Exercices Géométrie plane

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1 I Notions élémentaires et compléments sur les vecteurs Savoir-faire 1 : Démontrer avec des vecteurs Exercice 1 ABCD et BDFE sont deux parallélogrammes. Le point K est défini par BK = CB. 1. Justifier les égalités BE = DF et BC = AD.. Démontrer que KE = AF. 3. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère KEFA? Exercice Soit ABC un triangle quelconque. On considère les points D et E définis par BD = BA + CA et AE = BA + CB. 1. Faire une figure. Quelle conjecture peut-on émettre?. En utilisant l égalité DE = DB + BA + AE, démontrer la conjecture faite à la question précédente. Exercice 7 Algorithmique Soit un point A(3; 4) et u ( a ) un vecteur du plan, où a et b sont des réels. b On considère le point M(x; y) défini par l églité AM = u. 1. Exprimer en fonction de a et de b les coordonnées du point M.. Recopier et compléter l algorithme suivant afin qu il affiche les coordonnées du point M à partir de la saisie des coordonnées de u. Savoir-faire 3 : Construire un point défini vectoriellement Exercice 3 ABC est un triangle. 1. Costruire le point D tel que AD = AB + AC.. Démontrer que, si M est un point du plan, alors MB + MC = MD + MA. Exercice 4 Soit A, B, C et D quatre points. Démontrer que AD + BC = AC + BD. Savoir-faire : Déterminer les coordonnées d un point Exercice 5 Soit les points A(3; ), B( ; 4) et C(5; 6). 1. Déterminer les coordonnées du point N tel que ON = 1 AC + BC.. Déterminer les coordonnées du point P tel que BP = AB AC. Exercice 6 Soit les points A(4; ), B( 1; 3) et C(6; 0). 1. Déterminer les coordonnées du point M tel que AM = AB + AC.. Déterminer les coordonnées du point N tel que BN = AB + 1 AC + 3BC. Exercice 8 Soit A, B et C trois points quelconques du plan. 1. Construire le point D tel que CD = AB.. Construire le point E tel que CE = 3 CA. 3. Construire le point F tel que BF = 0,5BC + AC. Exercice 9 A, B et C sont troix points non alignés. Construire les points M, N, P et Q tels que : 1. AM = AB. AN = 3AC 3. AP = AB + 3AC Exercice 10 Reproduire la figure ci-contre et construire les points D, E et F tels que : CD = 3 AB AE = CB + AC BF = 3 5 AC + 3 BC 4. BQ = AP

2 Exercice 11 Logique 1. L énoncé suivant est-il vrai? «Si AI = 1 AB alors I est le milieu de [AB]».. L énoncé réciproque est-il vrai? Exercice 1 Soit A et B deux points du plan. Construire le point M tel que 3MA MB = 0. Exercice 13 Soit A et B deux points du plan. Déterminer puis construire l ensemble des points M du plan tels que 4MA = 5MB. II Application du calcul vectoriel Savoir-faire 4 : Utiliser la formule de la norme Exercice 14 Considérons : u ( ) et v ( 7) et A(; 1) et B(3; 5) dans le plan Calculer les normes de u et de v.. Déterminer la norme du vecteur w = u + v. 3. Déterminer les coordonnées du vecteurs AB, puis calculer la norme de AB. Exercice 15 Déterminer la norme du vecteur AB. 1. A(4; 5) et B(1; 8).. A( 5; 7) et B(6; 3). Exercice 16 Soit les points A(3; ), B(; 1), C(8; 3) et D(9; 0). 1. Placer ces points dans un repère orthonormé.. Conjecturer la nature du quadrilatère ABCD. 3. Démontrer cette conjecture. Exercice 17 Soit les points A(6; ), B(4; 5) et C (10; 5 ). 1. Déterminer les coordonnées du point D tel que AD = AC + AB.. Déterminer les coordonnées du point E tel que BE = BC + 3AB. 3. Démontrer que ABED est un parallélogramme. 4. Calculer les longueurs BD et AE. Que peut-on en déduire pour le parallélogramme ABED? Exercice 18 Soit les points A(; 1) et B( 7; ). Déterminer les coordonnées du point M tel que MA 5MB = 0. Savoir-faire 5 : Utiliser la condition de colinéarité Exercice 19 On considère les points A(; 4), B(6; 7), C(4; 1) et D (10; 11 ). 1. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.. Soit E( 1; ). Les points A, B et E sont-ils alignés? Exercice 0 Soit les points A( 1; 1), B( 4; 1) et C(5; 5). Démontrer que les points A, B et C sont alignés. Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, justifier si A, B et C sont ou non alignés. 1. A(1; 1), B(4; 1) et C(4; 5).. A(6; 3), B( 6; 1) et C(1; 4). 3. A(10; 10), B( 4; 4) et C(3 ; 3 ). Exercice Logique 1. L énoncé suivant est-il vrai? «Si deux vecteurs sont égaux, alors ils sont colinéaires.». L énoncé réciproque est-il vrai? Exercice 3 Un solide est placé sur un plan incliné sur lequel il est immobile. En l absence de frottements, ce solide est soumis à trois forces : son poids, représenté par le vecteur P, la réaction du sol R et une force F exercée par un câble qui évite le glissement du solide. Les trois vecteurs peuvent être représentés dans un plan muni d un repère orthonormé. P a pour coordonnées ( 0 10 ), F est colinéaire au vecteur u (3 1 ). Comme le solide est immobile, P + R + F = Justifier l existence d un réel k tel que les coordonnées de R sont ( k 3k ).. Déterminer les coordonnées des vecteurs R et F. 3. La norme du vecteur F donne l intensité, en newtons, de la force exercée par le câble. La déterminer.

3 Exercice 4 Soit les points A(; 1), B(3; 7) et C(4; y). Déterminer le réel y pour que A, B et C soient alignés. Exercice 5 Soit les points A(X A ; Y A ), B(X B ; Y B ) et C(X C ; Y C ). 1. Exprimer les coordonnées des vecteurs AB et AC en fonction des coordonnés des points A, B et C.. Ecrire la condition de colinéarité des vecteurs AB et AC. 3. Recopier et compléter l algorithme ci-après. Exercice 9 Soit les points A(4; 3), B(8; 7) et C(11; 1). 1. Déterminer les coordonnées du point D défini par AD = 3 AB + AC.. Déterminer les coordonnées du point E défini par AE = 5 AB + 1 BC Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Exercice 30 Soit les points A( 1; 3), B(3; ) et C(1; ). 1. Faire une figure.. Calculer les coordonnées des points N, P et S tels que N est le milieu de [AB], P est le milieu de [NB] et S est défini par SA + SC = Placer les points N, P et S. 4. Démontrer que les droites (PC) et (SN) sont parallèles. Savoir-faire 6 : Décomposer un vecteur pour démontrer Exercice 6 Soit A(1; 5), B(3; 9), C(7; 1) et D(10; 5). 1. Démontrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.. Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (CD)? Exercice 7 Dans chacun des cas suivants, justifier si les droites (OA) et (BC) sont ou non parallèles. 1. A(8; 16), B( 1; 7) et C(0; 35).. A( 1; ), B( 1; 7) et C(0; 36). 3. A ( 3 ; 4 ), B(1; 3) et C( 8; 13). 4 3 Exercice 8 Soit A( 3; 4), B(6; 3), C( 4; 9) et D(3; 4). 1. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].. Les droites (ID) et (AC) sont-elles parallèles? Justifier. 3. Quel est le point d intersection des droites (ID) et (BC)? Exercice 31 ABC est un triangle. 1. Construire les points M et P définis par AM = 3AB + BC et BP = BC. 3. Exprimer AP en fonction de AB et BC. 3. En déduire que les points A, M et P sont alignés. Exercice 3 ABC est un triangle. On considère les points D et E définis par AD = 4AB + AC et BE = 1 BC Faire une figure.. Démontrer que A, D et E sont alignés. Exercice 33 Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Démontrer que OA + OB + OC + OD = 0. Exercice 34 Soit ABCD un parallélorgramme, E le symétrique de A par rapport à B et F le symétrique dec par rapport à D. 1. Justifier que BE = AB.. Démontrer que BEDF est un parallélogramme.

4 Exercice 35 Exprimer les vecteurs a, b, c, w, z et t en fonction de u et v. 1.. Exercice 36 Soit ABC un triangle quelconque. A et B sont les milieux respectifs des côtés [BC] et [AC]. 1. Placer le point D tel que A D = BB.. Démontrer que A CDB est un parallélogramme. Exercice 37 Logique 1. L énoncé suivant est-il vrai? «Si les points A, B, C et D sont alignés, alors les vecteurs AB et CD sont colinéaires.». Enoncer la contraposée de cette proposition. A quoi peut-elle servir? 3. La proposition réciproque est-elle vraie? Exercice 38 Soit ABC un triangle quelconque. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC]. 1. Exprimer le vecteur IA en fonction de BA. Exprimer de même le vecteur AJ en fonction de AC.. En déduire que IJ = 1 BC. Exercice 39 ABCD est un parallélogramme. 1. Construire les points E, F et G définis par : DE = DB ; CF = 5CA et BG = 3AB.. Démontrer que les points E, F et G sont alignés. Exercice 40 Soit A, B et C trois points. 1. Construire le point M tel que AM = 1 AB + 1 AC.. Démontrer que M est le milieu de [BC]. Exercice 41 Soit ABC un triangle et M un point quelconque du plan. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. 1. Construire les points G et H définis par MG = MJ et MH = MI.. Démontrer que BCGH est un parallélogramme. Exercice 4 Soit ABC un triangle. 1. Construire les points I et K tels que KB = BA et KI = BC.. Démontrer que C est le milieu du segment [AI]. Exercice 43 On considère un triangle ABC. 1. Reproduire la figure.. Placer M défini par AM = 3 AC + AB. 3. Placer le point N défini par BN = AB AC. 4. Placer le point P défini par BP = AB 3 AC. 5. Démontrer que le quadrilatère NCMP est un parallélogramme.

5 III Equations de droites Savoir-faire 7 : Déterminer un vecteur directeur d une droite Exercice 44 Pour chacune des droites d 1, d, d 3, d 4 et d 5, trouver deux points puis un vecteur diecteur. Exercice 47 On donne un vecteur directeur u d une droite d. Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu il existe, le coefficient directeur de la droite d. 1. u ( 1 4 ). u (5 1 ) 3. u (4 8 ) 4. u ( 9 5 ) 5. u ( 0 ) 6. u ( ) Exercice 48 On donne deux points A et B. Déteminer une équation de la droite (AB). 1. A(4; 5) et B(3; 3).. A( 1 ; 1) et B(11; 3). 3. A( ; ) et B( ; ). 4. A(3 ; 7) et B(3; 9). Exercice 45 Dans chacun des cas suivants, justifier si le vecteur u dirige ou non la droite (AB). 1. A(1; ), B(3; 7) et u ( 5 ).. A( 3; ), B(4; 7) et u ( 5 1 ). 3. A( 1; 3), B(7; 3) et u ( 1 0 ). Savoir-faire 8 : Déterminer une équation d une droite Exercice 46 On donne un point A d une droite d et un vecteur directeur de cette droite. Déterminer, pour chaque cas, une équation de d. 1. A(3; 1) et u ( 4 7 ).. A( ; 3) et u ( 1 3 ). 3. A( 4; 6) et u ( 7 0 ). Exercice 50 Parmi les équation de droites données ci-dessous, retrouver celle qui correspond à chacune des droites tracées. 1. x 3 = 0.. x + y + = x + y = y 3 = x + y 9 = x y + 5 = 0. Exercice 51 Dans chacun des cas suivants, justifier si le point A appartient ou non à la droite d dont on donne une équation. 1. A(; 1) et d: 4x + 3y 5 = 0.. A( 5; 1) et d: x + y + 3 = A(3; 5) et d: x 6 = 0.

6 Savoir-faire 9 : Déterminer un vecteur directeur d une droite à partir d une de ses équations Exercice 5 Dans chacun des cas suivants, déterminer un vecteur directeur de la droite d dont on donne une équation. 1. d: 5x = 4y + 1. d: x 3 = 0 Exercice 53 Indiquer si d 1 et d sont parallèles. 1. d 1 : 7x + y 1 = 0 et d : x + 5y 3 = 0.. d 1 : x y 1 = 0 et d : x + y 3 = 0. Exercice 54 Déterminer une équation de la droite parallèle à la droite d et passant par le point A lorsque : d: 4x + y 5 = 0 et A(1; 1). Problème II Le cercle d Euler Soit un triangle ABC, H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit. On note A, B et C les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note P, Q et R les milieux respectifs des côtés [AH], [BH] et [CH]. On admet que l orthocentre H du triangle ABC vérifie l égalité : OH = OA + OB + OC (Pour ceux qui voudraient la démontrer, pensez à me réclamer un TP). Soit Ω le milieu de [OH]. Problème I La droite de Newton ABC est un triangle. Une droite d coupe (AB) en D, (AC) en E et (BC) en F. M 1 est le milieu de [CD], M est le milieu de [AF] et M 3 est le milieu de [BE]. On cherche à démontrer que les points M 1, M et M 3 sont alignés. On se place dans le repère (A, B, C). 1. Déterminer une équation de la droite (BC).. Justifier l existence de deux réels a et b tels que : AD = aab et AE = bac. a. Donner les coordonnées de D et E en fonction de a et de b. b. Démontrer que la droite (DE) a pour équation bx + ay ab = 0. c. Justifier que a ne peut pas être égal à b. 3. Déduire les coordonnées de F en fonction de a et b. 4. Déterminer les coordonnées de M 1, M et M 3 en fonction de a et b. 5. Justifier que M 1, M et M 3 appartiennent à une même droite. Cette droite est appelée «droite de Newton». 1. Montrer que ΩP = 1 OA.. Exprimer OB + OC en fonction de OA. Ecrire alors une relation liant OH, OA et OA. En déduire que ΩP = ΩA. 3. Etablir quatre égalités analogues concernant les points Q, R, B, C, B et C. 4. Soit Γ le cercle de centre Ω et de rayon R, où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Montrer que les points P, Q, R, A, B et C appartiennent à Γ. 5. On note A 1 le pied de la hauteur du triangle ABC issue de A. a. En considérant le triangle PA 1 A, montrer que A 1 appartient à Γ. b. Montrer de même que les pieds B 1 et C 1 des hauteurs issues de B et de C appartiennent à Γ. A retenir : Γ est le cercle d Euler du triangle ABC. P, Q et R sont les points d Euler de ce triangle.

7 Problème III Intersection d une parabole et d une droite paramétrée Soit a un réel. On considère la parabole Γ d équation y = x + 5x + 5 et l ensemble d a des points M(x; y) dont les coordonnées vérifient l équation : (a + 1)x (a + 1)y + 1 = 0 On cherche à étudier l intersection de Γ et l ensemble d a. 1. Justifier que, pour tout réel a, l ensemble d a est une droite.. On suppose dans cette question que a = 1. Déterminer une équation de la droite d 1. Et en déduire que Γ et d 1 se coupent en un unique point que l on déterminera. 3. On suppose désormais que a 1. a. Ecrire l équation de d a sous la forme y = mx + p. Et en déduire qu un point du plan est un point d intersection de Γ et de d a si et seulement si son abscisse est solution de l équation du second degré E a : x + 3a + 4 5a + 4 x + a + 1 a + 1 = 0. b. Calculer le discriminant Δ a de l équation E a et vérifier l égalité a(11a + 1) Δ a = (a + 1) c. Etudier le signe de Δ a en fonction des valeurs de a. 4. En déduire le nombre de points d intersection de Γ et de d a suivant les valeurs de a. Problème IV Billard et trajectoire Le plateau ABCD d un billard est un rectangle de longueur 00 cm et de largeur 100 cm. On munit ce plateau d un repère orthonormé de centre A et de point B(0; 0) ; le point C(0; 10) et le point D(0; 10). On place une boule au point E(1; 8) et on cherche la position du point d impact F sur le segment [AB], [BC] et [CD]. La balle état frappée sans effet : Elle suit une trajectoire rectiligne entre deux rebonds. Après chaque rebond, sa trajectoire est symétrique à celle précédent le rebond par rapport à la perpendiculaire au côté percuté. On note F(a; 0) le point d impact de la boule avec le côté [AB], avec a ]1; 0[. 1. a. Déterminer les coordonnées du symétrique E du point E par rapport à la droite d équation x = a. b. Justifier que la droite (FE ) a pour équation : 8x + (a 1)y + 8a = 0 c. Déterminer les coordonnées du point G, intersection des droites (FE ) et (BC), puis vérifier que ce point appartient au segment [BC].. a. Justifier que, après avoir rebondi sur le côté [BC], la boule suit une trajectoire parallèle à la droite (EF). b. Déterminer une équation de la droite, parallèle à (EF) et passant par G. c. En déduire que le point H, intersection des droites et (DC), a pour coordonnées ( a ; 10), puis justifier que ce point appartient au 8 segment [DC]. 3. Déterminer une équation de la parallèle à (FG) passant par H et conclure.