Chapitre 2 - Trigonométrie

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1 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie Chapitre - Trigonométrie A) Rappels compléments ) Le cercle trigonométrique a) Définitions On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O de rayon dans un repère orthonormal (O, I, J), dans lequel on définit un sens de rotation, qui est le sens inverse des aiguilles d'une montre, ou encore le sens habituel de dévissage. Lorsqu on définit ce sens de rotation, on dit que le plan est un plan orienté. Les angles sont alors des angles orientés. u ; v ) de la façon u v, noté ( De même, on définit l angle orienté de deux vecteurs suivante : on reporte ces deux vecteurs à partir de l origine O du repère, ce qui définit deux points d intersection U V sur le cercle, quitte à prolonger ces vecteurs mais sans en changer le sens. L angle orienté UOV est alors l angle cherché. u ; v )= ( v ; u). Remarque : on a UOV = VOU ( Tout point M de ce cercle est entièrement défini par l'angle orienté α= IOM. Remarque : un même point peut donc correspondre à un angle négatif ou positif selon le sens dans lequel on choisit de passer de I à M! Page /9

2 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie b) Radians, degrés grades Les angles se mesurent principalement en degrés ou en radians. En degrés, l angle droit vaut 9, l angle plat vaut 8 l angle "tour compl" vaut 36. En radians, la mesure de l angle est égale à la longueur de l arc parcouru pour aller sur le cercle trigonométrique de I à M. Donc, l angle "tour compl" vaut radians, l angle plat radians l angle droit / radians. On a donc (le degré s écrit le radian s écrit rd) : Angle droit = 9 = / rd Angle plat = 8 = rd Tour compl = 36 = rd Pour parcourir le cercle trigonométrique, on ira donc de à 36, soit de à radians. Remarque : Il existe aussi une autre unité, le grade, peu employée aujourd'hui, proportionnelle elle aussi aux deux autres, telle que grades = 9 = / rd. c) Radian longueur d un arc de cercle Soit C un cercle de rayon R α la mesure en radian d un angle. La longueur de l arc de cercle déterminé par c angle sera égale à α x R. Exemples : Le rayon de la Terre est d environ km. La Terre tourne sur elle-même en 4 heures. Quelle est la distance parcourue en h3 par un point M de l équateur? M parcourt 3 km : ) Quel angle en radian parcourt-il? ) En combien de temps? 3) Combien de degrés vaut c angle? ) Propriétés du cercle trigonométrique a) Passage des degrés aux radians ou vice-versa Soit d l'angle en degrés r l'angle en radian, on aura : d= r 8 r= d 8 Exemples : Transformer en degrés ou en radians : 6 3/4 rd -3 / rd -/3 rd b) Sinus cosinus dans le cercle trigonométrique On appellera cosinus de α, noté cos(α), l'abscisse de M, soit x = cos(α). De même, on appellera sinus de α, noté sin(α), l'ordonnée de M, soit y = sin(α). Cte définition correspond bien à celle apprise au collège pour les angles aigus. En eff, Page /9

3 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie OC AOM )= =OC car OM =. OC est bien l abscisse de M, cos ( OM AOM )= De même, OD est bien l abscisse de M, sin( OD =OD car OM =. OM b) Sinus cosinus Pythagore Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OAM : OA² + AM² = OM². Or OM = d'où OM² =, OA = cos(α) AM = OB = sin(α). On a donc pour tout α : (sin(α))² +(cos(α))² =, qu'on écrit par convention : sin²(α) +cos²( α) =. 3) Cercle trigonométrique droite des réels À chaque réel, on va faire correspondre un angle en radians sur le cercle trigonométrique, qui correspondra à l angle orienté IOM où M est obtenu en parcourant sur le cercle en partant de I, dans le sens normal si x > en sens inverse sinon, un arc de longueur x. Dans l opération, on peut bien sûr faire plusieurs tours "pour rien". On peut représenter cte définition comme un «enroulement de la droite des réels sur le cercle». Imaginez que le cercle est un moulin la droite des réels un fil de pêche, on peut associer à tout point M de la droite le point M' du cercle où il se rrouvera lorsqu'on aura rembobiné la ligne. On peut aussi imaginer que le cercle peut rouler sur la droite, que M sera le point du cercle qui touchera M. Dans ce cas par définition, le sinus le cosinus du réel x qui correspond à M seront égaux aux sinus cosinus de l'angle associé à M' sur le cercle trigonométrique, soit : sin(x) = y cos(x) = x 4) Arcs angles La circonférence du cercle trigonométrique est car la formule est R R =. Page 3/9

4 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie La longueur de l arc AM, étant proportionnelle à l angle AOM, est égale à la mesure de c angle en radians (en valeur absolue) : Longueur de l arc AM = Mesure de AOM en radians Remarque : ceci ne fonctionne que sur le cercle de rayon en exprimant les angles en radians! 5) Points correspondant au même angle Lorsqu'on a enroulé un tour, le réel qui est associé au point I est égal à, l'angle de valeur est le même que l'angle de valeur. On a donc fait un tour compl, on rrouve bien le début des points M du cercle, d'où les propriétés suivantes : - Chaque fois qu on rajoute ou qu on enlève, on rrouve le même point du cercle. - À un réel correspondra un point unique, mais à un point du cercle correspondront une infinité de réels se suivant tous les. - En faisant varier x de à, ou de - à, on trouve déjà tous les points du cercle (car = un tour compl). B) Fonctions sinus cosinus d un réel ) Lignes trigonométriques On a vu que l on pouvait faire correspondre à tout réel un angle orienté dont on peut déterminer le sinus le cosinus. On peut donc définir sur ℝ les fonctions sin(x) cos(x). On définit aussi les fonctions tangente sin( x ) cos (x ) cotangente respectivement par tan ( x)= cot ( x )=. cos( x ) sin( x) Ces fonctions sont appelées lignes trigonométriques. Dans ces fonctions, l'angle x est toujours exprimé en radians. ) Mesure principale d un angle On peut trouver tous les angles possibles entre ou entre -. Pour l angle correspondant à un réel quelconque, on définit sa mesure principale, qui est la mesure de l angle équivalent (donnant le même point sur le cercle trigonométrique) qui se trouve dans l intervalle ]- ; ]. Pour la trouver, on peut procéder de la façon suivante : Si x est plus grand que, on lui soustrait autant de fois que nécessaire. Si x est plus pit ou égal à -, on lui ajoute autant de fois que nécessaire. On peut ainsi définir les lignes trigonométriques pour n'importe quel nombre réel. Exemples : Trouver la mesure principale de : 3/4-3/6 7/3-3/ 47/6 354/4-7,5 59,4 34, Page 4/9

5 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie 4) Propriétés des sinus des cosinus a) Limites des sinus cosinus Pour toute valeur de x, on a : - sin(x) Pour toute valeur de x, on a : - cos(x) b) Pythagore les sinus cosinus Pour toute valeur de x, on a : sin²(x) + cos²(x) = c) Parité La fonction sinus est impaire, càd pour tout x, sin(-x) = - sin(x) La fonction cosinus est paire, càd pour tout x, cos(-x) = cos(x) d) Périodicité Les fonctions sinus cosinus sont périodiques de périodes, ce qui signifie que : Pour toute valeur de x, on a sin(x + ) = sin(x) Pour toute valeur de x, on a cos(x + ) = cos(x) d) Symétries dans le cercle angles associés (voir figures à la fin) Par symétrie dans le cercle trigonométrique, on peut facilement voir que : cos ( x)= cos ( x) sin( x)=sin( x) cos ( + x)= cos ( x) sin( + x)= sin ( x) cos ( x)=sin( x) cos ( + x)= sin( x) sin( x)=cos ( x) sin( + x)=cos ( x) e) Valeurs remarquables x /6 /4 /3 / cos(x) 3-3 sin(x) Démonstrations : Pour /4 : faire un triangle rectangle isocèle utiliser Pythagore Pour /3 /6 : faire un triangle équilatéral sa hauteur issue d'un somm Pour, pour / pour : regarder le cercle trigonométrique. Page 5/9

6 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie 5) Courbes des fonctions sinus cosinus a) Tableaux de variation Comme les fonctions trigonométriques ont une périodicité de, il suffit de représenter leurs tableaux de variation entre (ou entre - + ) : x / 3/ sin(x) + - cos(x) b) Courbes Ces courbes s appellent des sinusoïdes. Leur schéma se reproduit à l identique dans toutes les périodes d une longueur de. La courbe des sinus est la même que celle des cosinus, mais décalée vers la droite de /. Ces courbes sont très répandues dans l univers, même si en général leur oscillation s atténue : vagues dans la mer, oscillation d un pendule, vibration d une corde, c... 6) Équations sin(x) = sin(a) cos(x) = cos(a) On a vu ci-dessus que pour les fonctions sinus cosinus sont périodiques de période, donc pour qu on ait sin(x) = sin(a), on peut prendre x = a, mais aussi x = a +, ou a + 4, a - c... Graphiquement en regardant les courbes, on voit qu une droite horizontale qui coupe une de ces courbes la recoupe une ou deux fois régulièrement. On résume donc les solutions par la formule x = a + k, où k est un entier relatif quelconque, il y a donc une infinité de solutions. Page 6/9

7 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie Le même raisonnement est valable pour cos(x) = cos(a), dont la solution est aussi x = a + k. De plus, en raison des symétries du cercle, si sin(x) = sin(a), on a aussi sin(x) = sin( - a), donc une autre solution est x = a, donc x = a + k. On peut donc écrire : sin(x) = sin(a) <=> x = a + k ou x = a + k. De même, pour le cosinus, en raison de la parité, cos(-a) = cos(a), d'où une autre série de solutions x = - a + k, ce qui donne comme solution générale : cos(x) = cos(a) <=> x = a + k ou x = - a + k. Cela se voit par résolution graphique ( solutions tous les ) : Ici, les points A C pour le sinus, B D pour le cosinus ont pour abscisses les solutions d'une équation en sinus ou cosinus entre. Remarque importante : Lorsqu'on a une équation du type sin(x) = b ou cos(x) = b, il faut d'abord trouver une valeur a telle que sin(a) = b ou cos(a) = b! Ceci peut se faire avec le tableau des angles remarquables vu plus haut, ou en utilisant sur la calculatrice (attention au mode radian ou degré) les fonctions réciproques sin -(x) cos-(x), parfois appelées Arcsin(x) Arccos(x). Exemples (exprimer les résultats en valeur exacte) a) Trouver la solution de l équation sin(x) = sin(/4) b) Trouver toutes les solutions de cos(x) = cos(-/3) dans l intervalle [-3 ; 7]. c) Résoudre sin(x) =,5 avec x entre - 7 (attention : il faut d'abord trouver un angle dont le sinus vaut,5!). Page 7/9

8 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie Fiche de révision page / Angles orientés cercle trigonométrique Passage de d degrés à r radians vice-versa r= d 8 d= r 8 Mesure principale d'un angle C'est l'angle équivalent situé dans l'intervalle ]- ; ]. Propriétés des sinus des cosinus Pythagore en trigonométrie sin²(x) + cos²(x) = Encadrement des sinus cosinus - sin(x) - cos(x) Parité Périodicité sin(-x) = - sin(x) cos(-x) = cos(x) sin(x + ) = sin(x) cos(x + ) = cos(x) Symétries angles associés cos ( x)= cos ( x) sin( x)=sin( x) cos ( + x)= cos ( x) sin( + x)= sin ( x) cos ( x)=sin( x) cos ( + x)= sin( x) sin( x)=cos ( x) sin( + x)=cos ( x) Valeurs remarquables x /6 /4 /3 / cos(x) 3-3 sin(x) Page 8/9

9 Cours de Mathématiques Classe de Première STID - Chapitre - Trigonométrie Fiche de révision page / Symétries dans le cercle trigonométrique On part de l'angle α=( OB, OC ) : Angles -α ; - α ; + α Angles α ; + α Page 9/9