EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires
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- Marie-Rose Labbé
- il y a 7 ans
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1 XTTS.. SP N 6 28 ÛT 2008 onnaissances apacités ommentaires *Médiatrice d un segment. *onnaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d équidistance. *issectrice d un angle. Propriétés et construction des triangles usuels. *onnaître et utiliser la définition de la bissectrice. tiliser différentes méthodes pour tracer : la médiatrice d un segment ; la bissectrice d un angle. onnaître les propriétés relatives aux côtés et aux *angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. tiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures simples. onstruire une figure simple à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. *a bissectrice d un angle est définie en sixième comme la demi-droite qui partage l angle en deux angles adjacents de même mesure. a justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. n travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à l aide d un logiciel de géométrie. Propriétés des quadrilatères usuels. onnaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange. * a symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. ire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. 100 Je révise 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : bjectifs ctivités Mettre en évidence l axe de symétrie d un triangle isocèle et en déduire des égalités d angles. Mettre en évidence les trois axes de symétrie d un triangle équilatéral et en déduire des égalités d angles. 1. a. a droite () est la médiatrice du segment []. Justification : e point est le milieu de [], donc appartient à la médiatrice de []. e triangle est isocèle en, donc est équidistant des points et. insi appartient à la médiatrice du segment []. a droite () est donc la médiatrice de []. b. es symétriques respectifs des points, et par rapport à la droite () sont, et. c. e triangle est ainsi son propre symétrique par rapport à la droite (). d. a droite () est donc axe de symétrie du triangle. 2. a. ans la symétrie d axe (), le symétrique de est. b. omme la symétrie axiale conserve les angles, on en déduit que : = c. [) partage l angle en deux angles et adjacents de même mesure, donc [) est la bissectrice de l angle. 3. a. ans la symétrie d axe (), le symétrique de est. b. omme la symétrie axiale conserve les angles, on en déduit que : =. c. «Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure». 4. a. et b. étant équilatéral, = =. = : est isocèle en. = : est isocèle en. = : est isocèle en. a trois axes de symétrie. Éditions elin, 2009.
2 c. JK est isocèle en et en J donc JK = KJ et JK = KJ. insi : JK = KJ = JK. es trois angles d un triangle équilatéral ont la même mesure. bjectif Mettre en évidence les deux axes de symétrie d un losange et faire énoncer les propriétés relatives aux diagonales et aux angles. 1. bjectifs Mettre en évidence les deux axes de symétrie d un rectangle. elier les propriétés des diagonales du rectangle à celles de la symétrie axiale es plis n 1 et n 2 représentent des axes de symétrie pour le rectangle. 2. e pli n 3 n est pas un axe de symétrie pour le rectangle et 3. (d 1 ) 2. a. est un losange donc : = = =. omme =, alors appartient à la médiatrice de []. omme =, alors appartient à la médiatrice de []. insi () est la médiatrice de []. b. ans la symétrie d axe (), les symétriques respectifs des points,, et sont,, et. insi le losange est son propre symétrique par rapport à la droite (). c. () est donc axe de symétrie du losange. 3. omme = et =, alors et appartiennent à la médiatrice de []. insi () est la médiatrice de []. ans la symétrie d axe (), les symétriques respectifs des points,, et sont,, et. insi le losange est son propre symétrique par rapport à la droite (). () est donc axe de symétrie du losange. 4. a. es diagonales du losange sont axes de symétrie. lles sont perpendiculaires et ont le même milieu. b. ans la symétrie d axe (), le symétrique de est. ans la symétrie d axe (), le symétrique de est. omme la symétrie axiale conserve les angles, on en déduit que : = et =. insi, les angles opposés du losange ont la même mesure. c. () est la bissectrice des angles et. d. () est la bissectrice des angles et cm 3 cm (d 2 ) 2. ans la symétrie d axe (d 1 ), le symétrique du segment [] est le segment []. a symétrie axiale conservant les distances, on en déduit que =. 3. a. n constate que les diagonales [] et [] se coupent en. b. ans la symétrie d axe (d 1 ) : le symétrique du segment [] est le segment [], donc : = ; le symétrique du segment [] est le segment [], donc : =. c. ans la symétrie d axe (d 2 ) : le symétrique du segment [] est le segment [], donc : = ; le symétrique du segment [] est le segment [], donc : =. d. après b. et c. : = = =. t comme est le point d intersection des diagonales [] et [], on en déduit que est le milieu des diagonales [] et []. e. «es diagonales d un rectangle ont la même longueur et le même milieu». bjectif Mettre en évidence les quatre axes de symétrie du carré et en déduire des égalités de longueurs et d angles. 1. et 4. onstruction d un carré et de ses axes de symétrie. 2. n carré a ses quatre côtés de même longueur, c est donc un losange. n carré a ses quatre angles droits, c est donc un rectangle. n carré est donc à la fois un losange et un rectangle. 3. n carré a quatre axes de symétrie (les deux d un losange et les deux d un rectangle). hapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 101 Éditions elin, 2009.
3 5. es diagonales d un carré sont perpendiculaires, ont le même milieu et ont la même longueur H xercices 1. =, donc le triangle est isocèle en. 2. Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. onc : =. et 3 onstruction d un triangle isocèle connaissant la longueur de sa base et la mesure d un angle à la base. 1. Tracer un segment [] tel que : =. Tracer la demi-droite [x) telle que : x = 75. Tracer l arc de cercle de centre et de rayon qui coupe la demi-droite [x) en = =. = = = = = 2,. 2 Justification : est un rectangle et ses diagonales se coupent en, donc ses diagonales ont le même milieu et la même longueur. 3. est un triangle isocèle en et est un triangle isocèle en. Justification : = et =. ecopier et compléter le tableau ci-dessous en mettant des croix dans les bonnes cases pour indiquer que le quadrilatère (losange, rectangle ou carré) vérifie la propriété. ôtés opposés de même longueur ngles opposés de même mesure osange ectangle arré 75 iagonales perpendiculaires iagonales de même longueur 3. e triangle est isocèle en, donc ses angles à la base ont la même mesure. iagonales de même milieu insi : = = = 2 = 3 cm ; = 2 = 2 cm. Justification : est un losange et ses diagonales se coupent en, donc ses diagonales ont le même milieu. 2. est un triangle isocèle en Justification : est un losange donc ses côtés ont la même longueur. insi : = et est isocèle en. est un triangle rectangle en. Justification : est un losange et ses diagonales se coupent en, donc ses diagonales sont perpendiculaires en. insi : = 90 et est rectangle en Éditions elin, 2009.
4 9 es élèves s aideront du savoir-faire 1 page et 2. À l échelle () est la médiatrice du segment [MN] et l axe de symétrie du triangle MN. 2. n place le milieu de [T]. (S) est l axe de symétrie du triangle ST T J 3 cm K P et 2. À l échelle cm n constate que les bissectrices des angles P et sont parallèles. e même, on constate que les bissectrices des angles P et P sont parallèles. 1. et 2. a. 3. es triangles X et sont rectangles en. 4. () est l axe de symétrie du triangle X isocèle en et la bissectrice de l angle X. omme X = 70, on a : X = X 2 = X J 20 (d) b. n constate que les trois bissectrices se coupent en un même point. 19 (d) hapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 103 Éditions elin, 2009.
5 20 1. e triangle a deux angles et de même mesure, donc est isocèle en. 2. e triangle est isocèle en, donc les segments [] et [] ont la même longueur et 2. À l échelle cm (d 1 ) 21 12,6 : 3 = 4,2. haque côté du triangle équilatéral mesure 4,2 cm. 26 À l échelle cm S 22 T et 2. À l échelle À l échelle ,8 cm 110 H 2. est un losange, donc ses diagonales sont les bissectrices de ses angles. insi [) est la bissectrice de l angle. omme = 110, on a : = 2 = es angles opposés d un losange ont la même mesure, donc : = = N = P = 6 cm. Propriété : si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur. 2. J = JP = J = JN = P 2 = 3 cm. Propriété : si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur. 1. et 2. T ( ) (d) (d ) 104 S (d 1 ) (d 2 ) 3. e cercle ( ) passe par les points, et T. Justification : T est un rectangle, donc ses diagonales [T] et [] ont le même milieu et ont la même longueur. insi : = = = T. Éditions elin, 2009.
6 30 1. et 2. À l échelle 1 2. Thème de convergence 34 e triangle étant équilatéral, ses côtés ont la même longueur. insi, les trois éléments (combustible, comburant, source de chaleur) ont la même importance. À l oral À l échelle axe de symétrie d un angle est la bissectrice de cet angle. 2. a médiatrice d un segment est un axe de symétrie de ce segment n triangle isocèle a un seul axe de symétrie : la médiatrice de sa base. 2. es angles à la base d un triangle isocèle ont la même mesure. 3. n triangle équilatéral à trois axes de symétrie est un carré, donc ses diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires. onc : = et = 90. insi le triangle est rectangle et isocèle en. 3. est un carré donc = 90. omme [) est la bissectrice de, on en déduit que : = 2 = et = = 45 (la moitié de l angle droit d un petit carré). 2. = + = = =. 4. = = =, donc est un losange. = = = 90, donc est un rectangle., étant à la fois un losange et un rectangle, est un carré n losange a deux axes de symétrie : ses diagonales. 2. n rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. : triangle isocèle en. KN : triangle isocèle en K. : triangle équilatéral. ST : triangle rectangle et isocèle en S. 1. n sait que = et =. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. onc et appartiennent à la médiatrice de []. insi () est la médiatrice de [] ; le symétrique de par rapport à () est le point. 2. a. e symétrique de l angle par rapport à () est l angle. b. a symétrie axiale conserve les angles donc =. c. a demi-droite [) partage l angle xy en deux angles adjacents de même mesure, donc [) est la bissectrice de l angle xy. z u x 124 hapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 105 y v Éditions elin, 2009.
7 45 [y) est la bissectrice de l angle xv, donc : xy = xv 2 = = 62. xu = uv xv. xu = xu = 56. [z) est la bissectrice de l angle xu, donc : xz = xu 2 = 56 2 = 28. insi : yz = xy + xz. yz = yz = 90. angle yz est donc droit. [S] est une corde du cercle de centre donc : = S. insi le triangle S est isocèle en. r, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. n en déduit que : S = S. 46 est isocèle en, donc ses angles à la base ont la même mesure : = = 50. = = 50. r, si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. onc le triangle est isocèle en est isocèle en, donc : = = , et sont alignés dans cet ordre donc : = 180. = = insi : = = () est perpendiculaire à () et passe par le milieu de []. () est l axe de symétrie du triangle. insi : = 2 = = =. Si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. onc est isocèle en. est isocèle en, donc =. 2. = et =. r, si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. insi, les points et appartiennent à la médiatrice du segment []. n en déduit que la droite () est la médiatrice du segment [] et que c est un axe de symétrie pour le quadrilatère. 50 b. e triangle étant isocèle en, on en déduit que : =. 3. = et =. n en déduit que () est la médiatrice du segment [] et un axe de symétrie pour le quadrilatère. 4. À l échelle 2 3, cm es points et appartiennent au cercle de centre et de rayon 2 cm, donc : = = 2 cm. e triangle a deux côtés [] et [] de même longueur, donc est isocèle en. Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. = = = = = 60. = = = = = 60. Si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. onc est isocèle en. n en déduit que = À l échelle 1 2. ( 1 ) 2 cm J 2 cm ( 2 ) 2. et J appartiennent au cercle ( 1 ) de centre et de rayon 2 cm, donc : = J = 2 cm. et J appartiennent au cercle ( 2 ) de centre et de rayon 2 cm, donc : = J = 2 cm. = J = = J = 2 cm. J a ses quatre côtés de même longueur, donc c est un losange. es diagonales d un losange sont perpendiculaires, donc les droites () et (J) sont perpendiculaires = = insi : = = a. = = 50. Si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. onc le triangle est isocèle en. 106 Éditions elin, 2009.
8 53 2. n sait que est un losange. r si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. onc : () (). n sait que : () () et () // () r si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre. onc les droites () et () sont perpendiculaires. 1. a. et b. ( ) = 2 2 et 9 = 3 3. donc : = 2 cm et = 3 cm. 2. et 3. 2 cm 3 cm (d) 2. et appartiennent au cercle ( ) de centre, donc =. appartient à la médiatrice (d) du segment [], donc =. insi : = =. e triangle est équilatéral. n en déduit donc que les angles du triangle ont la même mesure et 3. () et () sont parallèles. 2. n a pas d axe de symétrie ire de, en cm 2 : 2 ire de, en cm 2 : 2 3 = 6. = = = = = est un rectangle et est le point d intersection de ses diagonales, donc : =. insi le triangle est isocèle en. 3. étant isocèle en, alors ses angles à la base et ont la même mesure : = = 40. [) est la bissectrice de l angle, donc : = 2 = 40 2 = 20. [) est la bissectrice de l angle, donc : = 2 = 40 2 = = = 20, donc le triangle est isocèle en a. et 2. a. J rgumenter et débattre M aux. 2. Vrai. 3. aux. 4. Vrai. 5. aux. 6. aux. 7. aux. 8. aux. K 1. b. JK est un rectangle et ses diagonales se coupent en. r, si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur. onc =. 2. b. M est le symétrique de par rapport à la droite () donc : M = et M =. omme =, on en déduit que : = = M = M. e quadrilatère M ayant ses quatre côtés de même longueur, on en déduit que M est un losange. 59 Pour les curieux 1. lason de la principauté de Monaco : triangles isocèles, triangles rectangles et losanges. lason de l ancien duché de avière : losanges. rmoiries du pape régoire X : triangles rectangles et isocèles ; carrés. lason de la ville de arcelone : triangles rectangles et isocèles ; carré. 2. e blason de la ville de Monaco et les armoiries du pape régoire X. hapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 107 Éditions elin, 2009.
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