GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

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1 ÉOMÉTRI NS L'SP I roites et lans e l'esace Positions et intersection e roites et e lans ex roites 1 et 2 e l'esace eent être : sécantes ler intersection est n oint strictement arallèles ler intersection est ie confones (et onc arallèles) ler intersection est égale à 1 (et à 2 ) non colanaires ler intersection est ie ex lans 1 et 2 eent être : sécants ler intersection est ne roite 1 2 strictement arallèles ler intersection est ie 1 2 confons (et onc arallèles) ler intersection est 1 (et 2 ) 1 2 Par raort à n lan, ne roite et être : sécante à ler intersection est n oint strictement arallèle à ler intersection est ie contene ans (et onc arallèle à ) ler intersection est Remarqes ans l'esace, ex roites qi n'ont acn oint commn ne sont as nécessairement arallèles. Il n'est as ossible qe ex lans aient n sel oint commn. htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 1 / 13

2 xercice 01 On consière n cbe. iter : ex roites sécantes ; ex roites strictement arallèles ; ex roites non colanaires ; ex lans sécants ; ex lans strictement arallèles ; ne roite sécante à n lan ; ne roite strictement arallèle à n lan ; ne roite contene ans n lan. xercice 02 ans le cbe e la figre récéente, iniqer (sans jstifier) les ositions relaties 1 ) es lans () et () ; 2 ) es roites () et () ; 3 ) e la roite () et lan () ; 4 ) es lans () et () ; 5 ) lan () et e la roite () ; 6 ) es roites () et (). aractérisation 'n lan ans l'esace il existe n sel lan assant ar 3 oints,, non alignés assant ar n oint et contenant ne roite qi ne asse as ar contenant ex roites sécantes 1 et 2 contenant ex roites strictement arallèles 1 et xercice 03 On consière n cbe. 1 ) Jstifier qe les qatre oints,, et sont colanaires (c'est-à-ire q'ils aartiennent à n même lan). 2 ) émontrer qe les roites () et () sont sécantes. 3 ) a) Jstifier qe les roites () et () sont arallèles. b) Soient I et J les miliex resectifs e [] et []. émontrer qe les roites (IJ) et () sont arallèles. 4 ) émontrer qe les roites (I) et (J) sont sécantes. Soit Ω ler oint 'intersection. émontrer qe Ω est n arallélogramme et onner la osition e Ω ar raort à et. htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 2 / 13

3 Parallélisme e roites et e lans Si ex roites 1 et 2 sont arallèles à ne même roite 3 alors 1 et 2 sont arallèles entre elles Si ex roites 1 et 2 sont arallèles; alors tot lan contenant 2 est arallèle à Si ex lans 1 et 2 sont sécants siant ne roite δ, tote roite arallèle à 1 et à 2 est arallèle à δ 2 1 δ Si ex lans 1 et 2 sont arallèles, tote roite sécante à 1 est assi sécante à Si ex lans 1 et 2 sont arallèles, tote roite contene ans 1 est arallèle à Si ex lans 1 et 2 sont arallèles, tot lan 3 sécant à 1 est assi sécant à 2 et les roites 'intersection sont arallèles Por qe ex lans 1 et 2 soient arallèles, il sffit qe 1 contiennent ex roites sécantes 1 et ' 1 resectiement arallèles à ex roites sécantes 2 et ' 2 e 2. 1 ' 1 2 ' Por q'ne roite soit arallèle à n lan, il sffit qe soit arallèle à ne roite e. Si ex lans 1 et 2 sont arallèles à ne même lan 3 alors 1 et 2 sont arallèles entre ex Étant onné n lan et n oint, il existe n et n sel lan ' assant ar et arallèle à, ce lan contient totes les roites assant ar et arallèles à. ' Théorème toit Si ex roites arallèles et ' sont ans es lans et ' sécants siant ne roite δ, alors et ' sont arallèles à δ. ' δ ' ttention Si est arallèle à et si ' est arallèle à, on ne et as en éire qe est arallèle à '. ' htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 3 / 13

4 Orthogonalité e roites et e lans ex roites 1 et 2 sont orthogonales si lers arallèles resecties ' 1 et ' 2 assant ar n même oint sont ereniclaires ans le lan q'elles éterminent. 1 2 ' 1 ' 2 Si ex roites 1 et 2 sont orthogonales, tote arallèle ' 1 à 1 est orthogonale à tote arallèle ' 2 à ' 1 ' 2 Une roite est ereniclaire à n lan si elle est orthogonale à totes les roites e. Por q'ne roite soit ereniclaire à n lan il sffit q'elle soit orthogonale à ex roites sécantes e. Par n oint il asse ne et ne sele roite ereniclaire à n lan onné. Le oint 'intersection e et e est aelé rojeté orthogonal e sr. Par n oint il asse n et n sel lan ereniclaire à ne roite onnée. Le oint 'intersection e et e est aelé rojeté orthogonal e sr. Si ex lans 1 et 2 sont arallèles, tote roite ereniclaire à l'n est ereniclaire à l'atre. Si ex lans 1 et 2 sont ereniclaires à ne même roite, alors 1 et 2 sont arallèles Si ex roites 1 et 2 sont arallèles, tot lan ereniclaire à l'ne est ereniclaire à l'atre. 1 2 Si ex roites 1 et 2 sont 1 2 ereniclaires à n même lan, alors 1 et 2 sont arallèles. ex lans 1 et 2 sont ereniclaires si l'n 'ex contient ne roite ereniclaire à l'atre. 2 1 ttention Si 1 et 2 sont ex lans ereniclaires, ne roite 1 qelconqe e 1 n'est as orthogonale à ne roite 2 qelconqe e Si es lans sécants 1 et 2 sont tos ex ereniclaires à n même lan 3, alors la roite δ 'intersection e 1 et 2 est ereniclaire à δ Le lan méiater 'n segment [] est le lan assant ar I milie e [] et ereniclaire à la roite () 'est l'ensemble es oints M éqiistants e et e. M I htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 4 / 13

5 xercice 04 On consière n cbe. 1 ) Jstifier qe les roites () et () sont ereniclaires. 2 ) Les roites () et () sont-elles ereniclaires? 3 )Qe et-on ire es roites () et ()? 4 ) Jstifier qe la roite () est arallèle a lan (). 5 ) Jstifier qe la roite () est ereniclaire a lan (). 6 ) Jstifier qe la roite () est sécante a lan (). onstrire ler oint 'intersection. 7 ) Soient I et J les miliex e [] et []. a) Jstifier qe (IJ) est arallèle a lan (). b) Jstifier qe (IJ) et () sont sécantes. ontrire ler oint 'intersection. c) Jstifier qe (IJ) est sécante a lan (). ontrire ler oint 'intersection. Remarqes Les constrctions 'intersections ans l'esace se feront en ne erant as e e qe : ex roites qi araissent sécantes sr n essin ne le sont as nécessairement. Por jstifier q'elles sont effectiement sécantes, il fat jstifier qe ces roites sont colanaires. L'intersection e ex lans sécants est ne roite. Le essin es ex lans n'est as sffisant or faire aaraître ler roite 'intersection. (Il fara soent tiliser es intersections e roites contenes ans les lans) Lorsqe ex lans sont arallèles, lers roites 'intersection aec n même troisième lan sont es roites arallèles. xercice 05 On consière n cbe. Soit I le milie e [] et K le oint éfini ar K = 1. 4 Un lan coe la face siant [I] et la face siant [K]. Montrer qe l'intersection e aec la face est arallèle à [K]. Tracer cette intersection. éterminer et tracer l'intersection e aec les atres faces cbe. xercice 06 On consière le tétraère rerésenté ci-contre. Les oints, et aartiennent resectiement ax arêtes [], [], []. onstrire l'intersection lan () aec le lan (). (On jstifiera la constrction) htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 5 / 13

6 xercice 07 est n aralléléièe rectangle (aé roit). I est n oint e l'arête []. J est n oint e l'arête []. K est n oint e la face (). Voir figre ci-contre. Rerésenter l'intersection lan (IJK) aec les faces aralléléièe rectangle. Tracer la roite 'intersection lan (IJK) et lan (). (Les constrctions seront jstifiées) I K J xercice 08 On consière le tétraère rerésenté ci-contre. Les oints I et J aartiennent resectiement ax arêtes [] et []. Le oint K est sr la face (). onstrire l'intersection lan (IJK) aec les faces tétraère. (On jstifiera la constrction) K J I xercice 09 On consière n cbe. Les ex qestions sont inéenantes. 1 ) Le oint I est n oint e la face (). Le oint J est n oint e la face (). Le oint K est n oint e la face (). (Voir figre) onstrire l'intersection e la roite (IJ) et lan (). n éire l'intersection lan (IJK) aec les faces cbe. (On jstifiera les constrctions) 2 ) On sose maintenant qe I, J et K sont les centres resectifs es faces () ; () et (). Qelle est la natre triangle IJK? (jstifier) émontrer qe est éqiistant es oints I, J et K. émontrer qe est éqiistant es oints I, J et K. n éire qe la roite () est ereniclaire a lan (IJK). K J I xercice 10 On consière n cbe. Les ex qestions sont inéenantes. 1 ) Le oint J est n oint e l'arête []. Le oint K est n oint e l'arête []. Le oint L est n oint e l'arête []. (Voir figre) onstrire l'intersection lan (JKL) aec les faces cbe. (On jstifiera les constrctions) 2 ) On sose qe J, K et L sont les miliex resectifs e [] ; [] et []. émontrer qe la roite () est ereniclaire a lan (JKL). émontrer qe JKL est n triangle éqilatéral. L K J htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 6 / 13

7 II Vecters e l'esace - Vecters colinéaires - Vecters colanaires Proriétés (amises) Les roriétés es or les ecters ans le lan (aition, mltilication ar n réel, relation e hasles...) restent alables or les ecters ans l'esace. éfinition ex ecters non nls, et sont colinéaires lorsq'il existe n réel t tel qe = t. Le ecter nl est colinéaire à tos les ecters. Remarqe ex ecters colinéaires non nls ont la même irection. Si = t aec t > 0 alors et sont e même sens. Si = t aec t < 0 alors et sont e sens contraire. = t t > 0 = t t < 0 Remarqe Lorsqe ex ecters non nls sont colinéaires, on et écrire l'n en fonction e l'atre ( = t ) On it qe les ex ecters sont éenants. Lorsqe ex ecters ne sont as colinéaires, on it q'ils sont inéenants o libres. xercice 11 Soient,, et qatre oints e l'esace. 1 ) Soient I et J éfinis ar I = 1 5 et J = ) Soient K et L éfinis ar K = k et L = k aec k IR. émontrer qe KL et sont colinéaires.. émontrer qe IJ et sont colinéaires. 3 ) À qel théorème e géométrie classiqe ces résltats eent-ils être associés? xercice 12 On consière n tétraère. On aelle I, J, K et L les oints éfinis resectiement ar : I = 2 ; J = 1 ; K = 2 ; L = ) Placer I, J, K et L sr le essin. 2 ) xrimer IJ en fonction e et, is en fonction e. 3 ) Jstifier qe les oints I, J, K et L sont colanaires et qe la roite () est arallèle a lan (IJKL) 4 ) émontrer qe la roite () est arallèle a lan (IJKL). xercice 13 est n cbe. 1 ) On consière K, L, M, N les miliex resectifs e [],[],[],[]. émontrer qe KL =. Montrer qe les oints K, L, M et N sont colanaires et qe le lan (KLMN) est arallèle a lan (). 2 ) Montrer qe la roite () est arallèle a lan (KLMN). 3 ) Montrer qe le lan () est sécant a lan (KLMN) et qe ler roite 'intersection est arallèle à (). htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 7 / 13

8 Proriété (oir émonstration 01) Soit n oint et soient et ex ecters non colinéaires e l'esace. L'ensemble es oints M tels qe : M = t + t' aec t IR et t' IR est n lan. On it qe c'est le lan assant ar et e cole e ecters irecters (, ). 'est le lan contenant les roites (; ) et (; ). M Proriété (oir émonstration 02) Soient et ex ecters non colinéaires e l'esace et soient et ex oints. Le lan assant ar e cole e ecters irecters (, ) et le lan assant ar e cole e ecters irecters (, ) sont arallèles. Remarqe ttention : Si ex lans ne sont as éfinis à artir même cole e ecters irecters, on ne et as en éire q'ils ne sont as arallèles. xercice 14 Théorème toit. On consière ex lans et ' sécants siant ne roite δ et ex roites et ' arallèles telles qe est contene ans et ' est contene ans '. 1 ) Jstifier qe si et ' sont confones alors δ = = '. 2 ) On sose qe et ' ne sont as confones. Soient et ' '. Soit n ecter irecter e et n ecter irecter e δ. a) n sosant qe les ecters et ne sont as colinéaires, jstifier qe est le lan assant ar et e cole e ecters irecters (, ), is en conclre qe et ' sont arallèles. b) n éire qe et sont colinéaires. c) n éire qe et ' sont arallèles à δ. ' δ ' xercice 15 On consière n tétraère. Soit le oint éfini ar = + 1 : 2 le oint éfini ar = et le oint éfini ar = ) Placer les oints ; et sr le essin. 2 ) Jstifier qe se troe ans le lan (). 3 ) Les oints, et sont-ils alignés? Jstifier. 4 ) Jstifier qe les roites () et () sont colanaires. 5 ) xrimer les ecters et en fonction e et. n éire qe est le oint 'intersection es roites () et (). Remarqes Une roite est éfinie ar n oint et n ecter irecter. ex ecters non nls sont colinéaires lorsq'on et écrire l'n en fonction e l'atre. Un lan est éfini ar n oint et n cole e ecters irecters. On ira qe trois ecters sont colanaires lorsq'on et écrire l'n en fonction es ex atres. htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 8 / 13

9 éfinition On it qe trois ecters, et w sont colanaires s'il existe trois réels α, β et γ non tos nls tels qe α + β + γ w = 0. Remarqes Por trois ecters, et w colanaires, si α + β + γ w = 0 aec α 0, alors on et exrimer le ecter en fonction e et w. omme a moins l'n es coefficients α, β, γ est non nl, on et effectiement exrimer l'n es ecters en fonction es ex atres. Lorsqe trois ecters, et w sont colanaires, on it alors qe les trois ecters sont éenants. (s'ils ne sont as colanaires, on it q'ils sont inéenants o libres). xemles Les ecters, et le ecter w éfini ar w = sont colanaires Si es oints sont ans n même lan, 3 ecters obtens à artir e ces oints sont nécessairement colanaires. ttention es ecters, et eent être colanaires sans qe les oints,,,, et soient ans n même lan Proriété (oir émonstration 03) Soit le lan assant ar n oint et e cole e ecters irecters (, ). Soit w n ecter et M le oint tel qe M = w, et w sont colanaires si et selement si le oint M se troe ans le lan. w M w M xercice 16 On consière n cbe. Les ecters ; ; sont-ils colanaires? Les ecters ; ; sont-ils colanaires? Les ecters ; ; sont-ils colanaires? Les ecters ; ; sont-ils colanaires? xercice 17 On consière n tétraère. 1 ) Jstifier qe les ecters, et ne sont as colanaires. 2 ) Soit I le milie e [] ; J le milie e [] ; K éfini ar K = et L éfini ar L = k aec k IR. a) xrimer le ecter JL en fonction es ecters, et. b) xrimer le ecter IK en fonction es ecters, et. c) xiste-t-il ne aler e k or laqelle IK et JL sont colinéaires. htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 9 / 13

10 III Reérage éfinition - Proriété (amise) ans l'esace, n qarlet (O; i, j, k) formé ar n oint O et trois ecters i, j et k non colanaires constite n reère e l'esace. Por tot oint M e l'esace il existe n niqe trilet e réels (x ; y ; z) tel qe OM = x i + y j + z k (x ; y ; z) est le trilet es cooronnées oint M ans le reère (O; i, j, k). Por tot ecter e l'esace il existe n niqe trilet e réels (x ; y ; z) tel qe = x i + y j + z k (x ; y ; z) est le trilet es cooronnées ecter ans le reère (O; i, j, k). Remarqes x est aelée abscisse, y est aelé oronnée et z la cote. ex oints sont confons si et selement si lers cooronnées sont égales. ex ecters sont égax si et selement si lers cooronnées sont égales. Si i, j et k sont ex à ex orthogonax, on it qe le reère est orthogonal. Si i, j et k sont ex à ex orthogonax et ont or norme 1, on it qe le reère est orthonormé. On et aater ax trilets e cooronnées ans l'esace les roriétés es cooronnées ans le lan. x z k O i j M y Proriété (oir émonstration 04) Soient et ex oints e cooronnées (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) ans le reère (O; i, j, k), alors Le ecter a or cooronnées (x - x ; y - y ; z - z ) Le milie e [] a or cooronnées x + x 2 Si le reère (O; i, j, k) est orthonormé, on a = = (x - x ) 2 + (y - y ) 2 + (z - z ) 2 ; y + y 2 ; z + z 2 Proriété (oir émonstration 05) Soient et ex ecters e cooronnées resecties (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z'), et soit t n réel. + a or cooronnées (x + x' ; y + y' ; z + z') t a or cooronnées (t x ; t y ; t z) et sont colinéaires si et selement si lers cooronnées sont roortionnelles. Si le reère (O; i, j, k) est orthonormé, on a : = x 2 + y 2 + z 2 xercice 18 L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). On consière les oints (-3 ; 5 ; 2) ; (-2 ; 1 ; 1) ; (4 ; -2 ; -2) ; (3 ; 2 ; -1) Jstifier qe est n arallélogramme et éterminer les cooronnées e son centre I. xercice 19 L'esace est raorté à n reère orthonormé (O; i, j, k). On consière les oints (-1 ; 3 ; 1) ; (3 ; 1 ;-1) ; (1 ;-3 ;-1) ; (-5 ; 0 ; 2). 1 ) Jstifier qe est n triangle rectangle. 2 ) Montrer qe les ecters et sont colinéaires. Montrer qe,, et sont colanaires. Qelle est la natre qarilatère? htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 10 / 13

11 xercice 20 L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). On consière les oints (0 ; 2 ; 1) ; (-2 ; 3 ; 1) ; (1 ; 2 ; -1) Jstifier qe les oints, et ne sont as alignés. éterminer les cooronnées milie I e [] et centre e graité triangle. Proriété (oir émonstration 06) L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). Soit n ecter non nl e cooronnées (a; b ; c) et soit n ecter e cooronnées (x ; y ; z). x = t x a est colinéaire à Remarqe = t aec t IR y = t x b z = t x c aec t IR Trois oints istincts, et sont alignés si et selement si les ecters et sont colinéaires. On et alors tiliser la roriété ci-esss : - x = t (x - x ) est colinéaire à = t aec t IR x y - y = t (y - y ) aec t IR z - z = t (z - z ) xercice 21 L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). 1 )Soient, et w les ecters e cooronnées resecties 1 2 ; et et sont-ils colinéaires? et w sont-ils colinéaires? et w sont-ils colinéaires? éterminer les cooronnées ecter w. Qe et-on en éire or les ecters, et w? 2 ) Les oints ( 2 ; 3 ; -1), ( 1 ; -3 ; 1) et (4 ; 2 ; 1) sont-ils alignés? Proriété (oir émonstration 07) L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). Soit n oint e cooronnées (x ; y ; z ) et n ecter non nl e cooronnées (a ; b ; c). M(x ; y ; z) est sr la roite assant ar et e ecter irecter M = t aec t IR x = x + t x a y = y + t x b aec t IR z = z + t x c On it qe ce système est n système 'éqations aramétriqes e la roite (; ) o ne rerésentation aramétriqe e la roite (; ). Remarqes Soient (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) ex oints istincts. M(x ; y ; z) () = x + t (x - x ) M = t aec t IR x y = y + t (y - y ) z = z + t (z - z ) aec t IR Il existe ne infinité e systèmes 'éqations aramétriqes 'ne roite, isq'on et choisir 'ne infinité e façons n ecter irecter et n oint e la roite. ans le lan ne roite est caractérisée ar ne éqation cartésienne (relation entre x et y) ans l'esace ne roite est caractérisée ar n système 'éqations aramétriqes (relation entre x et le aramètre t, relation entre y et le aramètre t, relation entre z et le aramètre t) htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 11 / 13

12 xercice 22 L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). Soient (3 ; 1 ; -1) et (0 ; 2 ; -2). onner ne rerésentation aramétriqe e la roite (). Le oint (-3 ; 3 ; 1) aartient-il à la roite ()? xercice 23 L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). On consière les oints (2 ; -1 ; 5) ; (1 ; -3 ; 2) et (2 ; 3 ; 9) et le ecter (1 ; 0 ; 1). onner ne rerésentation aramétriqe e la roite () et ne rerésentation aramétriqe e la roite assant ar et e ecter irecter. éterminer si ces ex roites sont sécantes et onner éentellement les cooronnées e ler oint 'intersection. xercice 24 L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). x = 2 + 3t 1 ) Jstifier qe l'ensemble es oints M(x ; y ; z) tels qe y = t aec t IR, z = 2-4t est ne roite qe l'on caractérisera. x = 5-6t' 2 ) Jstifier qe l'ensemble es oints M(x ; y ; z) tels qe y = 1-4t' aec t' IR, z = t' est ne roite ' qe l'on caractérisera. 3 ) Qe et-on ire es ositions relaties e et '? 4 ) Jstifier qe l'ensemble es oints M(x ; y ; z) tels qe x = 3 - λ y = 1 + λ aec λ IR. z = 2 est ne roite δ qe l'on caractérisera. onner ex oints istincts e δ. 5 ) Qe et-on ire es ositions relaties e et δ? xercice 25 On consière n cbe. onner, sans jstification, les cooronnées es ifférents sommets cbe ans le reère ( ;,, ). onner les cooronnées e I milie e [] et J milie e []. onner ne rerésentation aramétriqe e la roite (I) et ne rerésentation aramétriqe e la roite (J). émontrer qe les roites (I) et (J) sont sécantes et éterminer les cooronnées e ler oint 'intersection Ω. Jstifier qe Ω ; et sont alignés. xercice 26 On consière n cbe arête e longer 1. On se lace ans le reère orthonormé ( ;,, ). On consière les oints I 1 ; 1 4 ; 0 ; J 0 ; 3 4 ; 1 ; K 2 5 ; 0 ; 1 et L(a ; 1 ; 0) aec a n nombre réel aartenant à l interalle [0 ; 1]. 1 ) éterminer ne rerésentation aramétriqe e la roite (IJ). 2 ) émontrer qe la roite (KL) a or rerésentation aramétriqe : x = a t' y = t' z = 1 - t' ; t' IR 3 ) émontrer qe les roites (IJ) et (KL) sont sécantes si et selement si a = 3 5. onner alors les cooronnées e ler oint 'intersection. htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 12 / 13

13 xercice 27 L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). On consière les oints (1 ; 2 ; 0) ; (-1 ; 2 ; 3) et (1 ;-2 ; 1) Jstifier qe les ecters et ne sont as colinéaires. n éire q'il existe n et n sel lan contenant les oints, et. x = 1-2t Soit M(x ; y ; z). Montrer qe M il existe ex réels t et t' tels qe y = 2-4t' z = 3t + t' x = 1-2t On it qe le système y = 2-4t' aec t IR et t' IR est ne rerésentation aramétriqe lan. z = 3t + t' Soit (3 ; 2 ; 1). Montrer qe. Soit (-3 ; 6 ; 5). Montrer qe. xrimer le ecter en fonction es ecters et. Proriété (oir émonstration 08) L'esace est raorté à n reère (O; i, j, k). Soient n oint e cooronnées (x ; y ; z ) ; (a ; b ; c) et (a' ; b' ; c') n cole e ecters non colinéaires. M(x ; y ; z) aartient a lan assant ar et e cole e ecters irecters ( ; ) M = t + t' aec t IR et t' IR x = x + t x a + t' x a' y = y + t x b + t' x b' z = z + t x c + t' x c' aec t IR et t' IR On it qe ce système est n système 'éqations aramétriqes lan (;, ) o ne rerésentation aramétriqe lan (;, ). xercice 28 On consière n tétraère. Soit I le milie e [] et J le milie e [] et K le milie e [I] Jstifier qe la roite (K) est sécante a lan (J) en n oint L. xrimer le ecter L en fonction es ecters ; et. xercice 29 J On consière n cbe arête e longer 1. On se lace ans le reère orthonormé ( ;,, K ). N On consière les oints I 1 ; 1 4 ; 0 ; J 0 ; 3 4 ; 1 ; K 2 5 ; 0 ; 1 La figre ci-contre fait aaraître l intersection lan (IJK) aec les faces cbe telle q elle a été obtene à l aie n logiciel e géométrie ynamiqe. 1 ) Jstifier qe la roite (IL) est arallèle à la roite (JK). onner ne rerésentation aramétriqe e la roite (IL) et ne rerésentation aramétriqe e la roite (). n éire les cooronnées oint L. M L 2 ) Jstifier qe les roites (IL) et () sont sécantes et émontrer qe ler oint 'intersection S a or abscisse I 3 ) onner ne rerésentation aramétriqe e la roite (SK) et ne rerésentation aramétriqe e la roite (). n éire les cooronnées oint M. 4 ) éterminer les cooronnées oint N. htt://xmaths.free.fr TS éométrie ans l'esace age 13 / 13