1 Fonctions holomorphes

Transcription

1 Université Pierre et Marie Curie LP336 - Mathématiques Emmanuel schenck 1 Année 2006/2007 INTRODUCTION À L'ANALYSE COMPLEXE Résumé du cours 1 Fonctions holomorphes Une fonction complexe f est une application (qu'on supposera continue) d'un ouvert U C dans C. Soit z 0 U. Si la limite f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 existe dans C, on dit que la fonction f est holomorphe en z 0, c'est à dire dérivable au sens complexe en z 0. Une fonction complexe f peut aussi se voir comme une fonction de R 2 dans R 2 via l'écriture z = x + iy avec x, y réels. On écrit en général f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) u est la partie réelle de f, v sa partie imaginaire. Ce sont des fonctions réelles de deux variables réelles. Si f est holomorphe, u et v vérient les équations de Cauchy-Riemann : f holomorphe f est R 2 diérentiable et u x = v y, u y = v x Les formules de dérivation (produit, inverse, composition...) pour les fonctions holomorphes sont les mêmes que dans le cas réel, sous condition bien sûr que ces dérivées existent! 2 Séries entières Une série entière (complexe) est une somme de la forme n 0 a nz n où a n, z C. On dit qu'elle converge absolument si la série n 0 a n z n converge. On a le résultat très important : Théorème 2.1. (Comparaison) Si pour un r > 0 la série n 0 a n r n converge, alors pour tout z < r la série n 0 a nz n converge. 1 emmanuel.schenck@cea.fr 1

2 Le rayon de convergence est le plus grand R > 0 tel que pour tout z tel que z < R, la série n 0 a nz n converge. La somme de cette série dénit une fonction f inniment dérivable dans le disque ouvert centré en 0 et de rayon R, noté D 0 (R). On écrit : Les coecients sont reliés à f via f(z) = n=0 a n z n a n = 1 d n f n! dz (0). n Il n'est pas obligatoire de se placer en 0 : par dénition, une fonction est dite analytique en z 0 U s'il existe un petit disque de rayon r > 0 centré en z 0 telle que dans ce disque D z0 (r), f est la somme (absolument convergente) d'une série entière. On écrit alors : f(z) = n=0 a n (z z 0 ) n Il n'est pas facile de déterminer le rayon de convergence d'une série donnée. On a néanmoins la proposition suivante : Proposition 2.1. Si la suite (réelle) de terme général a n 1 n converge, alors sa limite est égale à l'inverse du rayon de convergence R de la série n 0 a nz n, i.e. lim a n 1 1 n = n + R 3 Théorème de Cauchy et Formule de Cauchy Chemins et théorème de Cauchy. Un chemin de C est une application (continue, dérivable par morceaux) de [0, 1] dans C. Pour t [0, 1], (t) est un nombre complexe, et est simplement une courbe tracée dans C. Par exemple, : t e 2iπt dénit un chemin de C qui est tout simplement le cercle trigonométrique. On dira qu'un ouvert U de C est connexe si deux points de U peuvent toujours être reliés par un chemin tracé dans U. Un ouvert U est simplement connexe si tout chemin fermé (c'est à dire vériant (0) = (1)) peut se rétracter continûment en un point (U ne contient pas de trou). Soit f une fonction complexe dénie dans U. On dénit l'intégrale de f le long de comme : f = 1 0 f((t)) (t)dt L'intégrale du membre de droite est ordinaire : elle se fait sur la variable t qui est une variable réelle! On peut montrer que l'intégrale ne dépend pas de la paramétrisation du chemin, et 2

3 que si f est la dérivée (au sens complexe) d'une fonction g, c'est à dire f = g, alors l'intégrale ne dépend que des extrémités du chemin : f = g = g((1)) g((0)) En particulier, si le chemin est fermé ((1) = (0)) l'intégrale est nulle. La longueur du chemin est par dénition L() = 1 0 (t) dt. On a le résultat suivant, utile en pratique : f sup f(z) L() z Énonçons le théorème fondamental de cette section : Théorème 3.1. (Théorème de Cauchy 2 ) Soit U un ouvert simplement connexe et un chemin fermé tracé dans U (ou de manière équivalente, U ouvert connexe et fermé déformable continûment en un point). Soit f holomorphe dans U. Alors : f = 0 Le théorème de Cauchy nous permet presque d'oublier les chemins d'intégration dans un ouvert simplement connexe pour les fonctions holomorphes : Théorème 3.2. Soit U ouvert simplement connexe, z 1 et z 2 reliés par deux chemins et. Si f est holomorphe dans U : f = En somme, l'intégrale ne dépend pas du chemin mais que de ses extrémités. f Puisque l'intégrale dans U d'une fonction holomorphe entre deux points ne dépend pas du chemin suivi pour relier ces points, cela permet de dénir sans ambiguité des primitives pour les fonctions holomorphes : Proposition 3.1. Soit U ouvert simplement connexe, et f holomorphe dans U. Soient z, z 0 U. Alors la fonction F dénie par F (z) = z z 0 f(ζ)dζ est la primitive de f nulle en z 0, i.e. F (z) = f(z) et F (z 0 ) = 0. Deux primitives de f dièrent d'une constante. Soit un chemin fermé, simple et orienté positivement. On dénit l'indice de par rapport au point z / comme : Ind z () = 1 1 2iπ ζ z dζ Ind z () vaut +1 si entoure z et 0 sinon. Remarque importante : il est très instructif de connaître la démonstration cette propriété. Elle utilise le fait suivant, conséquence du théorème de Cauchy : 2 On rappelle qu'on peut voir le théorème de Cauchy comme une conséquence du théorème de Stokes à 2D et des équations de Cauchy-Riemann. 3

4 Théorème 3.3. Soit U un ouvert connexe de C, f holomorphe dans U et un chemin fermé quelconque tracé dans U. Si l'on peut déformer continûment dans U le chemin en un chemin, alors f = f En somme, on peut déformer tant qu'on veut un chemin fermé sans changer la valeur de l'intégrale dans une région où f est holomorphe. C'est un résultat utile car il permet de se ramener à des cercles, facilement paramétrisables. Notons enn la formule de Cauchy : Théorème 3.4. Soit U un ouvert simplement connexe et un chemin fermé, simple et orienté positivement 3, tracé dans U. Soit f holomorphe dans U, et z un point strictement à l'intérieur de. Alors : f(z) = 1 2iπ f(ζ) ζ z dζ Si l'on connait la fonction f sur le chemin, on la connait donc partout à l'intérieur grâce à la formule de Cauchy. On peut enn établir un résultat essentiel, à savoir que holomorphe et analytique sont deux notions équivalentes : Théorème 3.5. Soit f une fonction complexe d'un ouvert U dans C. Alors : f est holomorphe sur U f est analytique sur U Si f est holomorphe sur U, on peut donc trouver en chaque point z 0 de U une série (dont les coecients dépendent bien sûr de z 0!) telle que autour de z 0 on ait 4 : f(z) = n=0 a n (z z 0 ) n Les coecients de cette série sont donnés par a n = 1 f(ζ) dζ 2iπ (ζ z 0 ) n+1 C où C est un cercle (ou chemin... cf. théorème 3.3) inclus dans le disque de convergence de la série n 0 a n(z z 0 ) n. En notant R le rayon de C, on a de plus l'inégalité de Cauchy : a n sup f R n C Le théorème de Cauchy et la formule de Cauchy permettent de montrer des résultats forts, comme le théorème de Liouville : toute fonction entière (i.e. holomorphe sur C) bornée est constante ; le fait que toute fonction entière croît plus vite à l'inni que n'importe quelle puissance ; le théorème de d'alembert-gauss (tout polynôme de degré >0 a une racine dans C). Notons en passant le théorème de Morera, qui est la réciproque du théorème de Cauchy : 3 ou de manière équivalente, U connexe et fermé simple, orienté 0 et déformable en un point. 4 On peut même montrer que cette série converge absolument sur tout disque D z0 inclus dans U. D'où le fait que la série d'une fonction entière en un point quelconque converge sur tout le plan complexe... 4

5 Théorème 3.6. Soit U ouvert simplement connexe et f continue dans U. Si pour tout chemin fermé simple dans U on a f = 0 alors f est holomorphe dans U. 4 Zéros et singularités On énonce d'abord un résultat qui permet d'isoler la raison pour laquelle une fonction analytique f peut s'annuler : Proposition 4.1. Soit U un ouvert de C et f holomorphe (donc analytique) dans U. Soit z 0 U tel que f(z 0 ) = 0. Alors la série entière de f autour de z 0 peut s'écrire : f(z) = (z z 0 ) p n=0 a n+p (z z 0 ) n où p un entier strictement positif, et a p 0. On dit que z 0 est un zéro de f, et l'entier positif p s'appelle l'ordre du zéro de f en z 0. On a comme factorisé la partie de f responsable du fait que f(z 0 ) = 0 (comme pour les polynômes). On peut déduire facilement de cette proposition que les zéros d'une fonction analytique (non nulle!) sont toujours isolés, i.e. si f(z 0 ) = 0, alors il existe toujours un petit disque de rayon non nul autour de z 0 tel que dans ce disque, z 0 soit le seul zéro de f. En particulier, on voit que les zéros d'une fonction holomorphe (non nulle) ne peuvent pas avoir de point d'accumulation. En fait, on montre que si deux fonctions holomorphes dans un ouvert U connexe coincident sur un ensemble de points qui admet un point d'accumulation, elles sont égales sur U tout entier! On note D z 0 (r) le disque ouvert de centre z 0, de rayon r, privé de z 0. On dit qu'une fonction complexe f a une singularité en z 0 si f est analytique sur D z 0 (r) mais pas sur D z0 (r). S'il existe deux fonctions analytiques g et h telles qu'au voisinage de z 0, f = h g avec g(z 0 ) = 0, h(z 0 ) 0 on dit que f a un pôle en z 0, d'ordre égal à l'ordre du zéro de g en z 0. Sinon, on dit que f a une singularité essentielle en z 0. Le théorème suivant permet de déceler d'éventuelles fausses singularités, ou singularités apparentes : Théorème 4.1. (Critère de Riemann) Soit f holomorphe sur D z 0 (r). Alors, f se prolonge en une fonction holomorphe sur D z0 (r) si et seulement si lim z z0 (z z 0 )f(z) = 0. Dans le cas où f a un pôle, on a le résultat suivant : Théorème 4.2. Soit f holomorphe sur D z 0 (r). Alors f a un pôle d'ordre k en z 0 si et seulement si lim z z0 (z z 0 ) k f(z) 0 et lim z z0 (z z 0 ) k+1 f(z) = 0 On dira qu'une fonction est méromorphe sur un ouvert U si elle est analytique sur U sauf en des pôles isolés. Une fonction méromorphe s'écrit toujours f = h/g avec g et h analytiques. 5

6 5 Séries de Laurent, théorème des résidus On appelle série de Laurent toute série de la forme n= On peut écrire f = f + + f où f + = + n=0 a nz n et f = + n=1 a n( 1 z )n. f + s'appelle la partie analytique de f, et f la partie principale. Si f + converge absolument pour z < R + et f pour 1/ z < 1/R, on voit que f = f + + f converge absolument dans la couronne R < z < R +. On a alors le résultat suivant : Théorème 5.1. Soit f analytique dans la couronne R < z < R +. Alors f admet un développement en série de Laurent qui converge absolument dans cette couronne : f(z) = a n z n n= Les coecients de f sont donnés par la formule a n = 1 2iπ C a n z n f(ζ) dζ ζn+1 où C est n'importe quel cercle compris (strictement) dans la couronne. Bien sûr, on n'est pas obligé de se placer dans une couronne centrée en 0 : si f est analytique dans une couronne centrée en z 0, notée R < z z 0 < R +, f admet un développement de Laurent dans cette couronne, de la forme f(z) = + n= a n(z z 0 ) n. S'il n'y a qu'un nombre ni de terme d'indice négatif dans la série de Laurent autour de z 0, on voit que f a un pôle d'ordre égal à l'indice négatif le plus petit non nul. Dans tous les cas, le coecient a 1 d'un développement de Laurent s'appelle le résidu de f en z 0 et se note Res(f, z 0 ). Remarque : une fonction analytique au voisinage d'un point admet bien sûr un développement de Laurent, simplement sa partie principale est nulle : donc son résidu est nul. Le théorème des résidus, qui est l'analogue du théorème de Cauchy lorsque f a des singularités, s'énonce ainsi : Théorème 5.2. (Résidus) Soit U un ouvert simplement connexe de C, et un chemin fermé simple tracé dans U, orienté positivement. Soit f holomorphe sur U sauf en des singularités isolées notées {z 0, z 1,...z k }. On suppose que ces singularités sont strictement à l'intérieur de. Alors : k f = 2iπ Res(f, z j ) j=1 6

7 Comment calculer en pratique un résidu? Une méthode qui marche toujours consiste bien sûr à trouver la série de Laurent de f autour de la singularité. Mais il peut y avoir d'autres méthodes plus simples! Placons nous dans le cas le plus fréquent, celui des fonctions méromorphes. Dans ce qui suit, g, h, k sont des fonctions analytiques. (Ex. 11 du TD) Si f = h/g avec h(z 0 ) 0, et z 0 est un zéro simple de g, alors Res(f, z 0 ) = h(z 0 )/g (z 0 ) De même, si on arrive à écrire f(z) = Res(f, z 0 ) = h(z 0 )/k(z 0 ) Si on peut écrire f(z) = Res(f, z 0 ) = 1 d p 1 h(z) (p 1)! dz p 1 k(z) z z 0 h(z) (z z 0 )k(z) avec cette fois h(z 0) et k(z 0 ) non nuls, alors h(z) (z z 0 ) p k(z) avec h(z 0) et k(z 0 ) non nuls et p > 1, alors on voit que Les lemmes de Jordan. intégrales de contour. Ce sont des résultats très pratiques lorsqu'on doit calculer des Lemme 5.1. Soit f une fonction complexe continue sur le secteur S = { re iθ, r > 0, θ [0, 2π] } On suppose que lim z zf(z) = 0 (uniformément par rapport à θ) Alors, en notant C R l'arc de cercle de rayon R et d'angle θ [0, π] : lim R + C R f(z)dz = 0 Il y a un résultat similaire lorsque lim z 0 zf(z) = 0 : on a alors lim R 0 C R f(z)dz = 0. Lemme 5.2. Soit f une fonction continue sur le secteur S = {re iθ, r > 0, 0 θ π}. On suppose lim z f(z) = 0 (uniformément par rapport à θ). Alors : lim e iz f(z)dz = 0 R + C R On peut énoncer un résultat idendique sur le secteur S = {re iθ, r > 0, π θ 0}, en supposant aussi que lim z f(z) = 0. Par contre la conclusion est lim e iz f(z)dz = 0 R + C R 6 Logarithmes et Puissances Logarithmes. On sait que la fonction z e z est entière, c'est à dire analytique (holomorphe) sur C. Peut on trouver une fonction holomorphe l telle que e l(z) = z? (une telle fonction, si elle existe, s'appelle une détermination du logarithme). La réponse est oui mais : la fonction en question ne pourra pas être holomorphe dans C tout entier. En fait, on ne peut dénir de logarithme que dans un ouvert U simplement connexe ne contenant pas 0. La dénition la plus utilisée est la détermination principale du logarithme : 7

8 Théorème 6.1. Soit U = C \ R. Alors la fonction dénie par log : z est holomorphe dans C \ R et s'appelle la détermination principale du logarithme. Elle ne dépend donc pas du chemin suivi pour relier 1 et z. Si arg z ] π, π[ (hypothèse cruciale!), cette fonction vérie : e log z = z log z = log z + i arg z log(z 1 z 2 ) = log z 1 + log z 2 + i arg z 1 + i arg z 2 Si arg z est quelconque, il faut toujours se ramener, modulo 2π, à l'intervalle ] π, π[ et écrire arg z = θ + 2kπ avec k Z avant de considérer le logarithme. z 1 1 ζ dζ Tout z dans C \ R s'écrit de manière unique z = re iθ avec r > 0 et θ ] π, π[ : c'est pour cette raison que choisir la coupure R revient exactement choisir une détermination de l'argument de z. On peut tout à fait choisir d'autres coupures (c'est à dire choisir d'autres déterminations de l'arument) : par exemple on peut dénir le log sur C \ R +, mais on aura par contre log z = log z + i arg z avec arg z ]0, 2π[. Idem pour d'autres coupures, il faut toujours bien faire attention au choix de l'argument! Remarques : deux déterminations du logarithme dièrent d'un multiple de 2iπ. De même, si deux points z et z tendent l'un vers l'autre de part et d'autre d'une coupure, on aura à la limite log z = log z ± 2iπ suivant les positions relatives de z et z... Fonctions puissances. Il n'est pas plus dicile de dénir les fonctions puissances que les logarithmes : si α C, on dénira la fonction z z α par z α = exp(α log z) et tout revient à choisir une détermination du logarithme. On n'écrira donc le moins possible des expressions du type z α qui sont ambigues. Par exemple, la racine carrée de z peut se dénir sur C \ R en posant z = z e i arg z 2 mais il faut absolument que arg z ] π, π[. Si ce n'est pas le cas, il faut se ramener à ] π, π[ modulo des multiples de 2π avant de prendre la racine, exactement comme pour le logarithme. Logarithme d'une fonction. Si f est une fonction analytique dans U ouvert simplement connexe, telle que f ne s'annulle pas sur U, on peut dénir le logarithme de f de repère a C en z 0 U comme : z f (ζ) log f(z) = a + f(ζ) dζ Cette fonction vérie bien exp(log f) = f dans U. z 0 8