IUFM des Pays de la Loire, site de Nantes Préparation au CRPE Epreuve blanche de mathématiques du 12 mars 2010

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1 IUFM des Pays de la Loire, site de Nantes Préparation au CRPE Epreuve blanche de mathématiques du 12 mars 2010 Le sujet comporte 11 pages dont 7 pages d annexes. L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Sauf précision contraire dans le texte, toutes les réponses doivent être justifiées. Exercice 1 (4 points) Dans cette question, on utilise la convention suivante : Un nombre surmonté d un trait doit s interpréter en base sept, ainsi l écriture 10 désigne le nombre sept, l écriture 21 désigne le nombre quinze. Les nombres écrits sans ce trait se lisent en base dix. Les candidats utiliseront la même convention d écriture. On pourra si nécessaire utiliser les égalités suivantes : 7 3 = 343 ; 7 4 = 2401 ; 7 5 = ; 7 6 = ; 7 7 = On considère le nombre entier A qui s écrit en base sept. 1) Sans convertir A en base dix, déterminer l écriture en base sept des nombres : a. A + 49 b. A c. 2A 2) Soit B le plus grand nombre entier qui s écrit avec 6 chiffres en base sept, donner l écriture en base sept de B. 3) Indiquer deux méthodes permettant de déterminer l écriture en base dix du nombre B. L une des deux méthodes devra utiliser une seule opération (les valeurs de 7 n fournies dans ce sujet n ont pas à être recalculées). Questions complémentaires 1 (4 points) Vous trouverez en annexes des exercices extraits de deux fichiers destinés au cours préparatoire. L encadré situé sous chaque extrait de fichier est tiré du livre du maître correspondant et concerne les exercices reproduits dans la même page. L annexe 1 est tirée de «Cap Maths» (éditions Hatier, 2009). L annexe 2 est tirée de «Maths tout terrain» (éditions Bordas, 2009). a) Dans le livre du maître «Cap Maths», des activités de commande de boutons sont effectuées en classe avant les exercices individuels sur le fichier. Lors de ces activités, les élèves doivent remplir des bons de commande semblables à ceux des exercices du fichier et les donner à des marchands qui fournissent les paquets et les boutons. Le livre du maître précise qu on doit indiquer aux élèves que les marchands ont été dévalisés et ne peuvent pas donner plus de 9 boutons isolés par commande. Cette contrainte sur le nombre de boutons isolés vous parait-elle justifiée? b) L extrait du livre du maître de «Cap Maths» cite un acquis d une séance précédente. Proposez une formulation de cet acquis adaptée aux élèves de CP. Page 1/11

2 c) Un enseignant utilise «Cap Maths» et décide de modifier un item de chacun des deux exercices en intervertissant la ligne portant sur les boutons et celle portant sur les paquets de dix boutons. Il propose donc à ses élèves les items ci-dessous, les autres items restant inchangés. Justifiez cette initiative. d) Les exercices proposés par «Maths tout terrain» permettent selon le livre du maître de vérifier que les élèves ont certaines compétences. Discutez cette affirmation. Exercice 2 (3 points) La figure ci-dessous possède les propriétés suivantes : le triangle ABC est rectangle et isocèle en C ; le triangle ABD est équilatéral ; E et F sont les milieux respectifs de [AD] et [BD]. A E D C F B L annexe 5, que vous devez rendre avec votre copie, comporte un segment [AB]. a) Les seuls instruments autorisés sont le compas et la règle non graduée. Complèter la figure de l annexe 5 pour obtenir un agrandissement du pentagone ACBFE ci-dessus. Il est demandé de construire le pentagone sans utiliser le point D qui se trouve volontairement à l extérieur de la feuille qui vous est fournie. On laissera visibles tous les traits de construction. b) Ecrire le programme de la construction du point C et justifier que le triangle ABC obtenu est bien isocèle et rectangle en C. Page 2/11

3 Questions complémentaires 2 (4 points) Dans une classe de cycle 3, les élèves ont déjà travaillé sur la symétrie axiale. La plupart d entre eux savent tracer correctement sur papier quadrillé le symétrique d une figure dans des situations analogues à celles fournies en annexe 3a. La consigne est toujours «Trace la figure symétrique de celle qui est déjà dessinée, l axe de symétrie est la droite tracée en trait épais.» L enseignant envisage de demander à ses élèves d essayer de tracer le symétrique d une figure, toujours sur support quadrillé, mais dans des cas où l axe de symétrie suit une diagonale du quadrillage. Pour cela, il hésite entre deux situations. Première situation Il fournit à ses élèves six feuilles différentes dont vous trouverez deux exemples représentatifs en annexe 3b. Le papier utilisé est peu épais, légèrement translucide. La consigne est toujours «Trace la figure symétrique de celle qui est déjà dessinée, l axe de symétrie est la droite tracée en trait épais.» Les élèves doivent essayer de tracer le symétrique d une figure puis vérifier par transparence en pliant la feuille selon l axe de symétrie. Si la figure donnée et la figure tracée par l élève coïncident, l élève peut passer à une autre figure. Sinon, il peut soit reprendre la même pour faire un nouvel essai, soit montrer son travail au maître pour obtenir de l aide. Le travail est considéré comme terminé si un élève a réussi à tracer les symétriques de trois figures différentes du premier coup. Deuxième situation Les élèves travaillent individuellement, à tour de rôle, sur quatre ordinateurs placés en fond de classe. Ils utilisent une feuille réalisée avec un logiciel de géométrie dynamique, dont vous trouverez quatre copies d écran en annexes 4a et 4b. L écran affiche en permanence deux polygones ayant le même nombre de sommets. Le maître a paramétré cette feuille pour que seules les trois actions suivantes soient possibles : Action 1 : Déplacer dans la feuille les polygones visibles sur les écrans de l annexe 4a. Chaque polygone peut être déplacé indépendemment de l autre, d un seul bloc. Action 2 : Déformer l un ou l autre des deux polygones en déplaçant un de ses sommets. Les sommets peuvent être placés partout dans la feuille, mais se placent plus aisément sur les intersections du quadrillage : si on lâche un sommet près d une intersection, il est «aimanté» par celle-ci et se place automatiquement sur elle. Action 3 : Agir sur le curseur «Cacher la figure symétrique/ Montrer la figure symétrique» situé en bas de la feuille. L annexe 4a montre deux copies d écran réalisées quand le curseur est sur la position «Cacher la figure symétrique». L annexe 4b montre deux copies d écran réalisées quand le curseur est sur la position «Montrer la figure symétrique». Le fait de montrer la figure symétrique n empêche pas de déplacer les deux autres polygones. Page 3/11

4 Les consignes fournies aux élèves sont les suivantes : Place le curseur sur la position «Cacher la figure symétrique». Déplace les deux figures. Tu dois les placer pour qu elles soient symétriques (l axe de symétrie est la droite oblique qui traverse tout l écran). Quand tu penses que les figures sont symétriques, place le curseur sur la position «Montrer la figure symétrique». Quand tu as réussi trois fois à bien placer les figures pour qu elles soient symétriques, tu as terminé. Si tu ne réussis pas, tu peux appeler le maître. 1) Explicitez deux avantages et deux inconvénients de la situation utilisant l ordinateur par rapport à la situation papier. 2) Les copies d écran de l annexe 4b montrent deux productions d élèves. Analyser ces productions en mettant en évidence les erreurs et les réussites. Exercice 3 (3 points) On désigne par P un pavé droit dont les arêtes mesurent respectivement 4 cm, 6 cm et 9 cm. On cherche à obtenir d autres pavés (notés P1, P2, ) ayant tous un volume égal à 8 fois le volume de P et dont les arêtes mesurent toutes un nombre entier de centimètres. Chaque pavé devra respecter en outre une ou plusieurs condition(s) supplémentaire(s) précisée(s) dans chaque question. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquez sans justification les dimensions d un pavé qui convient s il en existe. Dans le cas où il n existe pas de pavé répondant à la question, justifiez cette impossibilité. a) Le pavé P1 est un agrandissement du pavé P. b) Le pavé P2 est un cube. c) Le pavé P3 n est pas un cube, 4 de ses faces sont des carrés. d) Certaines des arêtes du pavé P4 mesurent plus de 10 mètres. e) Le pavé P5 possède 2 faces carrées, certaines de ses arêtes mesurent 24 cm. f) Le pavé P6 n est pas un cube, toutes ses arêtes mesurent moins de 15 cm. Exercice 4 (2 points) Un véhicule part d un point A pour se rendre à un point B situé à 48 km de A. Les trois questions suivantes sont indépendantes. 1) La vitesse du véhicule est constante et égale à 90 km/h. Quelle est alors la durée du trajet? 2) La vitesse du véhicule est constante et la durée du trajet est de 36 minutes. Quelle est alors la vitesse du véhicule? 3) Le véhicule part du point A à 9 h et roule vers B à la vitesse constante de 75 km/h. Un second véhicule part du point A à 9 h 04 min et se dirige vers B à la vitesse constante de 90 km/h. A quelle heure rattrape-t-il le premier véhicule? Page 4/11

5 Annexe 1 Ces exercices sont l occasion de rappeler les acquis de la séance 3 : «L écriture d un nombre comme 36 peut être directement interprétée comme exprimant le nombre d objets d une collection qui peut être organisée en 3 groupements de 10 objets et 6 objets isolés». Page 5/11

6 Annexe 2 Les exercices 1 à 3 permettent de vérifier que les élèves parviennent à dénombrer une collection en groupant les éléments par dizaines, qu ils lisent, écrivent et représentent convenablement des nombres relativement grands. Page 6/11

7 Annexe 3a Page 7/11

8 Annexe 3b Page 8/11

9 Annexe 4a Page 9/11

10 Annexe 4b Page 10/11

11 Annexe 5 Nom : Prénom : Groupe : A B Page 11/11