4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations

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1 4 Définitions et notations CHAPITRE 4 Matrices 4 Définitions et notations On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs 4 Matrices Définition On appelle matrice à coefficients dans K à n lignes et p colonnes, toute application de [, n] [, p] à valeurs dans K On parle aussi de matrice (n, p ou matrice n p à coefficients dans K Les entiers n et p sont les dimensions de la matrice On note K n,p ou M n,p (K l ensemble des matrices n p à coefficients dans K Cette définition n est que la formalisation mathématique de la notion de tableau à n lignes et p colonnes, à coefficients dans K Comme pour les suites, on utilisera un double indice plutôt que la notation fonctionnelle pour représenter les éléments de la matrice : si A est une matrice n p, alors l élément de la i-ème ligne j-ème colonne est noté a i,j et on notera A = (a i,j i n j p ou bien A = a, a, a,j a,p a, a, a,j a,p a i, a i, a i,j a i,p a n, a n, a n,j a n,p On appelle i-ème ligne de A le vecteur (a i,, a i,,, a i,p de K p, j-ème colonne de A le vecteur (a,j, a,j,, a n,j de K n, que l on notera le plus souvent a,j a,j sous forme de colonne a n,j si n = on dit que A est une matrice ligne, si p = on dit que A est une matrice colonne La transposée de A, notée A t ou bien t A, est une matrice (p, n dont l élément générique b i,j est a j,i Elle est obtenue à partir de A en permutant les lignes et colonnes On a bien sûr (A t t = A Dans la pratique, pour alléger les notations, on omettra le plus souvent la virgule entre les deux indices et on écrira a plutôt que a, L éventuelle ambiguité sera levée par le contexte Pierre Puiseux

2 Chapitre 4 Matrices Fig Différentes régions d une matrice 4 Matrices carrées si n = p on dit que A est une matrice carrée Lorsque A est une matrice carrée, on dit qu elle est : triangulaire inférieure si (i, j, i < j a i,j = ; elle est de la forme : a, A = a n, a n,n triangulaire supérieure si (i, j, i > j a i,j = ; elle est de la forme : a, a,n A = a n,n diagonale si (i, j, i j a i,j = ; elle est de la forme λ A = λ n et on la note Diag (λ,, λ n Pour k [ n, n], la k-ème diagonale de A est le vecteur (éventuellement vide de coordonnées (a i,i+k max( k, i min(n k,p A est symétrique si et seulement si A est carrée et si A = A t ; A est antisymétrique si et seulement si A est carrée et si A t = A ; la matrice I n = Diag (,, K n,n est appelée matrice identité ; la matrice K n,n qui ne contient que des zéros est appelée matrice nulle ; On pourra démontrer à titre d exercice les propriétés suivantes : une matrice A est diagonale si et seulement si elle est triangulaire supérieure et triangulaire supérieure A est triangulaire supérieure si et seulement si A t est triangulaire inférieure

3 4 Opérations sur les matrices 3 la k-ème diagonale de A est également l ensemble des coefficients {a i,j, i n, j n, j i = k} 4 Addition de deux matrices 4 Opérations sur les matrices Définition Soient A = (a ij i n K n,p et B = (b ij i n K n,p deux matrices de mêmes j p j p dimensions On définit la somme C = A + B par Exemple ( ( 3 C = (c ij i n j p c i,j = a i,j + b i,j = ( 4 Produit de deux matrices Définition Etant données deux matrices et A = (a ik i m K m,n k n B = (b kj k n K n,p j p le produit A B est la matrice C = (c ij i m K m,p avec j p c ij = a ik b kj Remarque k n ( Comme on le fait pour le produit de deux réels, en l absence d ambiguïté, on notera AB ou AB au lieu de A B ( Pour pouvoir effectuer le produit de deux matrices A et B, il faut que les dimensions soient compatibles Un moyen efficace pour mémoriser la règle : le produit de deux matrices (m, n (n, p est une matrice (m, p, le produit «mange» la dimension intermédiaire, cette dimension doit être comestible! (3 Même si les deux produits sont définis, en général A B B A (4 Si A = (a i,k i m R m,n et X = (x i, i n R n,, alors en notant x i au lieu de x i, la i- k n ème coordonnée de X, le produit A X est la matrice A X = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n de R m, que l on peut confondre avec le vecteur de R m de même coordonnées (5 Pour des raison typographiques de commodité, les vecteurs colonne, c est à dire les éléments x de R n,, seront souvent notés X = (x, x,, x n T x plutôt que X = (6 Pratiquement, pour calculer le produit de deux matrices, on dispose les deux matrices de la manière suivantes : x n

4 4 Chapitre 4 Matrices Exemple ( ( 3 3 = ( ( 3 = (3 ( = ( à comparer avec le résultat précédent ( ( 3 (4 Vérifier que AB BA : A = B = (5 Soit D n (pour être complet il faudrait parler de D n (K l ensemble des matrices diagonales (à coefficients dans K et soient A D n et B D n Montrer que AB D n et que AB = BA Posons AB = C K n,n Pour i, j n, on a c i,j = k n a i,kb k,j Or les seuls termes a i,k [respb k,j ] non nuls sont ceux pour lesquels i = k [respk = j] Par conséquent, si i j alors au moins un des deux termes a i,k ou b k,j est nul donc c i,j = Si i = j, il ne subsiste dans la somme que le terme c i,i = a i,i b i,i D où le résultat (6 Soit T n (K (T n en abrégé l ensemble des matrices triangulaires supérieures (à coefficients dans K et soient A T n et B T n (a Montrer que AB T n (Difficile (b Donner un exemple montrant que la multiplication n est pas commutative dans T n (7 Le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique? Non car (AB t = B t A t = BA AB ( (8 Soit A = trouver une matrice B R,, non nulle, telle que AB = Calculer BA ( ( ( 4 La matrice B = convient car AB = et BA = 43 Produit d une matrice par un scalaire On dit que la multiplication est une opération interne sur Dn On dit que la multiplication des matrices est une opération commutative sur Dn

5 43 Propriétés 5 Définition Soit λ K et A = (a ij i m une matrice de K m,n Le produit du scalaire λ par la j n matrice A est la matrice λa = (λa ij i m j n Remarque Comme pour le produit de deux matrices, on notera souvent λa au lieu de λa Exemple = 43 Propriétés A, B et C désignent trois matrices quelconques dont les dimensions sont compatibles avec les égalités écrites λ et µ sont deux scalaires de K 43 Distributivité ( A (B + C = A B + A C, A R m,n, B et C R n,p ( (A + B C = A C + B C, A et B R m,n, C R n,p (3 λ (A + B = λa + λb, A et B R m,n (4 (λ + µ A = λa + µa, A R m,n 43 Associativité ( A + (B + C = (A + B + C, A, B et C R m,n ( A (B C = (A B C, A R m,n, B R n,p, C R p,q (3 A (λb = (λa B = λ (A B, A R m,n, B R n,p 433 Commutativité ( A + B = B + A, A et B R m,n ( A B B A, A R m,n, B R n,p 434 Elément neutre pour l addition m,n La matrice nulle m,n K m,n est la matrice ne contenant que des zéros Elle est élément neutre pour l addition des matrices dans K m,n, c est à dire A K m,n, A + m,n = m,n + A = A 435 Elément neutre pour la multiplication : I m,n ( La matrice identité, I n K n,n est élément neutre (à droite et à gauche pour la multiplication des matrices dans K n,n, c est à dire A K n,n, A I n = I n A = A ( Pour les matrices de K m,n : I n est élément neutre à droite et I m élément neutre à gauche pour la multiplication C est à dire : A K m,n A = A I n = I m A

6 6 Chapitre 4 Matrices 436 Divers ( Le produit de deux matrices diagonales D = Diag (d, d,, d n et D = Diag (d, d,, d n est la matrice diagonale D D = Diag (d d, d d,, d n d n ( Transposition (AB t = B t A t, A R m,n, B R n,p 437 L espace vectoriel (K m,n, +, Certaines propriétés de l ensemble des matrices K m,n peuvent être résumées en Théorème 4 (K m,n, +, est un espace vectoriel, c est à dire : (K m,n, + est un groupe commutatif ; le produit par un scalaire vérifie λ, µ K et A, B K m,n : λ (µa = (λµ A λ (A + B = λa + λb 438 L anneau des matrices carrées d ordre n Pour les matrices carrées d ordre n, les propriétés précédentes peuvent se résumer en : Théorème 4 (K n,n, +, est un anneau (unitaire, c est à dire : (K n,n, + est un groupe commutatif d élément neutre n La loi est interne, associative, et distributive par rapport à +, et elle admet un élément neutre I n 439 Matrice et application linéaire Définition 4 Une application u : R n R m est linéaire, si et seulement si X, Y R n, λ, µ R, u (λx + µy = λu (X + µu (Y Proposition 4 Toute application linéaire u : R n R m peut s écrire, pour tout X = (x, x,, x n T R n u (X = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n que l on peut condenser en u (X = AX avec A = (a ij i m j n Rm et X = (x, x, x n T Démonstration Admis Définition 4 La matrice A est appelée la matrice de l application linéaire u (sous entendu dans les bases canoniques de R n et R m Le «point» dans cette écriture correspond au produit matriciel On voit que les vecteurs colonnes de la matrice A sont les coordonnées des images des vecteurs de la base canonique de R n : pour e i = (δ ij j n, i-ème vecteur de la base canonique de R n, on a u (e i = (a i, a i,, a mi T qui est bien le i-ème vecteur colonne de A Théorème 43 Si u et v sont deux applications linéaires u : R n R m et v : R p R n de matrices A R m,n et B R n,p (dans les bases canoniques, alors l application linéaire u v : R p R m a pour matrice A B (dans la base canonique de R m,p

7 44 Inverse d une matrice 7 Démonstration X désignant les coordonnées du vecteur x dans la base canonique de R p, on a u v (x = u (v (x = u (B X = A (B X et par associativité de, on obtient le résultat Exemple 4 La matrice I n,n est la matrice de l application linéaire identité de R n : Id R n : X R n X R n { si i + j = n + La matrice A = (a ij i n définie par a ij = à l allure suivante A = j n sinon, elle est associée à la permutation u : R n R n (x, x,, x n (x n, x n,, x 43 Matrice d un système linéaire Un système d équations linéaires (ou plus simplement système linéaire à n inconnues x, x,, x n et m équations est une système d équations de la forme : ( a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m On peut écrire ce système u (X = B où u est une application linéaire de R n dans R m, de matrice a a a n a a a n A = Rm,n, où X est le vecteur colonne X = (x, x,, x n T a m a m a mn R n et B est le vecteur colonne B = (b,, b m T R m Le système linéaire ( s écrit donc matriciellement : AX = B 44 Inverse d une matrice Définition 43 Une matrice carrée A K n,n est dite inversible s il existe une matrice B K n,n vérifiant Si elle existe l inverse de A R n,n l ensemble R n,n AB = BA = I n est unique, elle est notée A, et appartient elle aussi à Démonstration Supposons que A admette deux inverses B et B alors AB = AB = I n En posant C = B B, et en utilisant les propriétés de distributivité, on obtient AC = n On multiplie cette équation à gauche par B et il vient B (AC = (BA C = n et comme (BA C = I n C = C on en déduit C = n c est à dire B = B, ce qui prouve l unicité

8 8 Chapitre 4 Matrices Exemple ( La matrice I n est ( inversible, elle est sa propre inverse car ( I n I n = I n ( La matrice A = admet pour inverse A = Proposition 4 Soient A R n,n une matrice, x = (x, x, x n T R n, et b = (b, b, b n T R,n deux vecteurs On considère le système linéaire de n équations à n inconnues Ax = b Si A est inversible, alors ce système admet la solution unique x = A b Démonstration Si Ax = b et A est inversible, alors A Ax = A b donc I n x = A b donc x = A b Réciproquement si x = A b alors Ax = AA b = I n b = b Proposition Une matrice A K n,n est inversible si et seulement si x K n, Ax = x = Une matrice diagonale D = Diag (d, d,, d n est inversible si et seulement si( ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, c est à dire d d d n Dans ce cas D = Diag d, d,, d n Démonstration admis Remarque Soit A R n,n une matrice inversible On se donne Y = y y n R n, quelconque Considérons l équation AX = Y dont l inconnue est la matrice X R n, Comme A est inversible, on peut écrire A (AX = A Y c est à dire, en utilisant l associativité de la multiplication : ( A A X = A Y soit finalement Y = AX X = A Y Donc si l on sait calculer une solution X de l équation AX = Y, cette solution dépend de Y, et cette dépendance fournit très précisément la matrice A comme le montre l équivalence ci dessus ( Exemple Soit A = ( A est inversible car ( Calculons son inverse : { x + x AX = = = x = ( = X = AX = Y { x + x = y x = y on en déduit que A = ( { x = y y x = y ( X = Y

9 44 Inverse d une matrice 9 ( ( ( (3 On vérifie (facultatif que l on a bien trouvé l inverse : = ( ( = Pour calculer l inverse d une matrice A R n,n, on résoud le système d équations linéaires AX = Y où Y = y R n, est quelconque La solution y n x est X = R n, dépend linéairement des y i, une dépendance de la x n forme matricielle X = BY On obtient alors A = B Méthode du pivot de Gauss pour le calcul de l inverse d une matrice : on écrit côte à côte la matrice carrée à inverser et la matrice identité Par des combinaisons linéaires de lignes, on introduit des dans la partie triangulaire inférieure de la matrice A On effectue les mêmes opérations sur la matrice identité On procède colonne par colonne Par exemple : ( (, on normalise les lignes l des deux matrices en les divisant par, de sorte à avoir sur la diagonale principale de A : ( (, on remplace la ligne l par l l dans les deux matrices, de sorte à mettre un zéro dans la première colonne de A : ( (, On continue à introduire des zéros sur toute la première colonne, puis sur la seconde colonne, dans la partie triangulaire inférieure de A Pour la colonne j, on utilise la ligne j, après l avoir normalisée, afin que le terme diagonal a jj soit égal à 3 On normalise la ligne l de A en la multipliant par 3 ( diagonale principale de A : ( A finir, 3 = 3 3 de sorte qu apparaisse un sur la