Balistique. Nous étudions dans ce qui suit, le mouvement d'un projectile lancé à une vitesse initiale de norme v 0

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1 Balisique Inroducion La balisique es l'éude du mouvemen des mobiles soumis à la force raviaionnelle. Galilée ( ) a éé le premier à décrire de façon adéquae le mouvemen des projeciles e à démonrer qu'il éai possible de le comprendre en analysan ses composanes horizonale e vericale séparémen. Il s'aissai d'une approche innovarice don personne n'avai eu l'idée avan lui. Hypohèses Nous éudions dans ce qui sui, le mouvemen d'un projecile lancé à une viesse iniiale de norme v e d'orienaion θ mesurée par rappor au sol supposé horizonal (perpendiculaire à la direcion du veceur accéléraion raviaionnelle r ). Nous limions cee éude aux cas où : l'unique force à laquelle es soumis le projecile es sa force de pesaneur l'accéléraion raviaionnelle r es consane (en norme e en orienaion) dans la réion où se déplace le projecile. Choix du repère On choisi un repère carésien don l'axe y a la même direcion que celle du veceur accéléraion raviaionnelle r (la vericale) e don le sens (vers le hau) es opposé à celui de ce veceur. On place l'oriine du repère à la posiion iniiale du projecile (c.f. fi. ci-dessous). y r v F θ x P r v : veceur viesse iniiale θ : anle de ir F : flèche de la rajecoire P : porée de la rajecoire P. Rebeez/balisique /

2 Horaire Horizonalemen, le mouvemen du projecile es un MRU don l'horaire es donné par : x = v x = v cosθ (1) Vericalemen, le mouvemen du projecile es un MRUA don l'horaire es donné par : y = 1 a y + v y = 1 + v sinθ () Le mouvemen d'un projecile a lieu dans le plan déerminé par son veceur viesse iniiale v r e le veceur accéléraion raviaionnelle r. Ce mouvemen peu êre envisaé comme la combinaison de deux mouvemens indépendans, l'un horizonal e à viesse consane v x = v cosθ (la composane horizonale du veceur viesse iniiale) e l'aure, verical qui n'es aure que celui d'une chue libre. Équaion de la rajecoire En éliminan la variable des deux équaions précédenes, on exprime la rajecoire du projecile à savoir sa posiion vericale y en foncion de sa posiion horizonale x : y = v x + v y x v x = x + anθ v cos x θ x (3) C'es une équaion du ème deré en x, c'es-à-dire l'équaion d'une parabole. Temps de vol On appelle emps de vol (noé V ), le emps que me le projecile pour reomber sur le sol après avoir éé lancé (ou pour aeindre la même aliude que celle de sa posiion iniiale, dans le cas où ses posiions iniiale e finale ne son pas à la même aliude). On cherche l'insan saisfaisan : Ce qui d'après l'équaion () donne : y = 1 + v sinθ = P. Rebeez/balisique /19.1.7

3 En mean en évidence, on résou facilemen cee équaion du ème deré e l'on obien les deux soluions : 1 = v = sinθ La 1 ère soluion correspond à l'insan où le projecile es lancé e la ème soluion, à l'insan où il reombe sur le sol. C'es donc celle-ci qui nous inéresse : V = v sinθ (4) On voi que le emps de vol V es une foncion sinusoïdale de l'anle de ir θ e il es inéressan de représener raphiquemen V en foncion de θ : V V max = v θ θ + θ Sur le raphique ci-dessus, nous consaons que : Le emps de vol es maximal pour un anle de ir θ = rad = 9 e vau V max = v. Pour un emps de vol V inférieur à V max, il correspond deux anle de ir θ e θ + qui saisfon l'équaion θ + θ + = rad = 18. Nous comprendrons la sinificaion physique de ces deux anles de ir en éudian la flèche. P. Rebeez/balisique /

4 Porée On appelle porée (noée P), la disance horizonale parcourue par le projecile enre le momen où il es lancé e celui où il reombe sur le sol (ou le momen où il aein la même aliude que celle de sa posiion iniiale, dans le cas où l'aliude de sa posiion finale es inférieure à celle de sa posiion iniiale). On s'inéresse ici uniquemen au mouvemen horizonal du projecile e l'on rouve sa porée en inséran son emps de vol dans l'équaion (1) : P = x( V ) = v cosθ v sinθ En uilisan l'idenié rionomérique sinx = sin x cos x, on obien finalemen : P = v sinθ (5) On voi que la porée P es une foncion sinusoïdale de l'anle de ir θ e il es inéressan de représener raphiquemen P en foncion de θ : P P max = v θ 4 θ + θ P. Rebeez/balisique /

5 Sur le raphique ci-dessus, nous consaons que : La porée es maximale pour un anle de ir θ = 4 rad = 45 e vau P max = v. Pour une porée P inférieure à P max, il correspond deux anle de ir θ e θ + (irs endu Flèche e lobé) qui saisfon l'équaion θ + θ + = rad = 9. Physiquemen, cela sinifie qu'un poin du sol siué à une disance inférieure à la porée maximale du projecile, es aeinable par ce dernier par deux anles de irs différens. On appèle flèche (noée F), l'aliude maximale aeine par le projecile. Par symérie de la rajecoire, nous savons que le emps que me le projecile pour aeindre son aliude maximale, es la moiié de son emps de vol. On obien donc la flèche en calculan l'aliude du projecile pour = 1 V. En inséran cee expression dans l'équaion () e après simplificaions, on obien : F = v sin θ (6) Comme pour la porée, il es inéressan de représener raphiquemen la flèche F en foncion de l'anle de ir θ : F F max = v θ θ + P. Rebeez/balisique / θ

6 Sur le raphique ci-dessus, nous consaons que : La flèche es maximale pour un anle de ir θ = rad = 9 e vau F max = v. Dans ce cas, la rajecoire es un semen verical. Pour une flèche F inférieure à F max, il correspond deux anle de ir θ e θ + (irs à auche e à droie) qui saisfon l'équaion θ + θ + = rad = 18. Physiquemen, cela sinifie que l'aliude du somme de la rajecoire aeine par un projecile iré vers la droie avec un cerain anle de ir, es aussi aeinable en iran le projecile vers la auche avec le même anle de ir. Ces deux anles de ir pour une même flèche F corresponden aux deux anles de ir pour un même emps de vol V, que nous avions obenus plus hau. Cela sinifie que le emps de vol du ir à auche es le même que celui du ir à droie. Ces deux derniers résulas n'on rien de surprenan puisque la rajecoire du ir à auche es le symérique par rappor à l'ordonnée y du repère, de la rajecoire du ir à droie. Relaions enre flèche e porée Pour des anles de ir pariculiers Les résulas obenus ci-dessus monren que : Pour θ = 4 : v P = Pmax = P = P max = 4F (la porée es éal au quadruple de la flèche). v v F = sin = 4 4 Pour θ = : P = F = F max v = La flèche maximale es obenue avec un ir verical. On consae de plus que : P max = F max (7) Insisons sur le fai que ces relaions son valables quelle que soi la valeur de la norme de la viesse iniiale v. Ces résulas son récapiulés à l'aide de la fiure qui sui : P. Rebeez/balisique /

7 Pour un anle de ir quelconque Rappelons que : Par conséquen : F = v sin θ P = v sinθ cosθ F P = 1 4 anθ (8) Insisons sur le fai que cee relaion es valable quelle que soi la valeur de la norme de la viesse iniiale v. Nous pouvons illusrer ce résula par la fiure qui sui : Dans le cas pariculier où θ =, qui es l'anle de ir correspondan à la porée maximale, on 4 rerouve le résula déjà obenu précédemmen : P = 4F. P. Rebeez/balisique /

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