Chapitre 1. Dénombrement

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1 Chapitre Déombremet

2 Itroductio Lorsque l o compte les objets d ue collectio, o attribue à la collectio so cardial, c est à dire le ombre d objets qu elle cotiet. Par exemple u Picasso, u Rembrat et u Degas formet ue collectio de trois tableaux. Ue pièce de euro et deux pièces de deux euros formet ue collectio de trois pièces. Le ombre "trois" e red pas compte de la qualité des objets de la collectio mais de la "quatité". Pour différecier des élémets disticts d u même esemble, o attribue souvet u om ou u uméro à chacu. Plus l esemble est importat et plus le recours aux ombres est "aisé" : les ombres etiers offret la particularité d avoir u ordre et d être ifii. Le recours massif à l iformatique et à umérisatio des doées utilise ce procédé. Par exemple, le uméro de "sécurité sociale" désige u idividu uique "" sigifie homme 74 l aée de aissace 07 le mois de aissace 8 le départemet de aissace sot des chiffres choisis au hasard et 3 est la clef de cotrôle (cf cours arithmétique pour les TS). Chaque idividu possède u uique uméro qui permet à l admiistratio de le receser et de le distiguer des autres persoes. C est u peu le même procédé qui prévaut pour les uméros du RIB de votre compte e baque. Il est doc importat de créer ue applicatio f ijective de l esemble de départ (les élémets) vers l esemble des etiers aturels. Ijective car il faut que deux élémets disticts aiet des "uméros" différets. Si f est bijective alors l esemble de départ et l esemble d arrivée ot le même ombre d élémets. O parle du cardial de cet esemble. C est exactemet ce que fait u efat lorsqu il décompte ue collectio "sur ses doigts"... Méthode : o peut compter u esemble e créat u procédé de comptage qui discrimie ses élémets, ou bie e créat ue "aalogie" etre deux esembles, c est à dire ue bijectio. Esembles fiis et déombrables. Défiitios Défiitio U esemble E est déombrable s il existe ue bijectio de N sur E. N est déombrable. { { N N N est déombrable. E effet, f : + est clairemet bijective; f N N : p p { N N L esemble des ombres pairs (oté N) est déombrable. E effet, f : est aussi clairemet bijective. Exercice : exprimer f. N Z / si est pair Z est déombrable. O démotre e effet que f : + est bijective. sio Exercice : exprimer f. Q est déombrable. R est pas déombrable. Tout itervalle de R o réduit à u sigleto est pas déombrable. Par exemple l itervalle [0,] est pas déombrable (voir sur le site l article de culture mathématique). Propositio Si E et F sot deux esembles fiis, à respectivemet et p élémets, et s il existe ue ijectio f de E vers F alors f(e) possède exactemet élémets, et doc p. Lauret NOE - JP SPRIET / 9

3 Défiitio 3 U esemble E est fii s il est vide ou s il existe u etier N et ue bijectio de [[ ; ]] sur E. Cet etier est alors uique. O dit alors que E est de cardial (ou de taille, ou simplemet que E a élémets), et o ote : = Card(E) = E = #E. Par covetio, Card( ) = 0. U esemble qui est pas fii est dit ifii. Remarque 4 Cette défiitio a du ses car o démotre que la taille aisi défiie est uique. Ce ombre e déped pas de la bijectio costruite. Démostratio : S il existe u etier N et ue bijectio f de [[; ]] sur E et p N et ue bijectio g de [[; p]] sur E alors g f crée ue bijectio de [[ ; ]] sur [[ ; p]]. Se servir alors de la propriété.. Propriétés des cardiaux Propositio 5 Si E est u esemble fii o vide et s il existe ue bijectio de E sur F, alors F est fii et Card(E) = Card(F). Démostratio : S il existe u etier N et ue bijectio f de [[ ; ]] sur E et ue bijectio h de E sur F alors h f crée ue bijectio de [[ ; ]] sur F. Se servir alors de la défiitio 3. Propositio 6 La taille d ue partie est iférieure à la taille du tout : soit B u esemble fii, Attetio : la réciproque est fausse! A B = A est fii; et Card(A) Card(B) Démostratio : Le fait que B A implique que l applicatio f : A B défiie par f(x) = x est ijective. S il existe u etier N et ue bijectio h de B sur [[ ; ]]. Alors h f crée ue ijectio de A das [[ ; ]]. Se servir alors de la propriété. Propositio 7 Deux esembles fiis ayat la même taille et iclus l u das l autre sot égaux : (A B et Card(A) = Card(B)) = (A = B) Remarque 8 Cette propriété, très utile, est fausse pour des esembles ifiis. Par exemple, N N, N est e bijectio avec N mais N N!!! ] π De même, ta : ; π [ R est ue bijectio, et x ta(x) ] π ; π [ ] π R mais ; π [ R. Lauret NOE - JP SPRIET 3/ 9

4 Propositio 9 Soiet E u esemble fii, A et B deux parties de E.. A et B sot disjoits Card(A B) = Card(A) + Card(B).. Card(A\B) = Card(A) Card(A B) 3. Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B) 4. Card(A) = Card(E) Card(A) 5. Si (A i ) i est ue famille de parties de E deux à deux disjoites, alors Card(A A...A ) = Card(A i ) i= Le cardial d ue réuio de plus de deux parties qui e sot pas deux à deux disjoites est doé par : Propositio 0. Cas = 3 : Formule du crible (ou de Poicaré) Card(A A A 3 ) = Card(A ) + Card(A ) + Card(A 3 ) [Card(A A ) + Card(A A 3 ) + Card(A A 3 )] + Card(A A A 3 ). Gééralisatio : Card(A A A ) = Card(A i ) i= + Card(A i A i ) i <i i <i <i 3 Card(A i A i A i3 ) ( ) + Card(A i A i A i ) i <i < <i ( ) + Card(A A A ) O prouvera le cas = 3. Avec la défiitio doée das le chapitre d itroductio, o a : Propositio Si (A i ) i est ue partitio de E, alors Card(E) = Card(A i ). i= Lauret NOE - JP SPRIET 4/ 9

5 3 Déombremets classiques 3. Produit cartésie d esembles, p - listes Propositio Soiet E, E,..., E esembles fiis. Alors le produit E E E est u esemble fii, de cardial : Card(E E E ) = Card(E ).Card(E )...Card(E ) = E particulier, si E est fii, Card(E ) = [Card(E)]. Card(E i ) i= Exercice : J ai trois patalos, ciq chemises et deux paires de chaussures. De combie de faço puis-je m habiller? O rappelle qu ue p-liste d u esemble à élémets est u élémet de E p (l ordre est importat et la répétitio est possible). Aisi, il y a p p-listes d u esemble à élémets. Das le modèle de tirages de boules das ue ure, de telles p-listes correspodet aux tirages successifs et avec remise de p boules das ue ure coteat boules. Exercice : J ai u coffre fort dot le code est composé de 5 chiffres compris etre 0 et 9. Combie existe-t-il de combiaisos différetes? 3. p-listes d élémets disticts Défiitio 3 O appelle arragemet de p élémets de E (ou p-arragemet de E) toute p-liste d élémets disticts de E. Aisi, l ordre est importat et il y a pas de répétitio possible. L esemble des p-arragemets de E est souvet oté A p (E). Si E est fii de cardial, o ote A p le ombre de p-arragemets de E. Das le modèle de tirages de boules das ue ure, de tels arragemets correspodet aux tirages successifs et sas remise de p boules das ue ure coteat boules. Exercice : J assiste à u tiercé (doc 3 chevaux à l arrivée) et 0 sot au départ. Combie existe-t-il de tiercés das l ordre? Propositio 4 Soit E fii de cardial.. Alors pour p, il existe A p =! = ( )...( p + ) arragemets de p élémets de E. ( p)!. Si p >, il existe aucu p-arragemet de E. O pourra oter A p = 0. Exemple : A 3 0 =... Défiitio 5 U arragemet de élémets d u esemble E à élémets est appelé ue permutatio de E. Remarque : Lorsque E est composé de lettres, o parle aussi d aagramme. Lauret NOE - JP SPRIET 5/ 9

6 Propositio 6 Il existe! permutatios d u esemble à élémets. Il existe! aagrammes d u mot composé de lettres distictes. Exercice : Trouver le ombre d aagrammes du mot CHEV AL. Idem pour le mot MOUTON. 3.3 Nombre de parties d u esemble Exemples 7 P( ) = {... } =... ; P({a}) = {... } =... ; P({a,b}) = {... } =... P({a,b,c}) = {... } =... Théorème 8 U esemble à élémets possède... parties : Card(P(E)) = Combiaisos Défiitio 9 Soit E u esemble à élémets. O appelle ( combiaiso ) de p élémets de E toute partie de E à p élémets. O ote ( oté aussi C p das certais acies livres )le ombre de combiaisos de p élémets de E. p O retiedra que das ue combiaiso, l ordre e compte pas et il y a pas de répétitio possible. Das le modèle de tirages de boules das ue ure, ue telle combiaiso correspod au tirage simultaé de p boules das ue ure coteat boules distictes. Exemple : Combie y-a-t-il de tiercés das le désordre si 0 chevaux sot au départ? Remarque 0 O déduit de cette défiitio et du paragraphe précédet que p=0 =... p Ce résultat s obtiet aussi e utilisat le biôme de Newto : ( + ) =... Propositio Pour tout etier et tout etier p, o a = C p = Ap! = p p! p!( p)! (cette derière égalité état vraie lorsque p ). Voici u résultat parfois utile das les exercices : Propositio ( ) Suites strictemet croissates Il existe exactemet suites strictemet croissates de p ombres choisis parmi. p Démostratio : fabriquer ue suite strictemet croissate, c est choisir p élémets successivemet et sas remise parmi les ombres puis les classer par ordre strictemet croissat. Lauret NOE - JP SPRIET 6/ 9

7 3.5 Déombremet et applicatios Propositio 3 Le ombre d applicatios d u esemble E p de taille p vers u esemble F de taille est égal à... La doée d ue telle applicatio est équivalete à la doée... Das le cas d esembles fiis, o peut doc écrire : A(E,F) = F E. C est la raiso pour laquelle o ote A(E,F) = F E, même d ailleurs pour des esembles ifiis (voila qui apporte la précisio aocée à la page??? du chapitre...) Propositio 4 Déombremet des ijectios Le ombre d ijectios d u esemble E p de taille p das u esemble F de taille est A p! = ( p)!. La doée d ue telle applicatio est équivalete à la doée... Remarque : si p > il existe pas de telle ijectio. A p est pas défii si p >, ou bie o impose A p = 0. Propositio 5 Utile Soiet E u esemble fii, F u esemble quelcoque et f ue applicatio de E vers F. Alors : f est ijective si, et seulemet si, f(e) = E f est surjective si, et seulemet si, f(e) = F f est bijective si, et seulemet si, f(e) = E = F Corollaire 6 Si E et F sot fiis de même cardial, alors f est ijective f est surjective f est bijective Corollaire 7 Si E est fii de cardial, le ombre de bijectios de E das E est égal au ombre de permutatios d u esemble à élémets, ie! 3.6 Lemme des bergers Propositio 8 lemme des bergers Si f est ue applicatio surjective de E vers F qui est pas ijective (doc pas bijective) mais telle que chaque élémet de F possède le même ombre d atécédets p das E alors E = p F Remarque : ce théorème porte ce om car pour compter ses moutos, l éleveur peut compter les têtes (bijectio etre u mouto et sa tête), ou tout aussi bie compter les pattes puis diviser le ombre obteu par 4... (e supposat que chacu de ses moutos a exactemet 4 pattes). Applicatio : Si à u tiercé das l ordre o associe l esemble des chevaux qui sot classés, alors chaque esemble possède exactemet... atécédets. Par coséquet, il y a... fois plus/mois de tiercés das l ordre que das le désordre. Plus gébéralemet, ce théorème s utilise pour trouver le ombre de combiaiso coaissat le ombre d arragemets. Lauret NOE - JP SPRIET 7/ 9

8 4 Combiaisos et coefficiets du biôme de Newto 4. Propriétés élémetaires Propriétés 9. Pour 0,. = 0 = ( ) = ( ) + = Pour 0, formule dite : «formule du triagle de Pascal» 4. Par covetio (et e cohérece avec la défiitio combiatoire), o a pour >, = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Biôme de Newto Théorème 30 Soit (a,b) C et soit N. Alors (a + b) = =0 a b = =0 a b Attetio! la somme commece à = 0 et va jusqu à =. Il y a doc + termes das cette somme. 5 Bila des déombremets Avec répétitio E fraçais Successivemet Simultaémet Avec remise Sas remise E maths Avec ordre Sas ordre Avec répétitio Sas répétitio Sas répétitio Avec ordre p A p =! = ( ) ( p + ) ( ) ( p)!! ( ) ( p + ) Sas ordre = = p p!( p)! p(p ) Lauret NOE - JP SPRIET 8/ 9

9 Table des matières Déombremet Itroductio Esembles fiis et déombrables Défiitios Propriétés des cardiaux Déombremets classiques Produit cartésie d esembles, p-listes p-listes d élémets disticts Nombre de parties d u esemble Combiaisos Déombremet et applicatios Lemme des bergers Combiaisos et coefficiets du biôme de Newto Propriétés élémetaires Biôme de Newto Bila des déombremets