treillis plans à nœuds articulés

Transcription

1 Méthode des éléments finis : treillis plans à nœuds articulés Yes Debard Institut Uniersitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique 4 mars mars 011

2 Table des matières Introduction 3 1 Matrices élémentaires 3 Exemple 1 : treillis soumis à une force nodale 6.1 Énoncé Partition des degrés de liberté Étude élémentaire Assemblage et calcul des déplacements inconnus Efforts normaux dans les éléments Actions de liaison Exemple : treillis soumis à une force nodale Énoncé Partition des degrés de liberté Étude élémentaire Assemblage et calcul des déplacements inconnus Efforts normaux dans les éléments Actions de liaison Exemple 3 : treillis soumis à une ariation de température Énoncé Partition des degrés de liberté Étude élémentaire Premier cas de charge Assemblage et calcul des déplacements inconnus Efforts normaux dans les éléments Actions de liaison Deuxième cas de charge Assemblage et calcul des déplacements inconnus Efforts normaux dans les éléments Actions de liaison Programmes Maple tre mat exemple exemple exemple Références 16

3 Treillis plans à nœuds articulés 3 Introduction Un treillis est un ensemble de poutres droites (éléments) reliées entre elles par des rotules (nœuds). Les liaisons extérieures sont des rotules et des appuis simples. Les charges sont des forces portées par les rotules, des gradients thermiques et des déplacements d appui. La force intérieure dans une section droite se réduit à l effort normal. Le treillis est plan si : Le plan {O; x, y} est un plan de symétrie pour toutes les sections droites. Les forces appliquées sont situées dans le plan {O; x, y}. On suppose que les déplacements sont petits. 1 Matrices élémentaires Soit (i j) un élément de treillis plan de section droite constante (figure 1). Figure 1 Élément i j L est la longueur de l élément et A l aire de sa section droite. (x i, y i ) et (x j, y j ) sont les coordonnées des nœuds de l élément. Le ecteur unitaire n porté par l axe de la poutre est défini par : { } nx = 1 { } { } xj x i cos θ =, L = (x L y j y i sin θ j x i ) + (y j y i ) (1.1) n y où θ est l angle que fait n aec l axe x. E et α sont respectiement le module de Young et le coefficient de dilatation du matériau. L élément est soumis à un effort normal N (positif : traction, négatif : compression) et à une ariation de température T constante.

4 4 Méthode des éléments finis (u i, i) et (u j, j ) sont les déplacements nodaux (figure ). Figure Déplacements élémentaires Les efforts aux extrémités de l élément sont (figure 3) : N n en i, N n en j (1.) Différentions la relation : Il ient : Figure 3 Efforts élémentaires L = (x j x i ) + (y j y i ) (1.3) L dl = (x j x i ) (dx j dx i ) + (y j y i ) (dy j dy i ) (1.4) d où l expression de l allongement unitaire suiant n : ε n = dl L = 1 ( (xj x i ) (dx j dx i ) + (y j y i ) L L L ) (dy j dy i ) (1.5) soit : ε n = 1 L ( n x (u j u i ) + n y ( j i ) ) (1.6) Cet allongement unitaire est dû à l effort normal (loi de Hooke) et à la ariation de température : ε n = N + α T (1.7) EA L effort normal s écrit en fonction des déplacements nodaux : soit : N = EA (ε n α T ) = EA L ( n x (u j u i ) + n y ( j i ) ) EA α T N = EA L [ ] nx n y n x n y u i i u j j (1.8) EA α T (1.9)

5 Treillis plans à nœuds articulés 5 On en déduit : aec : {f nod } = [ k ] {u} {f th } (1.10a) n x u i n {f nod } = N y, {u} = i n x u j n y j n x n [ k ] = EA x n x n y n x n x n y n y [ ] EA nx n L n y n x n y = n y n x n y n y x L n x n x n y n y sym. n y n x n {f th } = EA α T y n x n y {f nod } est le ecteur force nodal (N). {u} est le ecteur déplacement élémentaire (m). [ k ] est la matrice de rigidité (N/m). {f th } est le ecteur force équialent au gradient thermique (N). (1.10b) (1.10c) (1.10d) Remarque 1 : la matrice de rigidité peut se mettre sous la forme : [ ] [ k] [ k] [ k ] = aec [ k] = EA [ ] n x n x n y [ k] [ k] L n x n y n y (1.11) Remarque : la matrice de rigidité est égale à : n x 0 [ ] [ ] [ k ] = n y 0 EA 1 1 nx n y n x L n x n y 0 n y ou : n x n y 0 0 [ k ] = n y n x n x n y 0 0 n y n x EA L (1.1) n x n y n y n x n x n y (1.13) n y n x Remarque 3 : l énergie de déformation est égale à (à un coefficient près indépendant des déplacements et de leurs dériées) : E def = 1 EA ε n L EA ε n α T L = 1 {u}t [ k ] {u} {u} T {f th } (1.14) Le traail des forces extérieures se réduit au traail des forces nodales : W ext = {u} T {f nod } (1.15)

6 6 Méthode des éléments finis L énergie potentielle est égale à : E pot = E def W ext (1.16) La matrice de rigidité est la matrice hessienne (ou matrice de Hess) de l énergie de déformation par rapport aux déplacements nodaux (programme tre mat) : k ij = E def u i u j (= k ji ) (1.17) Le ecteur des efforts aux nœuds est le gradient de l énergie de déformation par rapport aux déplacements nodaux : f nod,i = E def u i (1.18) Exemple 1 : treillis soumis à une force nodale.1 Énoncé Le treillis plan à noeuds articulés représenté sur la figure 4 est composé de trois poutres de même nature et de même section droite. Soient E le module de Young du matériau et A l aire des sections droites. Le noeud 1 est articulé et le nœud 3 repose sur un appui simple dont la normale est horizontale. Le noeud porte une charge de composantes (0, P ). Application numérique : on donne : A = 100 mm, L = 0. m, E = MPa, P = N Figure 4 Exemple 1. Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([1], [1]) : {U L } = u 3, {U S} = u 1 1 u 3 d où {U} = { } {UL } = {U S } On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u u {DDL} = 1 u u 3 u 1 1 u 3

7 Treillis plans à nœuds articulés 7.3 Étude élémentaire coordonnées nodales : élément 1 : élément 3 1 : nœud x y 1 0 L L L caractéristiques : L, A, E, n x = 1, n y = 1 u 1 0 {ddl 1 } = 1 0 u 1, [k 1 ] = EA L caractéristiques : L, A, E, n x = 0, n y = 1 u {ddl 3 1 } = 3 3, [k u ] = EA L élément 3 : caractéristiques : L, A, E, n x = 1, n y = 1 u {ddl 3 } = 3 3, [k u 1 3 ] = EA L Assemblage et calcul des déplacements inconnus Les déplacements inconnus sont les solutions de l équation [K LL ]{U L } = {F nod,l } : 0 1 EA u L = P 0 d où (programme exemple 1) : u = P L EA = mm, = P L EA (1 + ) = mm.5 Efforts normaux dans les éléments 3 3 = P L = mm EA Ils sont calculés à l aide de la formule (1.8) : N 1 = EA ( 1 L u 1 ) = P = 7071 N N 3 1 = EA L ( 3) = P = 5000 N N 3 = EA ( 1 L u + 1 ) ( 3 ) = P = 7071 N

8 8 Méthode des éléments finis.6 Actions de liaison Les actions de liaisons sont calculées à partir des efforts normaux (équation 1.) : nœud 1 : F 1 = N 1 n 1 + N 3 1 n 3 1 d où F 1x = 1 N 1 = P = 5000 N, F 1y = 1 N 1 + N 3 1 = P = N nœud 3 : F 3 = N 3 1 n 3 1 N 3 n 3 d où Remarque : l équilibre de la structure est érifié : F 3x = 1 N 3 = P = 5000 N F 1x + F x + F 3x = 0, F 1y + F y + F 3y = 0, LF 1x LF x + LF y = 0 3 Exemple : treillis soumis à une force nodale 3.1 Énoncé Le treillis plan représenté sur la figure 5 est composé de trois poutres de même section. Soient E le module de Young du matériau et A l aire des sections droites. Le nœud 1 est articulé et le nœud repose sur un appui simple dont la normale est horizontale. Le nœud 3 porte une charge d intensité (P, 3 P, 0). Application numérique : on donne : Figure 5 Exemple A = 100 cm, E = MPa, L = 0.7 m, P = 10 kn 3. Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([1], [1]) : {U L } = u 3 3, {U S} = u 1 1 u d où {U} = { } {UL } = {U S } u 3 3 u 1 1 u

9 Treillis plans à nœuds articulés 9 On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u u {DDL} = 0 1 u Étude élémentaire coordonnées nodales : élément 1 : élément 1 3 : élément 3 : nœud x y L 3 L 0 caractéristiques : L, A, E, n x = 0, n y = 1 u {ddl 1 } = 1 0, [k u 0 1 ] = EA L caractéristiques : L, A, E, n x = 1, n y = 0 u {ddl 1 3 } = 1 0, [k u ] = EA L caractéristiques : L, A, E, n x = u 0 {ddl 3 } = 1 u 3 3 3, [k 3 ] = EA L 3.4 Assemblage et calcul des déplacements inconnus 1, n y = Les déplacements inconnus sont les solutions de l équation [K LL ]{U L } = {F nod,l } : d où (programme exemple ) : EA L u = P 3 P = 3 P L = 0.16 mm EA u 3 = 4 P L EA = mm, 3 = (7 + 6 ) P L = mm EA

10 10 Méthode des éléments finis 3.5 Efforts normaux dans les éléments Ils sont calculés à l aide de la formule (1.8) : 3.6 Actions de liaison N 1 = EA L = 3 P = 360 kn N 1 3 = EA L u 3 = 4 P = 480 kn N 3 = EA ( 1 L u 3 1 ) ( 3 ) = 3 P = 509 kn Les actions de liaisons sont calculées à partir des efforts normaux (équation 1.) : nœud 1 : nœud : F 1 = N 1 n 1 N 1 3 n 1 3 d où F 1x = N 1 3 = 4 P = 480 kn, F 1y = N 1 = 3 P = 360 kn F = N 1 n 1 N 3 n 3 d où Remarque : l équilibre de la structure est érifié : F x = 1 N 3 = 3 P = 360 kn F 1x + F x + F 3x = 0, F 1y + F y + F 3y = 0, LF 3y LF x = 0 4 Exemple 3 : treillis soumis à une ariation de température 4.1 Énoncé Le treillis plan à noeuds articulés représenté sur la figure 6 est composé de trois poutres de même matériau et de même section droite. Figure 6 Exemple 3 Soient E et α respectiement le module de Young et le coefficient de dilatation du matériau. Soit A l aire des sections droites.

11 Treillis plans à nœuds articulés 11 Les nœuds 1, et 4 sont liés à l extérieur par une rotule. Premier cas de charge : la structure est soumise à une ariation de température T. Deuxième cas de charge : la poutre ( 3) est soumise à une ariation de température T. Application numérique : on donne : A = 100 mm, L = 0.1 m, E = MPa, α = 10 5 K 1, T = 100 K 4. Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([1], [1]) : {U L } = { u3 3 } u, {U S } = u 1 1 u 4 4 d où {U} = { } {UL } = {U S } On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : 4.3 Étude élémentaire coordonnées nodales : élément 1 3 : u u 0 {DDL} = 0 u u nœud x y L 0 3 L L 4 L L caractéristiques : L, A, E, α, n x = 1, n y = 1 u 3 3 u 1 1 u u 4 4 u 1 0 {ddl 1 3 } = 1 0 u élément 3 : [k 1 3 ] = EA L {f th,1 3} = 1 EA α T caractéristiques : L, A, E, α, n x = 0, n y =

12 1 Méthode des éléments finis u 0 {ddl 3 } = 0 u [k 3 ] = EA L {f th, 3} = EA α T élément 3 4 : caractéristiques : L, A, E, α, n x = 1, n y = 0 u {ddl 3 4 } = 3 [k u ] = EA L {f th,3 4} = EA α T Premier cas de charge Assemblage et calcul des déplacements inconnus Les déplacements inconnus sont les solutions de l équation [K LL ]{U L } = {F th,l } : [ ] { } EA L u3 = 1 { } 3 EA α T + d où (programme exemple 3) : u 3 = ( ) L α T = mm, 3 = L α T = mm 4.4. Efforts normaux dans les éléments Ils sont calculés à l aide de la formule (1.8) : N 1 3 = EA L Actions de liaison ( 1 u ) EA α T = ( ) EA α T = N N 3 = EA L 3 EA α T = ( 1) EA α T = 884 N N 3 4 = EA L ( u 3) EA α T = (1 ) EA α T = 884 N Les actions de liaisons sont calculées à partir des efforts normaux (équation 1.) : nœud 1 : nœud : nœud 4 : F 1 = N 1 3 n 1 3 d où : F 1x = 1 N 1 3 = ( 1) EA α T = 884 N, F 1y = F 1x = 884 N F = N 3 n 3 d où : F x = 0, F y = N 3 = (1 ) EA α T = 884 N F 4 = N 3 4 n 3 4 d où : F 4x = N 3 4 = (1 ) EA α T = 884 N, F 4y = 0 Remarque : l équilibre de la structure est érifié : F 1x + F x + F 4x = 0, F 1y + F y + F 4y = 0, L F y L F 4x = 0

13 Treillis plans à nœuds articulés Deuxième cas de charge Assemblage et calcul des déplacements inconnus Les déplacements inconnus sont les solutions de l équation [K LL ]{U L } = {F L } : d où (programme exemple 3) : u 3 = 1 [ ] { } EA L u3 = EA α T 3 L α T = mm, 3 = Efforts normaux dans les éléments Ils sont calculés à l aide de la formule (1.8) : Actions de liaison { } 0 1 L α T = mm N 1 3 = EA ( 1 L u ) 3 = EA α T = 5858 N N 3 = EA L 3 EA α T = 1 EA α T = 414 N N 3 4 = EA 1 L ( u 3 ) = EA α T = 414 N Les actions de liaisons sont calculées à partir des efforts normaux (équation 1.) : nœud 1 : F 1 = N 1 3 n 1 3 d où : nœud : F 1x = 1 N 1 3 = 1 EA α T = 414 N, F 1y = F 1x = 414 N F = N 3 n 3 d où : nœud 4 : 1 F x = 0, F y = N 3 = EA α T = 414 N F 4 = N 3 4 n 3 4 d où : 1 F 4x = N 3 4 = EA α T = 414 N, F 4y = 0 Remarque : l équilibre de la structure est érifié : F 1x + F x + F 4x = 0, F 1y + F y + F 4y = 0, L F y L F 4x = 0

14 14 Méthode des éléments finis 5 Programmes Maple Les programmes suiant se trouent dans le fichier treillis.txt. 5.1 tre mat # calculs élémentaires restart:with(linalg): # allongement unitaire eps:=(nx*(uj-ui)+ny*(j-i))/l; # énergie de déformation Edef:=EA*eps^*L/-eps*EA*alpha*DT*L; # matrice de rigidité k:=hessian(edef,[ui,i,uj,j]); # efforts nodaux fnod:=grad(edef,[ui,i,uj,j]); # remarque k:=jacobian(fnod,[ui,i,uj,j]); # ecteur d^u au gradient thermique fth:=-jacobian(fnod,[dt]); 5. exemple 1 restart:with(linalg): # application numérique #L:=00;E:=00000;A:=Pi*30^/4;P:=-10000; # matrice de rigidité KL:=matrix([[,0,-1],[0,,-1],[-1,-1,1+sqrt()]]): KL:=scalarmul(KL,E*A//sqrt()/L); # ecteur FL FL:=ector([0,P,0]); # calcul des déplacements nodaux UL:=linsole(KL,FL); #ealf(%);

15 Treillis plans à nœuds articulés exemple restart:with(linalg): # application numérique # L:=700;E:=00000;A:=10000;P:=-10e3; # matrice de rigidité KL:=matrix([[1+*sqrt(),1,-1],[1,1+*sqrt(),-1],[-1,-1,1]]): KL:=scalarmul(KL,E*A//sqrt()/L); # ecteur FL FL:=ector([0,P,3*P]); # calcul des déplacements nodaux UL:=linsole(KL,FL); #ealf(%); 5.4 exemple 3 restart:with(linalg): # application numérique #L:=100;E:=00000;A:=100;alpha:=1e-5;DT:=100; # matrice de rigidité x:=1+*sqrt(): KL:=matrix([[x,1],[1,x]]): KL:=scalarmul(KL,E*A//sqrt()/L); # ecteurs F x:=e*a*alpha*dt/: FLcas1:=ector([(sqrt()-)*x,(sqrt()+)*x]); FLcas:=ector([0,E*A*alpha*DT]); # calcul des déplacements nodaux ULcas1:=linsole(KL,FLcas1); ULcas:=linsole(KL,FLcas); # map(ealf,ulcas1); # map(ealf,ulcas);

16 16 Méthode des éléments finis Références [1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik, Vieweg, [] J.-L. Batoz et G. Dhatt Modélisation des structures par éléments finis, Volume 1. Solides élastiques, Hermès, [3], Modélisation des structures par éléments finis, Volume. Poutres et plaques, Hermès, [4] A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre et C. Laberge Résistance des matériaux, 3 éd., Éditions de l École Polytechnique de Montréal, 00. [5] L. Chealier Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Cours, exercices et problèmes corrigés, Ellipses, 004. [6] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefrançois Méthode des éléments finis, Hermès, 005. [7] F. Frey Traité du génie ciil, Volume 1. Analyse des structures et milieux continus. Statique appliquée, Presses Polytechniques et Uniersitaires Romandes, [8], Traité du génie ciil, Volume. Analyse des structures et milieux continus. Mécanique des structures, Presses Polytechniques et Uniersitaires Romandes, 000. [9] F. Frey et J. Jirousek Traité du génie ciil, Volume 6. Méthode des éléments finis, Presses Polytechniques et Uniersitaires Romandes, 001. [10] D. Gay et J. Gambelin Une approche simple du calcul des structures par la méthode des éléments finis, Hermès, [11], Dimensionnement des structures. Une introduction, Hermès, [1] J.-F. Imbert Analyse des structures par éléments finis, 3 éd., Cépaduès, [13] S. Laroze Mécanique des structures, Tome. Théorie des poutres, éd., Eyrolles/Masson, [14] A. Portela et A. Charafi Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach, Springer, 00. [15] J. S. Przemieniecki Theory of matrix structural analysis, Doer, [16] W. Weaer et J. M. Gere Matrix analysis of framed structures, 3 éd., Van Nostrand Reinhold, [17] C. Wielgoz Cours et exercices de résistance des matériaux : élasticité, plasticité, éléments finis, Ellipses, [18] W. Wunderlich et W. D. Pilkey Mechanics of structures. Variational and computational methods, éd., CRC PRESS, 003.