Chapitre 10 Vecteurs. Deux points A et B du plan, pris dans cet ordre, définissent un vecteur u ou AB. Un vecteur u se caractérise par

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1 Chapitre 10 Vecteurs 1 Deux points A et B du plan, pris dans cet ordre, définissent un vecteur u ou AB. Un vecteur u se caractérise par une direction : celle de la droite AB un sens : de A vers B une longueur : d(a, B). Origine et extrémité Les points A et B sont appelés l'origine et l'extrémité du vecteur AB. Norme d'un vecteur u = norme de u = longueur de u AB = norme de AB = longueur de AB = distance de A à B = d(a, B) = ( x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2. Vecteur nul Un vecteur nul, noté 0, est un vecteur dont la norme est nulle : Pour tout point A, v = 0 ssi AA = 0. v = 0.

2 Egalité de deux vecteurs u et v étant des vecteurs, 2 u = v ssi u et v ont même direction même sens même longueur. Propriété A, B, C et D étant quatre points du plan, non alignés trois à trois, AB = CD ssi ABDC est un parallélogramme. Vecteurs opposés u = v ssi u et v ont la même direction des sens opposés la même longueur.

3 Pour toute paire de points A et B, BA = AB 3 Représenter AB et BA en deux couleurs différentes : Vecteurs parallèles u // v ssi u et v ont la même direction. Produit d'un vecteur par un réel u et v étant des vecteurs et k étant un réel, v = ku ssi u et v ont la même direction u et v ont v = k le même sens si k > 0 des sens opposés si k < 0 u

4 Propriétés Dans ce qui suit, u et v sont des vecteurs et r, s et k sont des réels. 1) k u // u 2) Si u // v, alors il existe un réel k tel que v = k u. 3) 1 u = u 4) 0 u = 0 5) k 0 = 0 6) ( 1) u = u 7) ( rs) ( ) u = r su 4 Somme de deux vecteurs Loi de Chasles AB+ BC = AC Cette loi définit la somme de deux vecteurs AB et BC. Les vecteurs AB et BC sont dits consécutifs car l'origine de BC coïncide avec l'extrémité de AB. Si u et v sont deux vecteurs consécutifs, leur somme u + v est le vecteur tel que l'origine de u + v est l'origine de u l'extrémité de u + v est l'extrémité de v Mais comment obtenir la somme de deux vecteurs non consécutifs?

5 Deux vecteurs peuvent toujours être rendus consécutifs, car si un vecteur a une direction, un sens et une longueur, il n'a pas de position. On peut déplacer les vecteurs de manière à les rendre consécutifs, comme sur le schéma ci-dessous. On représente u', vecteur égal à u et v', vecteur égal à v de manière à ce que u' et v' soient consécutifs. u' et u ne sont pas deux vecteurs différents, ce sont deux représentants d'un même vecteur. L'adjectif "consécutif " ne s'applique pas vraiment aux vecteurs mais bien à leurs représentants. 5 La règle du parallélogramme Si AB et AC sont deux vecteurs non parallèles de même origine, alors AB+ AC = AD où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. Mise en garde Il importe de ne pas confondre la loi de Chasles et la règle du parallélogramme. L'une et l'autre permettent de construire la somme de deux vecteurs mais la loi de Chasles s'applique à des vecteurs consécutifs tandis que la règle du parallélogramme s'applique à des vecteurs de même origine. Exercices 1) Prouver que, pour des vecteurs non parallèles, la loi de Chasles implique la règle du parallélogramme. 2) Prouver que l'addition de deux vecteurs est commutative, c'est-à-dire que pour deux vecteurs u et v quelconques, u + v = v + u 3) On donne le vecteur v. Représenter les vecteurs suivants :

6 2v, 3v, 2v, v, 1 2 v et 1 v ) On donne les vecteurs u, v et w. Représenter les vecteurs suivants : u + v, v + w, ( u + v ) + w et u + ( v + w ). Comparer ( u + v ) + w et u + ( v + w ). 5) Prouver que l'addition des vecteurs est associative, c'est-à-dire que pour trois vecteurs u, v et w quelconques, ( u + v ) + w = u + ( v + w ).

7 Propriétés de l'addition des vecteurs 7 Commutativité vecteurs u et v, Associativité vecteurs u, v et w, Neutralité du vecteur nul vecteur u, u + v = v + u ( u + v ) + w = u + v + w u + 0 = u = 0 + u ( ) Propriété des vecteurs opposés vecteur u, v = u ssi u + v = 0 Distributivité de la multiplication d'un vecteur par un réel sur l'addition des vecteurs vecteurs u et v et réel k, ( ) = k k u + v u + kv Distributivité de la multiplication d'un vecteur par un réel sur l'addition des réels vecteur u et réels r et s, Somme de plusieurs vecteurs ( ) + Puisque u + v u + v + w = u + v ( r + s) u = ru + su w = u + ( v + w ), on convient que ( ) + ( ) w = u + v + w On peut généraliser à une somme d'un nombre quelconque de vecteurs. Loi de Chasles généralisée AB+ BC + CD = AD Preuve AB+ BC + CD = ( AB + BC) + CD (associativité) = AC + CD (loi de Chasles) = AD (loi de Chasles)

8 De même, AB+ BC + CD + DE = AE 8 Et on peut généraliser à un nombre quelconque de vecteurs. AB+ BC + CD + DE LM + MN = AN Différence de deux vecteurs Définition : u v = u + v ( ) Exemple : AB AC = AB+ ( AC) = AB+ CA = CA + AB = CB Combinaison linéaire de vecteurs Une combinaison linéaire de vecteurs est une expression du type a u + b v + c w +... où chaque terme est le produit d'un vecteur par un réel. Propriété Soient u et v deux vecteurs non nuls et non parallèles l'un à l'autre. Pour tout vecteur w, il existe deux réels a et b uniques tels que w = au + bv. Nous admettrons sans démonstration l'existence de cette forme mais nous allons démontrer son unicité.

9 Nous voulons prouver que pour tout vecteur w, il n'existe qu'un seul couple (a; b) de réels tel que w = au + bv 9 Nous allons le prouver par l'absurde : nous allons supposer au contraire qu'il existe deux couples différents (a; b) et (c; d) tels que w = au + bv = cu + dv et nous allons montrer que l'on aboutit à une contradiction, ce qui prouvera que (a; b) est unique. Preuve par l'absurde de l'unicité Soient u et v deux vecteurs non nuls et non parallèles l'un à l'autre. Supposons qu'il existe deux couples différents (a; b) et (c; d) tels que w = au + bv = cu + dv On a au + bv = cu + dv au + ( ( cu )) + bv + ( ( bv )) = cu + ( ( cu )) + dv + ( bv ) au + ( ( cu )) + 0 = 0 + dv + ( bv ) au + cu v + bv ( ( )) = d ( ( )) = d (( 1c) u ) = d ( c) u au + 1 cu au + ( ) addition membre à membre de vecteurs ( ) propriété de l'addition de vecteurs opposés ( ( )) neutralité du vecteur nul dans l'addition ( ( )) propriété 6) page 4 (( 1b) v ) propriété 7) page 4 ( b) v v + 1 bv v + au + ( ) = dv + ( ) ( a + ( c) ) u = ( d + ( b) ) v ( a c) u = ( d b) v 1 er cas : a c = 0 et d b = 0 distributivité c = a et d = b donc (a; b) et (c; d) ne sont pas deux couples différents,` ce qui est contraire à l'hypothèse. 2 e cas : a c = 0 et d b 0 3 e cas : a c 0 et d b = 0 0 u = ( d b) v ( a c) u = 0 v 0 = ( d b) v propriété 4) page 4 ( a c) u = 0 propriété 4) page 4 0 = v u = 0 ce qui est contraire à l'hypothèse. 4 e cas : a c 0 et d b 0 u = d b v a c u // v propriété 1) page 4 ce qui est contraire à l'hypothèse. ce qui est contraire à l'hypothèse. Dans chacun des quatre cas, on arrive à une contradiction. Ceci prouve qu'on n'avait pas le droit de supposer l'existence de deux couples différents (a; b) et (c; d). w ne peut donc s'écrire que d'une seule manière comme combinaison linéaire de u et v. CQFD.

10 Vecteurs de base dans un repère orthonormé 10 Soient les points O(0; 0), I(1; 0) et J(0; 1). Soient 1 x = OI 1 y = OJ 1 x et 1 y sont les vecteurs de base dans le plan (x, y) orthonormé. Composantes d'un vecteur D'après la propriété de la page 8, qui dit que tout vecteur s'exprime d'une manière unique comme combinaisons linéaire de deux vecteurs non nuls et non parallèles, v v x et v y uniques tels que v = v x 1 x + v y 1 y v x et v y sont les composantes de v. On note v v x ; v y ( ) ce qui se lit " v a comme composantes v x et v y ". Propriétés des composantes 1) v = ku ssi v x = ku x v y = ku y 2) w = u + v ssi w x = u x + v x w y = u y + v y 3) 4) 5) v = u ssi v = OA ssi v = AB ssi v x = u x v y = u y v x = x A v y = y A v x = x B x A v y = y B y A

11 Preuve de la propriété 1) page La condition est suffisante. Supposons que On a v x = ku x v y = ku y v = v x 1 x + v y 1 y par définition des composantes de v = ( ku x )1 x + ( ku y )1 y car l'hypothèse est que v x = ku x et v x = ku x ( ) + k( u y 1 y ) par la propriété 7) page 4 ( ) par la distributivité = k u x 1 x = k u x 1 x + u y 1 y = ku CQFD. par définition des composantes de u La condition est nécessaire. Supposons que v = ku. On a v = ku par hypothèse ( ) par définition des composantes de u ( ) + k( u y 1 y ) par la distributivité = k u x 1 x + u y 1 y = k u x 1 x = ( ku x )1 x + ku y ( )1 y par la propriété 7) page 4. Ceci montre que les composantes de v sont ku x et ku y, donc que Coordonnées de points et composantes de vecteurs v x = ku x v y = ku y CQFD. La propriété 4) page 10 dit que les composantes du vecteur OA sont les coordonnées du point A. Autrement dit, OA( x A ; y A ) ssi A( x A ; y A ). Le schéma ci-dessus illustre cette propriété

12 Cherchons à exprimer les composantes d'un vecteur AB à partir des coordonnées de A et de B. 12 On peut toujours décomposer AB en AB = AO + OB loi de Chasles ( ) + OB propriété du vecteur opposé ( ) commutativité = OA = OB+ OA = OB OA définition de la différence. D'autre part, d'après la propriété 4) page 10), OA = x A 1 x + y A 1 y et OB = x B 1 x + y B 1 y donc AB = OB OA ( ) ( x A 1 x + y A 1 y ) = x B 1 x + y B 1 y = x B 1 x + y B 1 y x A 1 x y A 1 y = x B 1 x x A 1 x + y B 1 y y A 1 y = ( x B x A )1 x + ( y B y A )1 y. C'est ce que prévoit la propriété 5) page 10. AB( x B x A ; y B y A )

13 Norme et composantes 13 Nous avons vu, page 1, que AB = norme de AB = longueur de AB = distance de A à B = d(a, B) = ( x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2. Nous venons de voir que ( x B x A ; y B y A ) sont les composantes du vecteur AB. La norme d'un vecteur est donc la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Cela reste vrai même si on ne nomme pas l'origine et l'extrémité du vecteur : v = v x 2 + v y 2. Exercices sur les combinaisons linéaires de vecteurs 6) Reprendre les vecteurs de l'exercice 4) et déterminer graphiquement a et b tels que v = au + bw 7) Déterminer, à partir du graphique ci-dessous, a et b tels que u = av + bw

14 8) Construire ci-dessous les vecteurs r = 3v + 2w + u et s = v 3w + 2u. 14 Exercices sur les composantes de vecteurs 9) On donne u ( 5; 2), v ( 1; 3), A 6; 3 ( ) et B 10; 4 ( ). a) Calculer les composantes des vecteurs suivants. a = AB; b = u + v ; c = a + v ; d = 2u + 3v. b) Calculer r et s tels que a = ru + sv. c) Construire les vecteurs a, b, c et d et vérifier leurs composantes. d) Vérifier par construction la validité des nombres r et s. e) Calculer u et v 10) a) Déterminer les composantes des vecteurs u, v et w des exercices 7) et 8) (ce sont les mêmes vecteurs en 7) et en 8)). On supposera que l'axe des x et l'axe des y ont l'orientation habituelle et que le côté d'un carré du quadrillage représente une unité. b) Trouver, par calcul sur les composantes, les nombres a et b tels que u = av + bw et comparer avec les valeurs obtenues en 7). c) Calculer les composantes des vecteurs r = 3v + 2w + u et s = v 3w + 2u et vérifier qu'elles correspondent bien à celles des vecteurs construits en 8).

15 Vecteurs et géométrie 15 Milieu d'un segment Propriété vectorielle : M est le milieu de [AB] ssi AM = MB = 1 2 AB. Alignement de 3 points Propriété vectorielle : A, B et C sont alignés ssi il existe k tel que AC = kab. Théorème de Thalès Expression vectorielle du théorème de Thalès : Si d et d' sont deux droites coupées par trois parallèles a, b et c, si A = a d, B = b d, C = c d, A'= a d', B'= b d', C'= c d', s'il existe un réel k tel que AC = kab alors A'C' = ka'b'.

16 Exercices 16 11) Démontrer que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. 12) Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Soient E, F, G et H les milieux de ses côtés. Démontrer que EFGH est un parallélogramme. 13) En partant de la propriété du milieu d'un segment donnée page 15, retrouver les formules donnant les coordonnées du milieu M de [AB] en fonction de celles de A et de B. 14) Soient les points A, B, C, D et E. Démontrer que si AE = 1 ( AB + AC + AD), alors, quel 3 que soit le point X, XE = 1 ( XB + XC + XD). 3 D'après l'exercice 43 page 109 du livre Des situations pour apprendre. 15) Soit le parallélogramme ABCD. Soit M le milieu de [AB] et soit N le milieu de [DC]. Démontrer que DM = NB. D'après l'exercice 517 du livre Espace Math 4. 16) Démontrer que les médianes d'un triangle se coupent en un point (le centre de gravité) situé sur chacune d'elles aux 2/3 de sa longueur à partir du sommet. 17) En partant de la propriété démontrée en 16), retrouver les formules donnant les coordonnées du centre de gravité G d'un triangle en fonction de celles de ses sommets A, B et C.

17 Corrigé des exercices 17 1) Preuve que, pour des vecteurs non parallèles, la loi de Chasles implique la règle du parallélogramme. Hypothèse A, B et C sont trois points non alignés. La loi de Chasles s'applique. Thèse La règle du parallélogramme s'applique : AB+ AC = AD où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. Démonstration Construisons AB+ AC en appliquant la loi de Chasles. Pour cela nous devons placer un représentant de AC ayant son origine en B. Appelons D l'extrémité de ce représentant. On a AC = BD. La loi de Chasles donne alors AB+ AC = AB+ BD = AD.

18 Il reste à montrer que D est tel que ABDC est un parallélogramme. 18 AC = BD ce qui implique, d'après la propriété donnée en page 2, que ABDC est un parallélogramme. CQFD. 2) Preuve que l'addition de deux vecteurs est commutative. Hypothèse Thèse Démonstration u et v sont deux vecteurs quelconques, u + v = v + u Plaçons u et v de manière à ce qu'ils soient consécutifs. Soient A, B et C des points tels que u = AB et v = BC.

19 D'après la loi de Chasles, u + v = AB+ BC = AC. Maintenant construisons v + u. Pour cela, plaçons un représentant de u ayant son origine en C et appelons D son extrémité : u = CD. 19 D'après la loi de Chasles, v + u = BC + CD = BD. Récapitulons. Nous avons u = AB u = CD et u + v = AC v + u = BD. Les deux premières de ces relations impliquent que AB = CD, donc, d'après la propriété de la page 2, que ABDC est un parallélogramme. Cette même propriété implique que AC = BD, donc que u + v = v + u. CQFD. 3) Représentation de produits d'un vecteur v par un réel.

20 4) Représentation des vecteurs u + v, v + w, ( u + v ) + w et u + ( v + w ). 20 ( u + v ) + w et u + v + w ( ) semblent égaux. 5) Preuve que l'addition des vecteurs est associative. Hypothèse Thèse u, v et w sont trois vecteurs quelconques. ( u + v ) + w = u + ( v + w ).

21 Démonstration Plaçons u, v et w de manière à ce qu'ils soient consécutifs. Soient A, B, C et D tels que u = AB, v = BC et w = CD. 21 En appliquant à chaque étape la loi de Chasles, on a ( ) + CD ( u + v ) + w = AB+ BC = AC + CD = AD u + v + w Par conséquent, ( u + v ) + w = u + ( v + w ), CQFD. 6) Détermination graphique de a et b tels que Première méthode : application de la loi de Chasles ( ) ( ) = AB+ BC + CD = AB+ CD = AD v = au + bw, avec les vecteurs de l'exercice 4). Plaçons sur le graphique un représentant de v et appelons A son origine et C son extrémité. v = au + bw donc v est la somme d'un vecteur parallèle à u et d'un vecteur parallèle à w. Traçons par A une parallèle à u et par C une parallèle à w. Si B est l'intersection de ces deux droites, on a, d'après la loi de Chasles, au = AB et bw = BC. En comparant au avec u, et bw avec w, on a a = 3 et b = 7 3.

22 Deuxième méthode : application de la règle du parallélogramme 22 Plaçons sur le graphique un représentant de v et appelons A son origine et D son extrémité. v = au + bw donc v est la somme d'un vecteur parallèle à u et d'un vecteur parallèle à w. Construisons le parallélogramme ayant [AD] comme diagonale et dont les côtés soient parallèles à u et à w. Appelons B et C les deux autres sommets du parallélogramme, de manière à ce que AB soit parallèle à u et que AC soit parallèle à w. D'après la règle du parallélogramme, au = AB et bw = AC. En comparant au avec u, et bw avec w, on a a = 3 et b = 7 3. Remarques 1 / ABDC n'est pas un losange car d( A, B) = 3 10 et d( A, C) = / Si ABDC avait été un losange, cela n'aurait rien apporté de particulier à la résolution du problème.

23 7) Détermination graphique de a et b tels que Première méthode : application de la loi de Chasles u = av + bw. 23 Plaçons sur le graphique un représentant de u et appelons A son origine et C son extrémité. Traçons par A une parallèle à v et par C une parallèle à w. Si B est l'intersection de ces deux droites, on a, d'après la loi de Chasles, av = AB et bw = BC. En comparant av avec v, et bw avec w, on a a = 2 et b = 3. Deuxième méthode : application de la règle du parallélogramme Plaçons sur le graphique un représentant de u et appelons A son origine et D son extrémité. Construisons le parallélogramme ayant [AD] comme diagonale et dont les côtés soient parallèles à v et à w. Appelons B et C les deux autres sommets du parallélogramme, de manière à ce que AB soit parallèle à v et que AC soit parallèle à w. D'après la règle du parallélogramme, av = AB et bw = AC. En comparant av avec v, et bw avec w, on a a = 2 et b = 3.

24 8) Construction des vecteurs r = 3v + 2w + u et s = v 3w + 2u. 24 9) u ( 5; 2), v ( 1; 3), A 6; 3 ( ) et B 10; 4 ( ). a) Composantes de vecteurs. a = AB b = u + v c = a + v a x = x B x A =10 6 = 4 a y = y B y A = 4 3 ( ) = 7 b x = u x + v x = 5 +1= 6 b y = u y + v y = ( ) = 1 c x = a x + v x = 4 +1= 5 c y = a y + v y = ( ) = 4 a 4, 7 ( ) b 6, 1 ( ) c 5, 4 ( ) d = 2 u + 3 v b) Calcul de r et s tels que d x = 2u x + 3v x = = =13 d y = 2u y + 3v y = a = ru + sv. ( ) = 4 9 = 5 d 13, 5 ( ) a x = r u x + s v x a y = r u y + s v y 4 = r 5 + s 1 ( ) 7 = r 2 + s 3 5r + s = 4 2r 3s = 7

25 De la première équation, on tire que s = 4 5r 25 En remplaçant s par cette expression dans la deuxième équation, on a 2r 3( 4 5r) = 7; 2r r = 7; 2r +15r = 7 +12; 17r =19; r = En remplaçant r par cette fraction dans l'expression de s, on a s = 4 5r = = = = c) Construction des vecteurs a, b, c et d et vérification de leurs composantes. Les composantes des vecteurs construits correspondent bien aux composantes calculées. Ces composantes étant toutes des nombres entiers, la vérification est exacte.

26 d) Vérification par construction la validité des nombres r et s. 26 D'une part, construisons ru et sv d'après la relation a = ru + sv, u, v et a étant connus. Plaçons sur le graphique un représentant du vecteur a, appelons A son origine et D son extrémité. Traçons le parallélogramme ABDC ayant [AD] comme diagonale et dont les côtés soient parallèles à u et à v. Si B est le sommet tel que AB soit parallèle à u et BD soit parallèle à v, ru = AB et sv = AC. D'autre part, construisons les vecteurs 19 u et 27 v en plaçant l'origine de l'un et de l'autre en A On constate que les vecteurs ru et sv construits d'après la relation a = ru + sv coïncident avec les vecteurs 19 u et 27 v, ce qui confirme que r = et s = La coïncidence étant obtenue aux imprécisions de construction près, la vérification est approximative. e) Calcul de u et v u = u x 2 + u y 2 = = = 29. v = v x 2 + v y 2 = ( ) 2 = 1+ 9 = ) a) Composantes des vecteurs u, v et w des exercices 7) et 8), d'après les graphiques : u 0; 4 ( ) b) u x = 0 u y = 4; u = av + bw v 3; 1 ( ) u x = av x + bw x u y = av y + bw y En soustrayant membre à membre, on a v x = 3 v y =1; ( ) ( ) 0 = a3+ b 2 4 = a1+ b 2 0 ( 4) = 3a a 2b ( 2b); 4 = 2a; a = 2. w 2; 2 ( ) w x = 2 w y = 2. 0 = 3a 2b 4 = a 2b

27 En remplaçant a par 2 dans la deuxième équation, on a 27 4 = 2 2b; 2 =1 b (en simplifiant par 2); b =1+ 2 = 3. On a bien a = 2 et b = 3, comme obtenu par construction dans l'exercice 7). c) Nous avons construit dans l'exercice 8) les vecteurs r = 3v + 2w + u et s = v 3w + 2u. Le graphique montre que r 5; 5 ( ) et s ( 9; 1). D'autre part, calculons ces composantes à partir de celle de u, v et w. r = 3v + 2w + u r x = 3v x + 2w x + u x = r y = 3v y + 2w y + u y = ( 2) + 4 s = v 3w + 2u s x = v x 3w x + 2u x = s y = v y 3w y + 2u y =1 3( 2) ( ) + 0 = = 5 ( ) = = 5 ( ) = = 9 ( ) = = 1 On obtient bien les mêmes composantes par calcul. r 5; 5 ( ) s 9; 1 ( ) 11) Démonstration que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. On veut montrer qu'il existe un point M qui soit à la fois l'intersection des diagonales et le milieu de chacune d'elle. Il y a plusieurs façons de faire. Première méthode Hypothèse Thèse ABCD est un parallélogramme et M est l'intersection de ses diagonales [AC] et [DB]. M est à la fois le milieu de la diagonale [AC] et de la diagonale [DB]. Démonstration M est l'intersection des diagonales [AC] et [DB] donc M appartient à la diagonale [AC]. Les point A, M et C sont donc alignés et il en résulte, d'après la propriété de l'alignement de 3 points (page 15) que il existe k tel que AM = kac (1) Considérons les trois droites parallèles a = AD, b sa parallèle passant par M et c = BC et les droites sécantes d = AC et d' = DB.

28 28 Par application du théorème de Thalès (page 15), comme on a la relation (1), on a aussi où k est le même nombre que dans la relation (1). DM = kdb (2) Considérons maintenant les trois droites parallèles a' = AB, b' sa parallèle passant par M et c' = DC et les droites sécantes d = AC et d' = DB. Par application du théorème de Thalès (page 15), comme on a la relation (1), on a aussi BM = kbd (3) où k est le même nombre que dans la relation (1). On peut transformer la relation (3) en BM = kbd ou MB = kdb (4) En comparant les relations (4) et (2), on voit que DM = MB (5) ce qui, d'après la propriété du milieu d'un segment (page 15) prouve que M est le milieu de [DB]. (6)

29 Considérons de nouveau les parallèles a, b et c et les droites d et d'. Par application du théorème de Thalès (page 15), comme on a la relation (5), on a aussi 29 AM = MC (7) ce qui, d'après la propriété du milieu d'un segment (page 15) prouve que M est le milieu de [AC]. (8) Les relations (6) et (8) sont ce qu'il fallait démontrer. Deuxième méthode Hypothèse Thèse ABCD est un parallélogramme et M est le milieu de la diagonale [AC]. M est le milieu de la diagonale [BD]. Démonstration DM = DA + AM (loi de Chasles) = DA + MC (M est le milieu de [ AC] donc AM = MC, propriété du milieu, page 15) = CB+ MC (ABCD est un parallélogramme donc DA = CB, propriété page 2) = MC + CB (commutativité de l'addition des vecteurs) = MB (loi de Chasles) Bref, DM = MB ce qui, d'après la propriété du milieu d'un segment (page 15) prouve que M est le milieu de [DB]. CQFD.

30 12) Démonstration que si ABCD est un quadrilatère quelconque et que E, F, G et H soient les milieux de ses côtés, alors EFGH est un parallélogramme. 30 Hypothèse Thèse ABCD est un quadrilatère, E est le milieu du côté [AB], F est le milieu du côté [BC], G est le milieu du côté [CD], H est le milieu du côté [DA]. EFGH est un parallélogramme. Démonstration EF = EB + BF (loi de Chasles) = 1 2 AB+ 1 2 BC E est le milieu de AB = 1 ( AB+ BC) 2 (distributivité) = 1 AC (loi de Chasles) 2 [ ] donc EB = 1 2 F est le milieu de [ BC] donc BF = 1 2 AB et BC, propriété du milieu, page 15 HG = HD + DG (loi de Chasles) = 1 2 AD DC H est le milieu de AD = 1 ( AD + DC) 2 (distributivité) = 1 AC (loi de Chasles) 2 [ ] donc HD = 1 2 G est le milieu de [ DC] donc DG = 1 2 AD et DC, propriété du milieu, page 15 On a donc à la fois EF = 1 2 AC et HG = 1 AC donc EF = HG 2 ce qui prouve (propriété page 2) que EFGH est un parallélogramme. CQFD

31 13) Obtention des relations entre les coordonnées du milieu et celles des extrémités d'un segment à partir de la propriété vectorielle du milieu. 31 Si M est le milieu de [AB], AM = MB (propriété du milieu, page 15). Or, ces deux vecteurs ont les composantes suivantes : AM( x M x A ; y M y A ); MB( x B x M ; y B y M ) donc x M x A = x B x M y M y A = y B y M x M + x M = x A + x B y M + y M = y A + y B 2x M = x A + x B 2y M = y A + y B et finalement, x M = x A + x B 2 y M = y A + y B 2 14) Démonstration que si, pour cinq points donnés A, B, C, D et E, AE = 1 ( AB + AC + AD), 3 alors, quel que soit le point X, XE = 1 ( XB + XC + XD). 3 Hypothèse A, B, C, D et E sont cinq points et AE = 1 ( AB + AC + AD). 3 Thèse Quel que soit le point X, XE = 1 ( XB + XC + XD). 3 Démonstration AE = 1 ( AB + AC + AD) 3 par hypothèse AX + XE = 1 ( AX + XB+ AX + XC + AX + XD) 3 loi de Chasles AX + XE = 1 ( AX + AX + AX + XB + XC + XD) 3 commutativité AX + XE = 1 ( AX + AX + AX) + 1 XB + XC + XD 3 3 AX + XE = AX + 1 ( XB+ XC + XD) 3 XE = 1 ( XB + XC + XD) CQFD. 3 ( ) associativité et distributivité

32 32 15) Démonstration que, dans un parallélogramme ABCD, si M est le milieu de [AB] et N le milieu de [DC], DM = NB. Hypothèse ABCD est un parallélogramme, M est le milieu de [AB], N est le milieu de [DC]. Thèse DM = NB Démonstration DM = DA + AM ( loi de Chasles) = DA + 1 AB M est le milieu de AB 2 [ ] donc AM = 1 2 AB, propriété du milieu page 15 ( ) = CB+ 1 DC 2 ABCD est un parallélogramme donc DA = CB et AB = DC, propriété page 2 = CB+ NC N est le milieu de DC DC = NC, propriété du milieu page 15 = NC + CB ( commutativité) = NB ( loi de Chasles) CDFD. [ ] donc ) Démonstration que les médianes d'un triangle se coupent en un point (le centre de gravité) situé sur chacune d'elles aux 2/3 de sa longueur à partir du sommet. Il suffit de démontrer la propriété pour deux médianes quelconques car si elle est vraie pour deux médianes quelconques du triangle, elle l'est pour toutes les médianes du triangle. Hypothèse ABC est un triangle. L est le milieu de [AC] et K le milieu de [CB]. G est l'intersection des médianes [AK] et [BL] : G = [ AK] [ BL]. Thèse G est aux 2/3 de [AK] à partir de A et aux 2/3 de [BL] à partir de B. Démonstration Soit R le milieu de [AG] et soit S le milieu de [BG].

33 33 RL = RA + AL ( loi de Chasles) = 1 2 GA AC R est le milieu de GA = 1 ( GA + AC) 2 ( distributivité) = 1 GC ( loi de Chasles) 2 [ ] donc RA = 1 2 L est le milieu de [ AC] donc AL = 1 2 SK = SB+ BK ( loi de Chasles) = 1 2 GB+ 1 2 BC S est le milieu de GB = 1 ( GB + BC) 2 ( distributivité) = 1 GC ( loi de Chasles) 2 [ ] donc SB = 1 2 K est le milieu de [ CB] donc BK = 1 2 GA et AC, propriété du milieu, page 15 GB et BC, propriété du milieu, page 15 On a donc à la fois RL = 1 2 GC et SK = 1 GC, ce qui montre que 2 RL = SK Et comme RL = SK, KLRS est un parallélogramme (propriété page 2). Les diagonales de KLRS sont [KR] et [LS]. Comme K et R sont des points de la médiane [AK] et comme L et S sont des points de la médiane [BL], [ KR] [ LS] = [ AK] [ BL] = G autrement dit, l'intersection des diagonales du parallélogramme KLRS est l'intersection des médianes du triangle ABC, c'est-à-dire le point G. On a démontré dans l'exercice 11) que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Par conséquent, G est à la fois le milieu de [KR] et le milieu de [LS] ce qui, d'après la propriété du milieu (page 15) implique que RG = GK et SG = GL D'autre part, R étant le milieu de [AG] et S étant le milieu de [BG], cette même propriété du milieu implique que Bref, donc AR = RG et BS = SG AR = RG = GK et BS = SG = GL G est aux 2/3 de [AK] à partir de A et G est aux 2/3 de [BL] à partir de B. CQFD.

34 34 17) Obtention des relations entre les coordonnées du centre de gravité G d'un triangle ABC et celles de ses sommets à partir de la propriété démontrée en 16). On va utiliser de cette propriété le fait que G est aux 2/3 de [AK] à partir de A. Soit O l'origine des coordonnées. OG = OA + AG ( loi de Chasles) = OA + 2 AK G est aux 2/3 de AK 3 ( ) loi de Chasles = OA + 2 AB+ BK 3 = OA AB+ 1 2 BC ( ) [ ] à partir de A (exercice 16)) donc AG = 2 3 AK K est le milieu de BC [ ] donc BK = 1 2 BC = OA AB+ 1 BC distributivité et propriété 7) page 4 3 ( ) = 1 ( OA + OA + OA) + 1 AB+ AB 3 3 ( ) BC = 1 3 OA + 1 ( OA + AB) + 1 OA + AB + BC 3 3 ( ) associativité ( ) = 1 3 OA OB+ 1 OC loi de Chasles et loi de Chasles généralisée 3 ( ) = 1 ( OA + OB+ OC) distributivité 3 ( ) Bref, OG = 1 ( OA + OB+ OC) 3 Or, O étant l'origine des coordonnées, les composantes de ces vecteurs sont OA( x A ; y A ) OB( x B ; y B ) OC( x C ; y C ) OG( x G ; y G ) (voir page 11 : composantes de vecteurs et coordonnées de points) donc x G = x A + x B + x C 3 y G = y A + y B + y C 3