Eléments d acoustique et d audionumérique. Stéphane Natkin Mars 2011

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1 Eléments d acoustique et d audionumérique Stéphane Natkin Mars

2 Eléments d acoustique 2

3 Ondes (1) LE SON EST LA PROPAGATION D'UNE ÉNERGIE MÉCANIQUE DANS UN MILIEU ÉLASTIQUE (AIR, L'EAU,...) LA LUMIÈRE EST LA PROPAGATION D'UNE ÉNERGIE ELECTRO-MAGNETIQUE Déplacement d'une onde sur un ressort (AF) 3

4 Ondes (2) Ondes planes (AF) Ondes sphériques 4

5 Caractéristiques d une onde Période: T (s) Fréquence fondamentale :F=1/T (Hz) Célérité C (m/s) Longueur d onde : L=CT (m) Une onde sonore a une célérité de 330m/s A 16 C dans l air Une onde électromagnétique à une célérité de km/s dans le vide Km/s dans un conducteur comme le cuivre 5

6 Dynamique de la puissance sonore 6

7 Echelle logarithmique le Décibel On mesure la puissance d un son sur une échelle logarithmique de décibel P=10.log(S/N) Ou N est la puissance d un son de référence de watts On mesure selon le même principe d autre rapports (rapport signal/bruit par exemple) Ceci caractérise certains effets de perception acoustique Ajouter 2 sons de même puissance p produit une augmentation de 3 db P=10 log(2p)=10.log(2)+10 log(p)= 10 log(p)+3db Ajouter un son de puissance p et un son plus faible (p/10) P=10 log(1,1p)=10.log(1,1)+10 log(p)= 10 log(p)+0,4db 7

8 Mesure des sons perçus P Watt P/Pr DbA Exemple 1E+6 1E Fusée E Seuil de la douleur 1 1E Coup de marteau sur une plaque d'acier Grosse caisse à 3m 0,001 1E+8 80 Usines et ateliers Piano à 3m 1E-6 1E+6 50 Petit magasin Clarinette à 3m 1E Auditorium 1E Chuchotement 8

9 Propagation des ondes: modèle géométrique Onde incidente Energie absorbée Onde réfléchie 9

10 Spectre et longueur d onde Spectre audible: 20Hz et 20 Khz Longueur d onde comprise entre 330/20=16m et 330/20000=1,6 cm Ordre de grandeur de la perception physique 10

11 Acoustique géométrique: effets de diffusion et de diffraction des ondes sonores Réflexion et diffusion Sur une paroi (TS) 11

12 Effet de réverbération Spectre du signal réverbéré (JMJ) 12

13 Transformation physique du son Une vibration initiale d'un objet est transformée par: des phénomènes d'ondes stationnaires :relations entre le son initial et les fréquences propres de "la salle" l'affaiblissement lie a la propagation dans l'air Courbes d'atténuation de la puissance sonore en fonction de la distance (TS) 13

14 Introduction au traitement du signal S. Natkin Mai

15 Signaux 3 Toute information physique est perçue comme une grandeur 2 variant dans le temps (signal) Numérisation<=> échantillonnage dans le temps et l'espace: Fréquence d échantillonnage: Nombre d échantillons du signal pris/s (bauds) Valence: Nombre de valeurs possible d un échantillon Débit binaire= Fréquence d échantillonnage* log2(valence) 15

16 Quelques types de signaux (1) 2 A ϕ T Sinusoidal y=a.sin(ωt+ ϕ) A amplitude ϕ phase ω pulsation T période (s) f=1/t fréquence fondamentale ω=2πf=2π/t 16

17 Quelques types de signaux (2) Périodiques T période f=1/t fréquence fondamentale v A support borné 17 A variation bornée (v<b)

18 Un peu de trigo de base 2 T= 2π y= sin(x) fonction impaire (f(-x)=-f(x)) y= cos(x) fonction paire (f(-x)=f(x)) sin(x+ π /2)=cos(x) sin(a+b)=sin(a).cos(b)+cos(a)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a).sin(b) A.sin(ωt+ ϕ)=a sin(ωt)cos(ϕ)+a cos(ωt)sin(ϕ) 18

19 Représentation spectrale des signaux Tout signal périodique borné et intégrable peut se représenter comme une série de fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale (série de Fourrier). Soit P l intervalle d amplitude T (une période) avec ω= 2πf b a n n = c n = c n f ( t) = = ( a n= 0, = 2π / T cos( ϕ ) n sin( ϕ ) n n n= 0, n c sin( nωt cos( nωt) + b n + ϕ ) n sin( nωt)) et a a b 0 n n = 1/ T = 2/ T = 2/ T P P P f ( t) dt f ( t)cos( nωt) dt f ( t)sin( nωt) dt 19

20 Représentation spectrale des signaux (2) f est la fréquence fondamentale f n =n/t=n.ω/2π sont appelés les harmoniques a 0 est la composante continue 20

21 Exemple signal d horloge T=2 π ω=2π/2 π = 1 21

22 22 Signal d horloge (2) [ ] n impair pour n nt n dt nt dt t f nt b impaire fonction est la car a dt t f a n n 1/ ) cos( 1/ 2 )2 sin( ) ( ) sin( 0 1 ) ( 2 2 / = = = = = = = π π π π π

23 Spectre du signal d horloge (1) 23

24 Spectre du signal d horloge (3) 24

25 Spectre du signal d horloge (4) 25

26 Théorème de Parseval La puissance moyenne d un signal est égale à la somme des puissanc moyennes des signaux harmoniques T i=0 ( f (t)) 2 2 dt /T = c i = 2 (a i + b 2 i ) 0 i=0 26

27 Spectres c n D amplitude c n 2 De puissance f On représente aussi des spectres de phases (Déphasage en radian ou en fraction de la période) 27

28 Spectre d un signal à support borné T Construction d un signal périodique T période f=1/t fréquence fondamentale 28

29 Transformée de Fourrier d un signal quelconque à variation bornée f (t) = 0 A(s)sin(2πst + Φ(s))ds A(s) Φ(s) /s hz Spectre d amplitude Spectre de phase hz 29

30 Les classes de sons selon leurs spectres Les sons harmoniques: Comportent clairement une fréquence fondamentale et la plus grandes partie de la puissance est répartie sur les harmoniques Les sons inharmoniques: Comportent clairement une fréquence fondamentale, la plus grande partie de la puissance est répartie sur un ensemble discret de fréquences qui ne sont pas des multiples de la fondamentale Les bruits: Ont un spectre continu (il n est pas possible de considérer que la puissance est concentrée sur un spectre discret 30

31 Exemples Guitare Bruit blanc Cloche 31

32 REPRESENTATION SPECTRE x TEMPS En acoustique on utilise une représentation a deux échelles de temps: Le signal est échantillonne selon une période T On calcule le spectre de l'échantillon considère comme un signal Périodique (série de fourrier) On présente sur un axe temporel la suite des spectres ainsi construits 32

33 Sonogramme Voix a 44,1 Khz a)1 échantillon/32, résolution 1378 Hz b)1 échantillon/1024 résolution 43,07 Hz c)1 échantillon/8192 résolution 5383 Hz 33

34 Les différentes forme de calcul du spectre Transformée de Fourrier (FT): Forme générale à temps et spectre continu Transformée à court (STFT: Short Time Fourrier Transform): Calcul sur un interval fini par reproduction périodique du son Transformée de Fourrier à temps discret (DTFT:Discrete Time Fourier Transform): temps discret, spectre continu (DFT :Discrete Fourrier Transform): : temps et spectre discret (FFT :Fast Fourier Transform): Algorithme de calcul rapide de la transformée de Fourrier 34

35 Fenêtrage T période f=1/t fréquence de fenêtrage Flitrage pour limiter les discontinuitées Curtis Road 35

36 DFT Signal x(m), N nombre de points dans le spectre X[ n, k] = m= x( m) e j(2π / N ) km En utilisant une fenêtre h(m) X[ n, k] = m= x( m) h( n m) e j(2π / N ) km 36

37 La STFT 37

38 38 Principe de la FFT Calcul matriciel ) / (2 1) 1)( ( 0 1) 2( 1) ( * N j N N N N N N N N N N N N N N N N e W W W W W W W W W W W W W W x X π = = = Utiliser la grande redondance des calculs

39 Fenêtrage T période f=1/t fréquence de fenêtrage Flitrage pour limiter les discontinuitées 39

40 Déformation d un signal sur un canal Tout dispositif physique (un H.P., Une oreille, une caisse de piano, une ligne de transmission) Considère comme un canal de transmission déforme le signal transmis: Par filtrage (transformation du signal émis) Par addition de bruits (éléments exogènes) Un effet de filtrage est souvent interprétable comme une transformation linéaire du spectre (Convolution dans le domaine temporel) Principaux types de filtres simples: Passe haut: coupe les fréquences basses, Passe bas: coupe les fréquences hautes Passe bande: ne laisse passer que dans une gamme de fréquence 40

41 Exemple 41

42 Exemple de filtre passe bande filtre passe bande entre 3 et 7 fois la fondamentale du signal d 42

43 Filtrage numérique audio 43

44 Erreurs de quantification et d échantillonnage 44

45 L image matricielle (bitmap) Numérisation d une image plane sous forme d une matrice de points (pixels) Résolution= Nombres de pixels/pouces (dpi) Un écran 21 pouces (i.e. 53 cm de diagonale) 1024x768 points ou 1280x1024 points 45

46 46

47 Autre interprétation du théorème de Nyquist Soit un signal à bande limité dont la plus haute fréquence est f n alors pour reconstituer le signal sans bruit d échantillonnage il est nécessaire de l échantillonner avec un fréquence d au moins 2* f n 47

48 Eléments des psycho acoustique 48

49 La bande de perception des sons Animal Fréquence basse Fréquence ahaute Homme Chat Chien Eléphant Chauve souris Dauphin

50 La dynamique de la perception Deux sons émis à un intervalle supérieur à 50ms (20 Hz) sont perçus séparément Deux sons émis à moins de 20 ms (50 Hz) ne sont pas distingués Entre les deux ils sont perçus comme une coloration spectrale 50

51 Seuil de perception Le seuil de perception d un son dépend à la fois de sa puissance et de sa fréquence 51

52 Effets physiologique du son 52

53 Bande passante de l oreille humaine Abaques de Fletcher-Muson de sensibilté de l'oreille (JB)) L intensité de perception des sons est mesurée en phonie. Elles reposent sur les abaques de Fletcher-Muson : X phonies son 1000 Hz de puissannce XDb 53

54 Travaux de Fletcher: seuil de perception en présence d un bruit (1) 54

55 Travaux de Fletcher: seuil de perception en présence d un bruit (2) 55

56 Effet de masquage Effet de Masquage d'un son à 1200 Hz (TS) 56

57 Perception de la hauteur Hauteur tonale: fréquence d un son sinusoïdal pur Hauteur spectrale: Moyenne des fréquences pondèrées par la puissance Hauteur virtuelle ou fondamentale fréquence fondamentale d un son harmonique: première composante spectrale non nulle. La hauteur d un son perçu n est pas la fondamentale: aucun son n est totalement harmonique et la perception de la hauteur dépend du seuil de perception et de la puissance contenue dans cette «première» harmonique 57

58 Enveloppe d amplitude: piano 58

59 Enveloppe d amplitude: percussion 59

60 Enveloppe spectrale: formants Formant heed head had hod haw'd who'd Men F F F Women F F F Children F F F Formants de ah 60

61 Détermination de la position d un son dans l espace Détermination de l azimut et zenith Différence de temps entre les deux oreilles Différence d amplitude avant arrière (ombre de la tête) Différence spectrale liées aux réflexions asymétriques (pavillons, épaules, torses) Détermination de la distance Rapport entre le signal direct et le signal réverbéré Pertes des composantes hautes fréquences Pertes des détails 61

62 Intervalles musicaux Base de la construction des gammes dans la musique occidentale Un octave= multiplication par 2 de la fréquence Division d'une corde selon des proportions harmoniques 1/2,1/3,1/4... f 2*f 3*f 4*f 5*f 6*f 7*f 8*f 9*f 1/2 3/2 5/4 7/4 9/8 10*f 11*f 12*f 13*f 14*f 15*f 16*f 17*f 18*f 19*f 20*f 21*f 22*f 23*f 11/8 13/8 15/8 17/16 19/16 21/16 21/16 62

63 Gamme naturelle et gamme tempérée Notes Intervalle Gamme nat. Gamme temp. Do-Re Seconde majeure 9/8=1,125 (1,059) 2 =1,122 Do-Mi Tierce Majeure 5/4=1,250 (1,059) 4 =1,26 Do-Fa Quarte 4/3=1,333 (1,059) 5 =1,335 Do-Sol Quinte 3/2=1,5 (1,059) 7 =1,498 Do-La Sixte Majeure 5/3=1,666 (1,059) 9 =1,68 Do-Si Septième Majeure 15/8=1,875 (1,059) 11 =1,88 Do-Do Octave 2 (1,059) 12 =2 Intervalles consonants Intervalles dissonants 63

64 Bibliographie H. BERRAUD, Pour comprendre les musiques d aujourd hui, Le Seuil 1972 C. ROADS, L audionumérique, DUNOD 1998 J. WALKINSON, The art of digital audio,focal Press 1989 N. GRIMAUD, Psychoacoustique, E. R. MIRANDA: Computer Sound Synthesis for the Electronic Musician, Focal Press, 1998 R. BESSON, Sono et Prise de son, Dunod 1999 JOHN PIERCE, Le son musical,, Pour la Science, Belin 1984 Sound Design for Interactive Media, Thomson Publishing, 2005 Glossaires: Handbook for Acoustic Ecology, recordingeq.com/glospubae.htm#secta Site IRCAM: 64