1 ère S Exercices sur le schéma de Bernoulli (1)

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1 ère Exercices sur le schéma de Beroulli () 8 Le chevalier de Méré, philosophe et homme de lettres, pose le problème suivat au mathématicie Blaise ascal : «Qu est-ce qui est le plus probable : obteir au mois six e quatre lacers d u dé ou au mois u double-six e laçat vigt-quatre fois deux dés?» ) O lace u dé équilibré à six faces umérotés de à 6 quatre fois de suite. Recommadatios : Das u arbre de Beroulli, les évéemets sot systématiquemet (sauf exceptio) otés et. Avat chaque arbre défiir clairemet l évéemet cosidéré. Das ue loterie, ue roue présete des secteurs gagats. À chaque lacer de roue, la probabilité de gager est 0, et e déped pas du lacer précédet. O joue quatre fois de suite. ) aire u arbre. 2 ) Calculer la probabilité - de gager exactemet ue fois ; - de gager au mois ue fois. 2 Ue usie fabrique des pièces e grade série dot 5 % sot défectueuses. O e prélève quatre au hasard. O admettra que, vu le grad ombre de pièces, ce tirage peut être assimilé à quatre tirages successifs avec remise (doc idépedats). Quelle est la probabilité que deux pièces exactemet soiet défectueuses? 3 O lace u dé o truqué trois fois de suite. Calculer la probabilité d obteir au mois ue fois le uméro 6. O lace u dé o truqué ciq fois de suite. Quelle est la probabilité d obteir exactemet deux fois le uméro 6? 5 U joueur de basket sait qu à chaque tir au paier sa probabilité de succès est 0,8. Au cours d u etraîemet, il evisage quatre lacers successifs idépedats. Quelle est la probabilité que le joueur réussisse au mois u paier? au mois trois paiers? 6 Ue ure cotiet ciq boules oires et trois boules blaches. O tire ue boule au hasard trois fois de suite avec remise. Calculer la probabilité de tirer exactemet deux fois ue boule blache. 7 U tireur à l arc evoie quatre flèches sur ue cible. O admet que chaque tir est idépedat des précédets et que pour chaque tir la probabilité d atteidre la cible est 0,75. Calculer la probabilité d atteidre ) exactemet trois fois la cible 2 ) au mois ue fois la cible. Doer les valeurs exactes des résultats sous forme décimale. O ote A est l évéemet : «obteir au mois u six». a) Défiir l évéemet A et calculer sa probabilité. b) E déduire la probabilité de A. O doera la valeur exacte puis la valeur arrodie au millième. 2 ) O lace maiteat deux dés équilibrés à six faces umérotés de à 6, vigt-quatre fois de suite. a) O ote B l évéemet : «obteir au mois u double-six». Défiir l évéemet B et calculer sa probabilité. b) E déduire la probabilité de B. O doera la valeur exacte puis la valeur arrodie au millième. 3 ) Répodre à la questio du chevalier de Méré. 9 Ue expériece cosiste à lacer fois ( etier, ) deux dés cubiques bie équilibrés. ) Démotrer que la probabilité de e pas obteir u double-six est 2 ) Quelle est la ature de la suite p? Idiquer so ses de variatio. p ) a) Quelle est la probabilité d obteir au mois u double-six? b) À l aide de la calculatrice, détermier le ombre miimal de lacers pour que cette probabilité soit supérieure ou égale à 0,99. 0 O lace quatre fois de suite ue pièce équilibrée et o s itéresse au côté (pile oté ou face oté ) préseté à chaque lacer. Aisi est ue issue possible sigifiat que le deuxième lacer a doé ace et les trois autres ile. O s itéresse à la probabilité d obteir au mois deux fois ace. ) Calcul a) Représeter la situatio à l aide d u arbre. b) Calculer la probabilité d avoir au mois deux «ace». 2 ) Expérimetatio O se propose maiteat de simuler fois cette expériece à l aide de la calculatrice. our cela, o doe l algorithme suivat qui décrit l expériece aléatoire et das lequel ile est remplacé par 0 et ace par.

2 Iitialisatio : C pred la valeur 0 Etrée : aisir Traitemet : our i variat de à aire pred la valeur 0 our k variat de à aire r pred la valeur 0 ou au hasard pred la valeur r iour i 2 Alors C pred la valeur C l ii iour O choisit comme poit d etrée das la table le chiffre placé das la première lige et la première coloe, et que l o parcourt la table de gauche à droite et du haut vers le bas. Les valeurs simulées de X sot présetées das le tableau ci-dessous das lequel et E désiget respectivemet «succès» et «échec» : Chiffres extraits Résultat X (, E, E,, E, E,, E) (E, E, E, E, E, E, E, E) 3 0 ortie : Afficher C Recopier et compléter le tableau e poursuivat le plus loi possible das la table. a) Recopier cet algorithme. Expliquer le pricipe de cet algorithme. b) rogrammer cet algorithme sur calculatrice et simuler plusieurs fois pour 50. O cosidère la table de chiffres au hasard ci-dessous O désire simuler ue variable aléatoire X qui suit la loi biomiale de paramètres 8 et p 0,3. Les valeurs possibles de la variable X sot les ombres etiers de 0 à 8. O décide de prélever das la table les chiffres par paquets de 8. i o obtiet le 0, le ou le 2 o cosidère que c est u «succès» si o obtiet u autre chiffre, o cosidère que c est u «échec». our chaque paquet de 8 chiffres, la valeur simulée de X est le ombre de «succès».

3 Remarques géérales : Corrigé Das tous les exercices, o utilise des arbres de Beroulli. Il serait cepedat possible d utiliser la méthode des cases à la place des arbres. Roue de loterie ) Arbre de Beroulli Chaque lacer de la roue est ue épreuve de Beroulli. O ote l évéemet : «obteir u secteur gagat». 0, Les quatre tours de roue sot réalisés das des coditios idetiques idépedates. O dresse u arbre de Beroulli à iveaux. 0, 0,9 O pourrait faire deux coloes à droite de l arbre et écrire sur chaque lige le résultat et sa probabilité comme das le tableau ci-dessous , --- 0, 3 0, , 3 0, , 0, , 3 0, , 0, , 0, , 0, , 3 0, , 0, , 0, , 0, , 0, , 0, , 0, ,9 Das les exercices suivats, ous e feros pas u tel tableau. 2 ) E : «le joueur gage exactemet ue fois» Il y a issues correspodat à l évéemet E ( ; -- - ; - -- ; - - -) ayat chacue pour probabilité 0, 0,9 0,9 0,9 0, 0,9 3. E 0, 0,9 0,9 0,9 = 0,296 La probabilité de gager exactemet ue fois est égale à 0,296 (valeur exacte). O peut écrire : («gager exactemet ue fois») = 0,296.

4 : «le joueur gage au mois ue fois» Le plus simple est de passer par l évéemet cotraire. L évéemet cotraire de «gager au mois ue fois» est «e gager aucue fois» ou ecore «perdre à chaque fois». 0,9 = 0,339 La probabilité de gager au mois ue fois est égale à 0,339 (valeur exacte). O peut écrire : («gager au mois ue fois») = 0, ièces défectueuses O ote l évéemet : «obteir ue pièce défectueuse». 0,05 Les quatre tirages sot cosidérés idépedats. Arbre de Beroulli à iveaux 0,05 0,95 Calculos la probabilité d obteir exactemet 2 pièces défectueuses. O compte le ombre de chemis qui compreet exactemet deux succès. O e trouve 6 (il faut bie compter). («obteir exactemet 2 pièces défectueuses») 0, 050,05 0,95 0,95 6 0,05 0,95 6 = 0, (valeur exacte) La probabilité que deux pièces exactemet soiet défectueuses est égale à 0,

5 3 Lacers d u dé o truqué O ote l évéemet : «obteir le uméro 6». 6 Les trois lacers sot réalisés das des coditios idetiques idépedates. («obteir au mois ue fois le uméro 6») = ( - - ) Arbre de Beroulli à 3 iveaux La probabilité d obteir au mois ue fois le uméro 6 est égale à 9 0, (valeur exacte) Lacers d u dé o truqué Même éocé que le précédet avec cette fois 5 lacers. Les ciq lacers sot réalisés das des coditios idetiques idépedates. 5 6 Calculos la probabilité d obteir au mois ue fois le uméro 6. ère méthode : O déombre tous les résultats qui correspodet à l évéemet «obteir au mois ue fois le uméro 6». Il s agit de tous les résultats sauf - -. Cette méthode est logue est fastidieuse. 2 e méthode : O raisoe par évéemet cotraire. Cela va beaucoup plus vite. C est doc la méthode à privilégier et à reteir. Le cotraire de l évéemet «obteir au mois ue fois le uméro 6» est l évéemet «obteir que des uméros différets de 6» («obteir exactemet deux fois le uméro 6») , La probabilité d obteir exactemet deux fois le uméro 6 est égale à aiers de basket : «le joueur réussit le paier» 0,8 Les quatre lacers sot réalisés das des coditios idetiques idépedates. («le joueur réussit au mois u paier») = («le joueur e réussit aucu paier») 0,2 = 0,998 La probabilité que le joueur réussisse au mois u paier est égale à 0,998 (valeur exacte).

6 («le joueur réussit au mois trois paiers») = («le joueur réussit 3 paiers») + («le joueur réussit paiers») 0,8 0, 2 0,8 0,892 3 La probabilité que le joueur réussisse au mois trois paiers est égale à 0,892 (valeur exacte). 6 Tirages de boules das ue ure ciq boules oires 0,75 0,25 3 («le tireur atteit exactemet 3 fois la cible») 0, 2875 La probabilité d atteidre exactemet trois fois la cible est égale à 0,2875 (valeur exacte). («le tireur atteit au mois ue fois la cible») = ( ) 0, 25 0, La probabilité d atteidre au mois ue fois la cible est égale à 0, (valeur exacte). ure Il s agit de tirages successifs avec remise. trois boules blaches 8 Le problème du chevalier de Méré «Qu est-ce qui est le plus probable : obteir au mois six e quatre lacers d u dé ou au mois u double-six e laçat vigt-quatre fois deux dés?» Les trois tirages sot réalisés das des coditios idetiques idépedates. O cosidère l évéemet : «obteir ue boule blache pour u tirage». 3 8 O dresse u arbre de Beroulli d ordre 3 avec les évéemets et. O pourrait peut-être faire égalemet u arbre avec les évéemets B et N. C est u peu mois bie car o e verrait pas immédiatemet que c est u arbre de Beroulli («obteir exactemet deux boules blache sur les 3 tirages») , (valeur exacte). La probabilité de tirer exactemet deux fois ue boule blache est égale à 0, (valeur exacte). 7 Tir à l arc : «le tireur atteit la cible» 0,75 Les quatre tirs sot réalisés das des coditios idetiques idépedates. Il y a pas besoi de faire d arbres das cet exercice. ) O lace u dé équilibré quatre fois de suite. a) A : «obteir au mois u six» : «obteir u 6 e u lacer» 6 Défiissos l évéemet A et calculos sa probabilité. A : «obteir aucu 6» Atoie Gombaud, chevalier de Méré est u écrivai fraçais é das le oitou e 607, mort le 29 décembre 68. Il est cou pour ses essais sur L hoête homme. Cotemporai de ascal, il eut avec lui ue logue correspodace sur les calculs de probabilités et le problème de la partie iterrompue. Il est célèbre par «le pari du chevalier de Méré» qui l'opposait à ascal sur u sujet de probabilités à l'époque où celles-ci étaiet balbutiates. A ( ) 5 6

7 b) Déduisos-e la probabilité de A. A A 5 6 0, ) Répodos à la questio du chevalier de Méré. O compare les deux résultats précédets. A B doc il est plus probable d obteir au mois u six e quatre lacers d u dé que d obteir au mois u double-six e laçat vigt-quatre fois deux dés. 9 Lacers de deux dés Autre faço où l o reste e calculs exacts fractioaires (ce qui est pas forcémet itéressat) : 625 A 296 lacers (avec etier tel que ) de deux dés bie équilibrés ) Démotros que la probabilité de e pas obteir u double-six est p A A ) O lace maiteat deux dés équilibrés à six faces umérotées de à 6, vigt-quatre fois de suite. a) B : «obteir au mois u double-six» : «obteir u double-six e u lacer des deux dés» (évéemet par rapport à la ouvelle expériece aléatoire) ' [o calcule ; o peut aussi utiliser u tableau double etrée] Défiissos l évéemet B et calculos sa probabilité. B : «obteir aucu double-six» B ' 2 B (car o joue 2 fois de suite) b) Déduisos-e la probabilité de B. B B , La probabilité d obteir u double-six est de 36. L expériece qui cosiste à lacer les deux dés est ue épreuve de Beroulli qui coduit soit à u succès : «obteir u double 6» soit à u échec : «e pas obteir u double-six». O a : doc O répète fois cette épreuve de Beroulli das des coditios idetiques idépedates. La probabilité de e pas obteir u double-six est doc 2 ) Détermios la ature de la suite p. p est ue suite géométrique de raiso Idiquos le ses de variatio de la suite p. p [voir chapitre ultérieur sur les suites géométriques]. La suite p est strictemet décroissate (à partir de l idice ) [voir chapitre ultérieur sur les suites]. lus augmete, plus la probabilité dimiue (elle se rapproche de 0). 3 ) a) Détermios la probabilité d obteir au mois u double-six. 35 La probabilité d obteir au mois u double-six est égale à p 36.

8 b) Détermios le ombre miimal de lacers pour que cette probabilité soit supérieure ou égale à 0,99. O cherche * 35 tel que p 0,99 soit 0,99 (). 36 O procède par essais successifs sur la calculatrice e remplaçat par des valeurs de plus e plus grades jusqu à trouver la plus petite valeur de pour laquelle l iégalité () est vérifiée. O trouve 6 (o a e effet p6 0, ). [our 63, o a p63 0, ]. 35 () 0, l l 0, l l 0,0 36 < 0 Rédactio-type pour ce type de questio : À l aide de la calculatrice, ous pouvos dire que le ombre miimal de lacers pour que la probabilité d obteir au mois u double-six soit supérieure ou égale à 0,99 est 6. l 0,0 35 l 36 Avec la calculatrice, o trouve : l 0, 0 63, l 36 Commetaires : 35. O peut défiir ue* foctio f : x 36 x et faire u tableau de valeurs avec u pas de sur 35 calculatrice. Il s agit de la foctio associée à la suite de terme gééral 36. * O devrait plutôt dire : 35 O peut défiir la foctio f : x 36 x () 6 * Attetio, la calculatrice comporte ue touche log qui correspod à ue autre foctio que la foctio «logarithme épérie» : la «foctio logarithme décimal». La foctio logarithme épérie est ue foctio extrêmemet importate e aalyse. U chapitre spécial lui sera cosacré e Termiale. O peut remarquer que, lorsque deviet de plus e plus grad, p se rapproche de plus e plus de. p deviet de plus e plus proche de 0 et doc Cette foctio est pas coue au iveau de la première. Rie empêche de la cosidérer Du poit de vue du vocabulaire, la foctio : x est appelée foctio expoetielle de base Les foctios expoetielles de base quelcoque serot étudiées e Termiale. 2. O pourrait utiliser u programme utilisat ue boucle «Tatque» sur la calculatrice (algorithme de détermiatio de valeur seuil). 3. O pourrait programmer la suite sur la calculatrice. O utilise le mode «suite». Cepedat, les calculs sot extrêmemet lets ce qui explique qu il vaut mieux passer par ue foctio comme cela a été expliqué das le.. E Termiale, o étudie la foctio «logarithme épérie»* (l) qui permet de trouver très facilemet la valeur de cherchée par le calcul directemet, sas procéder par essais successifs. La foctio l est défiie sur ]0 ; + [ et sa dérivée est doée par l x La touche correspodat à la foctio l est l. x '. x

9 0 lacers successifs d ue pièce équilibrée ) Calcul 2 ) Expérimetatio a) Algorithme de simulatio a) Arbre podéré Iitialisatio : C pred la valeur 0 Etrée : aisir Traitemet : our i variat de à aire pred la valeur 0 our k variat de à aire r pred la valeur 0 ou au hasard pred la valeur r iour i 2 Alors C pred la valeur C l ii iour ortie : Afficher C Il y a deux boucles «our» echâssées l ue das l autre : ue petite boucle et ue grade boucle. b) Calculos la probabilité d avoir au mois deux faces. A : «avoir au mois deux faces» A 2 6 Ou A La boucle «our k variat de à» représete les quatre lacers. La «grade» boucle correspod à la répétitio de l expériece. r correspod au résultat d u lacer (0 pour pile, pour face) L istructio «2» sigifie que la somme est supérieure ou égale à 2 c est-à-dire que l o a obteu au mois 2 faces. C compte le ombre de parties ou l o a obteu au mois 2 faces doc à chaque fois que 2 alors C augmete de. La valeur fiale de C doera le ombre total de parties pour lesquelles 2. C représete le ombre moye de parties où l o a obteu au mois deux face.

10 b) rogrammatio our le programme sur calculatrice, o e met qu u seul «Ed» (autremet dit, il y a u «iour» e trop sur la calculatrice ; si o met deux «Ed», le programme e foctioe pas). imulatio de la loi biomiale «à la mai» 0,, 2 : succès 3,, 5, 6, 7, 8, 9 : échec O predra deux pages (ou plus) grad format pour faire le tableau. : 0 C : rompt N : or (I,, N) : 0 : or (K,, ) : etaléa(0,) R ou : radit(0,) R : R : Ed : If 2 : C C : Ed : Disp C/N Il est fodametal de savoir effectuer des simulatios «à la mai». Remarque de hilippie Berard ( ère ) le : aire u tableau avec Excel est plus rapide qu avec ue écriture mauscrite. etaléa ou radit s obtieet par math RB choix 5. our 50, o a obteu C 0,66. Ce résultat est proche du résultat théorique (0,68) obteu à la questio ).

11 Chiffres extraits Résultats Nombre de succès X E-E--E-E--E E-E-E-E-E-E-E-E E--E--E--E E-E-E-E-E-E-E-E E---E-E---E E--E-E-E-E-E-E E-E-E---E--E E--E-E-E-E--E E-E-E-E-E-E-E E-E----E-E-E E-E-E-E--E--E E-E--E--E-E E-E--E-E-E-E-E E--E-E-E--E E--E-E-E-E-E-E E-E--E-E-E-E-E E--E-E-E--E-E E--E--E--E-E E-E-E--E-E E-E-E-E-E--E E-E-E-E-E--E E-E-E-E E-E--E--E-E E-E-E-E-E--E E-E-E-E-E-E-E-E E----E E--E-E--E-E E-E--E-E E-E-E-E---E-E E---E-E--E-E E----E-E-E-E E-E---E-E E--E-E-E-E-E E-E-E-E-E-E-E-E E-E--E--E--E E-E--E-E-E-E E-E--E-E-E--E E-E--E--E--E E-E----E-E-E E--E-E--E--E E--E-E--E-E-E E-E-E-E-E-E-E E-----E-E-E E-E-E-E--E-E-E E--E--E--E-E E-E-E-E-E-E-E E-E-E--E---E E--E-E-E-E E---E-E 5

12 E-E-E---E-E-E E-E-E-E-E-E-E E-E-E--E-E--E E-E-E---E-E-E E-E-E--E-E-E-E E-E--E-E---E E-E-E-E-E-E-E-E E-E--E---E E-E-E-E---E-E E-E---E-E-E E-E-E-E--E-E E-E---E-E--E E-E-E-E----E E-E--E ur la derière lige, o e met pas de valeur de X car la table e permet pas d obteir ue série complète de 8 chiffres