermement la carabine en appui sur son épaule. Comment est modifié le raisonnement précédent dans ce cas? 4. La balle arrive à la vitesse horizontale v sur l'une des cinq cibles noires. Sous l'impact de la balle, la cible noire se déplace puis active un mécanisme qui fait basculer un cache blanc devant la cible. Le tireur sait ainsi qu'il a réussi son tir. En supposant pseudo-isolé le système constitué par la cible noire et la balle incrustée, calculer sa vitesse v' juste après l'impact. Données : v = 3 m.s 1 ; masse de la cible noire m cib1e = 6. EXERCICE 4 : Une partie de curlin se déroule en trois phases de mouvement. Première phase: un joueur pousse un bloc en ranite sur la lace puis le lâche en vue d'atteindre une cible dessinée sur la lace. Deuième phase : à l'aide de balais, ses co-équipiers frottent la lace devant le bloc pendant son déplacement; le bloc va alors en line droite et sa vitesse est constante. Troisième phase : dès que le bloc est proche de la cible, les coéquipiers cessent d'intervenir; le bloc ralentit puis s'arrête. Epreuve de tir au biathlon mécanisme cache cible Déplacement de la cible sous l impact d une balle 1. Énoncer les trois lois de Newton. 2. Pour les trois phases du mouvement du bloc : - décrire le mouvement de ce dernier dans le référentiel terrestre considéré comme aliléen. - faire l'inventaire des forces qu'il subit. - représenter ces forces sur un schéma sans souci d'échelle mais conformément au lois de Newton.

2 EXERCICE 1 : 1. Le vecteur vitesse doit être - tanent à la trajectoire au point considéré - orienté dans le sens du mouvement. CORRECTION AP 14 Le vecteur accélération est : - dirié vers l'intérieur de la trajectoire dans le cas d un mouvement circulaire ; - tanent à la trajectoire dans le cas d un mouvement rectiline. Les représentations et sont correctes. En, le vecteur vitesse n est pas dans le sens du mouvement. En, le vecteur vitesse n est pas tanent à la trajectoire et le vecteur accélération n est pas dirié vers l intérieur de la courbe. 2. En, le mouvement est rectiline (la trajectoire est une droite) et ralenti car le vecteur accélération est dans le sens opposé au mouvement. En, le mouvement est circulaire (la trajectoire est un arc de cercle) accéléré puisque l anle entre les deu vecteurs est inférieur à 9 ( a. v ). EXERCICE 2 : 1. Par définition, le vecteur accélération : a 2 = v 2 2. t = v 3 v 1 2. t M 3 M 2 v 3 v 3 v 1 a 2 Le tracé du vecteur v 2 = v 3 v 1 est représenté ci-contre. Sur le schéma, v 2 a une lonueur de 1,8 cm. 1 cm,2 m.s 1 Grâce à l échelle de représentation des vitesses, on calcule sa norme 1,8,2 1,8 cm v 2 v 2 = =,36 m.s 1 1 La norme de l accélération a 2 se calcule râce à la formule : a 2 v 2 = 2. t d où a 2 =, = 6, m.s 2 Grâce à l échelle de représentation des accélérations, on en déduit que la lonueur de a 2 est =,6 cm, ce qui permet de le tracer selon la direction et le sens de v 2 (voir construction raphique ci-dessus). En effet : 1 cm 1 m.s 2 EXERCICE 3 : (cm) 6, m.s 2 1. La quantité de mouvement de la balle est : p b = m b.v b Ainsi : p b = m b.v b = 5, = 1,6 k.s Le système {carabine + balle} est supposé pseudo-isolé, le vecteur quantité de mouvement est donc constant La conservation de la quantité de mouvement du système permet de déterminer la vitesse de recul. Avant le tir: le système étudié {carabine + balle} est immobile, la quantité de mouvement est donc nulle: p avant = Après le tir: la quantité de mouvement du système est la somme des quantités de mouvement de la balle et de la carabine: p après = p b + p c Dans le référentiel terrestre supposé aliléen, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit: p avant = p après soit p b + p c = On en déduit: p C = p b soit m c.v c = m b.v b et v c = m b m c.v b La vitesse de recul de la carabine a donc la même direction mais un sens opposé à la vitesse de la balle et : v c = m b.v b = 5, =,39 m.s 1 m c 4, - v 1 v 2 3. Le raisonnement reste identique lorsque la carabine est correctement épaulée mais le système à considérer comprend alors l'athlète, soit {athlète + carabine + balle}. La masse totale du système est plus rande que dans le cas précédent et la vitesse de recul est plus faible. M 1

3 4. Avant l'impact, la quantité de mouvement du système {balle + cible} s'écrit: p' avant = m b. v Après l'impact: p' après = (m b + m cible ) v En effet, la balle étant incrusté dans la cible, celles-ci se déplacent à la même vitesse v. m b.v La conservation de la quantité de mouvement : m b.v = (m b + m cib1e ).v' donc v' = = 5, = 23 m.s 1. m b +m cible 5, EXERCICE 4 : 1. Voir le cours pour l énoncé des lois de Newton. 2. Première phase du mouvement : Le mouvement est rectiline et accéléré. La somme des forces est donc horizontale et dans le même sens que l accélération c est-à-dire dans le sens du mouvement. Le palet subit : son poids P vertical et vers le bas, la réaction normale de la lace R verticale et vers le haut, la force de frottements f de la lace horizontale et opposée au mouvement, la force eercée par le joueur F horizontale et dans le sens du mouvement. Deuième phase du mouvement : Le mouvement est rectiline et uniforme. La somme vectorielle des forces est donc nulle. Ces forces sont donc représentées par des vecteurs de même lonueur, de même direction mais de sens contraire. Les forces subies par le palet sont : son poids P vertical et vers le bas, la réaction normale de la lace R verticale et vers le haut. Troisième phase du mouvement Le mouvement est rectiline et décéléré (ralenti). La somme vectorielle des forces est donc horizontale et de sens contraire au mouvement. Les forces subies par le palet sont : son poids P vertical et vers le bas, la réaction normale de la lace R verticale et vers le haut, la force de frottements f de la lace horizontale et opposée au mouvement.

4 AP15 - MECANIQUE DE NEWTON (SUITE) EXERCICE 5 : Le trébuchet Le trébuchet est une machine de uerre utilisée au Moyen-Âe au cours des sièes de château forts. Le projectile pouvait faire des brèches dans les murailles des château forts situés à plus de 2 m du trébuchet. Un contrepoids relié à un levier est maintenu à une certaine hauteur. Il est brusquement libéré. Au cours de sa chute, il ait sur un levier au bout duquel se trouve une poche en cuir dans laquelle est placé le projectile. Lors de sa libération, le projectile de la poche se trouve à une hauteur H = 1 m et est projeté avec une vitesse v faisant un anle avec l'horizontale. Le mouvement du projectile s'effectue dans un champ de pesanteur uniforme. z v Données : H masse du projectile m = 13 k. intensité du champ de pesanteur = 1 m.s 2. O sol hauteur du projectile au moment du lancer : H = 1 m. Le système étudié est le projectile. Les frottements de l'air et la poussée d'archimède sur le projectile seront néliés dans cette étude. Le champ de pesanteur est parallèle à l'ae (Oz). 1. Donner les caractéristiques (sens, direction et valeur) du poids P du projectile. 2. En appliquant la deuième loi de Newton dans le cadre de la chute libre, déterminer les coordonnées a et a z du vecteur accélération du centre d'inertie du projectile dans le repère indiqué. 3. Les coordonnées du vecteur vitesse initiale sont v v = v.cos v z = v.sin Déterminer l'epression des coordonnées horizontale et verticale v (t) et v z (t) du vecteur vitesse V du système au cours de son mouvement. 4. En déduire la nature du mouvement du projectile en projection sur l'ae horizontal. Justifier. 5. Déterminer l'epression des équations horaires du mouvement du projectile donnant (t) et z(t). 6. Montrer que l'équation de la trajectoire du projectile est la suivante : z = 1 2. v 2.cos2.2 +.tan + H 7. En utilisant l'équation de la trajectoire, indiquer les paramètres de lancement (pour un trébuchet donné) qui jouent un rôle dans le mouvement du projectile. 8. Dans le cas où le projectile est lancé avec une vitesse initiale horizontale, montrer que l'abscisse de son point de chute est : = v. 2.H 9. Avec quelle vitesse initiale v horizontale, le projectile doit-il être lancé pour atteindre la base du mur situé à une distance = 1 m?

5 EXERCICE 6 : Déviation dans un champ électrostatique Un champ électrostatique uniforme de valeur E = 5 2 V.m 1, est créé par un condensateur plan constitué de deu armatures planes et horizontales A 1 et A 2 y A 1 reliées à un énérateur de tension. Des électrons pénètrent dans le champ E à l'ordonnée y et sont animés de la même vitesse v parallèle au plaques. Données : Masse de l'électron : m = 9, k. Chare élémentaire : e = 1, C. Intensité du champ de pesanteur local: = 9,81 m.s 2. y v O A 2 1. Montrer par un calcul qu'il est léitime de nélier la valeur du poids P de l'électron (modélisant l'action de la Terre sur l'électron) par rapport à la valeur de la force électrostatique F (modélisant l'action du champ E sur l'électron). 2. En citant la loi utilisée, établir l'epression vectorielle de l'accélération de l'électron en fonction de e, m et E On souhaite que l'électron soit dévié vers le bas. Reproduire la fiure ci-dessus et représenter (sans souci d'échelle) E et la force électrostatique F Quelle est l'armature charée positivement? Eprimer les composantes du vecteur accélération dans le repère représenté sur la fiure ci-dessus En déduire les équations horaires du mouvement de l'électron dans ce repère Montrer que l'équation de la trajectoire est de la forme : y = A. 2 + B où A et B sont des constantes à déterminer. a 4.4. Vérifier que la constante A est liée à l'accélération «a» par la relation : A = 2.v Calculer A pour v = 1,5.1 7 m.s 1. EXERCICE 7 : Le système de positionnement Galiléo Connaître sa position eacte dans l'espace et dans le temps : autant d'informations qu'il sera nécessaire d'obtenir de plus en plus fréquemment avec une rande fiabilité. Dans quelques années, ce sera possible avec le système de radionaviation par satellite Galileo, initiative lancée par l'union européenne et l'aence spatiale européenne (ESA). Ce système mondial assurera une complémentarité avec le système actuel GPS (Global Positionin System). Complémentaire du GPS, Galileo offrira une précision au mètre près sur toute la surface du lobe, contre 5 à 1 m pour le système américain. Il assurera éalement une meilleure couverture dans les zones à haute latitude (notamment en Arctique). En combinaison avec le GPS, il pourra fonctionner dans les rands centres urbains peu déaés et en environnement contraint. Le 28 décembre 25, le satellite Giove-A, qui est le premier des 3 satellites du projet Galileo, a été mis sur une orbite circulaire par une fusée Soyouz-Fréate. Données : Constante de ravitation universelle : G = 6, m 3.k 1.s 2 Rayon de la Terre : R T = 6, km. On notera S le satellite et T le centre de la Terre. Masse de la Terre : M T = 5, k. Altitude du satellite Giove-A : h = km. 1. Epliquer le mode de propulsion de la fusée Soyouz-Fréate Dans quel référentiel doit-on se placer afin d'étudier le mouvement du satellite Giove-A? 2.2. Eprimer vectoriellement la force qui modélise l'action mécanique eercée par la Terre sur ce satellite En appliquant la 2 ème loi de Newton, déterminer l'epression vectorielle de l'accélération a de ce satellite Que peut-on alors en déduire sur son mouvement? 4. Eprimer, puis calculer la vitesse v s de ce satellite autour de la Terre Définir la période de révolution T s de ce satellite Eprimer puis calculer T s, en seconde puis en heure.

6 EXERCICE 5 : CORRECTION AP Les caractéristiques du poids P sont : Direction : la verticale Sens : vers le bas Valeur : P = m. = 13 1 = 1,3.1 3 N. 2. Système : le projectile Référentiel d étude : référentiel terrestre supposé aliléen Le système n est soumis qu à son poids P = m. z v La seconde loi de Newton s écrit : P = m. a soit m. = m. a et a = Ainsi : a a = a z = car dans le repère (O,, z), = (voir le schéma) z = 3. Les coordonnées du vecteur vitesse v s obtiennent par intération des deu équations précédentes car a = d v dt. H O sol v v = C 1 v z =.t + C 2 où C 1 et C 2 sont des constantes. En tenant compte des conditions initiales v (t=) v (t=) = C 1 v z (t=) = C 2 = v Le vecteur vitesse est : v v = v.cos v z =.t + v.sin v = v.cos v z = v.sin donc C 1 = v.cos C 2 = v.sin 4. La composante du vecteur vitesse suivant l ae O horizontal est v = v.cos, c est une constante. Ainsi, la vitesse horizontale est constante donc le mouvement sur l'ae O est uniforme. 5. Les coordonnées du vecteur position OG s obtiennent par intération des deu équations obtenues à la question 3 car v = d OG. dt = (v.cos ).t + C 3 OG z = 1 2..t2 + (v.sin ).t + C 4 où C 3 et C 4 sont des constantes. En tenant compte des conditions initiales OG(t=) (t=) = C 3 = = OG z(t=) = C 4 z = H (voir le schéma) donc C 3 = C 4 = H = (v.cos ).t Le vecteur position est : OG z = 1 2..t2 + (v.sin ).t + H 6. L équation horaire = (v.cos ).t fournit t = v.cos En injectant ceci dans l équation horaire suivant z, il vient : z = soit finalement : z = 1 2. v tan + H.cos2. v.cos 2 + v.sin. 7. Pour un trébuchet donné, H est constant, les seuls paramètres de ce lancer sont v et. 8. Lorsque le lancer est horizontal ( = ), il vient : tan = et cos = 1. L équation de la trajectoire devient :z = 1 2. v H.cos2 v.cos + H Le point de chute vérifie z = soit = 2.v H donc 2.v 2. 2 = H donc 2 = 2.v 2.H et = v. 2.H 9. En utilisant la relation précédente, il vient : v =. 2.H = =71 m.s 1.

7 EXERCICE 6 : 1. La valeur P du poids est donnée par : P = m. = 9, ,81 = 8,9.1 3 N La valeur F de la force électrostatique est : F = e.e = 1, = 8, N. F P = 8, ,9.1 3 = 9,3.113 La force électrostatique est environ 1 14 fois plus élevée que celle du poids qui peut donc être nélié. 2. Système : le projectile Référentiel d étude : référentiel terrestre supposé aliléen Le système n est soumis qu à la force électrostatique F = La seconde loi de Newton s écrit : F et = d p dt e. E soit F = m. a soit : a = F m = e. E m 3.1. La force électrostatique doit être orientée vers le bas pour que l électron soit dévié vers le bas. y y v A 1 F E Comme F = e. E, le champ électrique E est de sens opposé à la force F d où le schéma ci-contre. O A Le champ électrostatique est orienté de l armature charée positivement vers l armature charée néativement : l armature A 2 est donc l armature charée positivement D après la question 2, le vecteur accélération est : a = F m = - e. E m Les coordonnées du vecteur accélération sont donc : a a = a y = - e.e m avec E E = d après le schéma ci-dessus. E y = + E 4.2. Les coordonnées du vecteur vitesse v s obtiennent par intération des deu équations précédentes v v = C 1 v y = e.e m.t + C 2 où C 1 et C 2 sont des constantes. Condition initiale sur la vitesse : v (t=) C 1 v = v C 2 (voir le schéma) donc C 1 = v C 2 = Ainsi le vecteur vitesse est : v v = v v y = e.e m.t Les coordonnées du vecteur position OG s obtiennent par intération des coordonnées de v. OG = v.t + C 3 y = 1 2.e.E m.t2 + C 4 où C 3 et C 4 sont des constantes. Condition initiale sur la position : OG(t=) C 3 = OG C 4 y = v.t Ainsi le vecteur position est : OG y = 1 2.e.E m.t2 + y donc C 3 = v C 4 = y 4.3. L équation horaire = v.t fournit t = v. En reportant ceci dans l équation horaire suivant y, il vient : y = 1 2.e.E m. 2 + y v Cette équation est bien de la forme y = A. 2 + B avec A = 1 2. e.e m.v 2 et B = y. soit y = 1 2. e.e m.v y 4.4. Comme a = - e. E m e.e (question 2), il vient : a = - m. On obtient : A = 1 2. e.e m.v 2 = 1 2. a v 2 = 4.5. A = 1 2. e.e m.v 2 = 1 2 1, , (1,5.1 7 ) 2 = 2, m 1 Remarque : Le résultat doit être eprimé avec une unité! Pour que l équation y = A. 2 + B soit homoène, les termes y et A. 2 doivent avoir la même unité, ce qui implique que A doit être eprimé en m 1. a 2.v 2

8 EXERCICE 7 : 1. Les az epulsés par la fusée Soyouz-Fréate sont à l oriine de son mouvement : c est le mode de propulsion par réaction On doit se placer dans le référentiel éocentrique supposé aliléen F T/Sat = G. M T.m s r 2. n avec n : vecteur unitaire de direction Terre-Satellite et dirié vers la Terre où m S est la masse du satellite et «r» est le rayon de l orbite du satellite avec : r = R T + h F T/Sat est la seule force qui s applique au satellite, la 2 ème loi de Newton à ce satellite s écrit donc F et = d p dt = m s. a soit F J/Sat = m s. a soit G. M T.m s r 2. n = m s. a Terre F T/sat v S n On obtient : a = G. M T r 2. n 3.2. Dans le repère de Frenet, l epression de l accélération est a = v2 r. n + dv dt. = a = G.M T r 2. n donc dv dt =. Cela sinifie que la vitesse est constante donc que le mouvement circulaire est uniforme. 4. La relation précédente devient selon n : v2 r = G.M T r 2 v = G.M T r Remarque : attention à bien eprimer R T et h en mètres (et non en kilomètres)! = G.M T R T + h = 6, , , = 3, m.s La période de révolution T S du satellite est la durée qu il lui faut pour accomplir un tour complet sur son orbite v = d t = 2.r = 2.(R T + h) donc T S = 2.(R T + h) = 2.(6, ) T S T S v 3, = 5,7.1 4 s = 5, = 14,1 h