Correction du devoir de vacances Les suites dans plusieurs situations

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1 L.E.G.T.A. L Chsnoy TB D. Blottièr Mathématiqus Corrction du dvoir d vacancs Ls suits dans plusiurs situations Exrcic 1 : Un pas vrs ls fractals On considèr un carré F 1 d côté d longuur 1. Au miliu d chaqu côté, à l xtériur d F 1, on plac un carré d côté 1 3, dont on supprim l côté n contact avc la figur initial. On obtint ainsi un figur F 2. F 1 F2 On procèd d mêm avc F 2. On obtint ainsi un nouvll figur F 3. En réitérant l procédé, on construit ainsi un suit (F n ) d figurs. On not p n l périmètr d F n t A n l air d F n. 1. Tracr F Exprimr n fonction d n : (a) c n, l nombr d côtés d F n, (b) l n, la longuur d chaqu côté d F n, (c) p n. 3. La suit (p n ) convrg-t-ll? 4. Exprimr A n+1 n fonction d A n. 5. En déduir A n n fonction d n. 6. Montrr qu (A n ) convrg t calculr sa limit. 7. Qulls réflxions vous inspir c problèm? Corrction 1. Tracé d F 3. 1

2 2. (a) Exprssion d c n, l nombr d côtés d F n, n fonction d n. Lorsqu l on pass d F n à F n+1, chacun ds côtés d F n donn liu à 5 côtés d la figur F n+1, comm on l voit sur l dssin ci-dssous. On a donc c n+1 = 5c n pour tout n N. La suit (c n ) st donc géométriqu,d raison 5. Son prmir trm étant c 1 = 4 (F 1 a 4 côtés), on a donc c n = 45 n 1 pour tout n N. (b) Exprssion d l n, la longuur d chaqu côté d F n, n fonction d n. D après l énoncé, la longuur d un côté d F n+1 vaut 1 3 d la longuur d un côté d F n. (On put vérifir ctt rlation sur la figur ci-dssus.) On a donc l n+1 = 1 3 l n pour tout n N. La suit (l n ) st donc géométriqu, d raison 1 3. Son prmir trm étant l 1 = 1 (un côté d F 1 a pour longuur 1), on a donc l n = (c) Exprssion d p n n fonction d n. ( ) n 1 1 pour tout n N. 3 Tous ls côtés d F n ont mêm longuur (l n ). On a donc On a donc périmètr d F n = (nombr d côtés d F n )(longuur d un côté d F n ). p n = c n l n = 45 n 1 3. Étud d la convrgnc d la suit (p n ). ( ) n 1 1 = 4 3 ( ) n 1 5 pour tout n N. 3 D après 2.(c), la suit (p n ) st géométriqu, d raison q = 5 3 > 1 t d prmir trm p 1 = 4 >. D après l cours, la suit (p n ) divrg t on a lim n + p n = Exprssion d A n+1 n fonction d A n. D après la construction d la figur F n+1 à partir d la figur F n, on a : ( ) air d un carré d côté d longuur air d F n+1 = (air d F n )+(nombr d côtés d F n ) 1 3 d la longuur d un côté d F n On a donc ( ) 2 1 A n+1 = A n +c n 3 l n = A n + ( 45 ( n 1) ( ) ) n = A n + 4 ( ) n pour tout n N. 5. Exprssion d A n n fonction d n. D après 4., la suit (A n+1 A n ) st géométriqu, d raison 5 t d prmir trm A 2 A 1 = 4. D après l cours, on dispos donc d un formul pour la somm d ss N prmirs trms, pour tout N N : ( ) N 5 1 ( ) (A N+1 A N )+(A N A N 1 )+...+(A 3 A 2 )+(A 2 A 1 ) = (A 2 A 1 )

3 Dans l mmbr d gauch d ( ), ls trms A N t A N,..., A 2 t A 2 s annulnt t il n rst qu ( ) N 5 A N+1 A 1. L mmbr d droit d ( ) s simplifi pour donnr 1. Ainsi a-t-on c st-à-dir Comm A 1 = 1 = 2 A N+1 A 1 = 1 A N+1 = A 1 +1 ( ) 5, on a n fait A N+1 = 2 c qui s réécrit, n décalant l indic : A N = 2 6. Étud d la convrgnc d la suit (A n ) ( ) N 5 = 2 ( ) N 5 pour tout N N ( ) N 5 pour tout N N. ( ) N 5 pour tout N N, ( ) N 1 5 pour tout N N. ( (5 ) ) n 1 D après l cours sur ls suits géométriqus, la suit st convrgnt t sa limit st null, car sa raison st 5 t 1 < 5 < 1. On n déduit qu la suit (A n) convrg t qu lim n + A n = Réflxion sur c problèm. L périmètr d F n tnd vrs + t son air tnd vrs 2, quand n tnd vrs +. On put donc trouvr un figur d périmètr arbitrairmnt grand t dont l air st voisin d 2. Ainsi, c n st pas parc qu un figur a un grand périmètr qu son air st égalmnt grand. Exrcic 2 : Suits t économi L 1 r janvir 25, Sabrina t Joanna ont placé chacun 3 uros à la banqu. Sabrina a choisi un placmnt rapportant chaqu anné 5% d intérêts simpls (ls intérêts sont dits simpls lorsqu ils sont calculés chaqu anné à partir du placmnt initial). Joanna a choisi un placmnt à 4% d intérêts composés (ls intérêts sont dits composés lorsqu ils sont calculés chaqu anné à partir du capital d l anné précédnt). Pour tout n N, on not s n l capital d Sabrina l anné 25+n t j n l capital d Joanna l anné 25+n. On admt qu ni Sabrina ni Joanna n rtirnt d l argnt d la banqu. 1. Calculr ls 4 prmirs trms ds suits (s n ) t (j n ). 2. (a) Montrr qu (s n ) st un suit arithmétiqu t donnr sa raison. (b) En déduir l xprssion d s n uniqumnt n fonction d n. (c) Détrminr la limit d la suit (s n ). 3. (a) Montrr qu (j n ) st un suit géométriqu t donnr sa raison. (b) En déduir l xprssion d j n uniqumnt n fonction d n. (c) Détrminr la limit d la suit (j n ). 4. Rprésntr sur votr calculatric sur un mêm graphiqu ls 2 prmirs trms ds dux suits. Discutr à partir du graphiqu t suivant la valur d n du placmnt l plus intérssant. Corrction 3

4 1. Calcul ds 4 prmirs trms ds suits (s n ) t (j n ). D après l énoncé, on a, pour tout n N : ( ) s n+1 = s n +,53 = s n +15 t j n+1 = j n +,4j n. s = 3 j = 3 s 1 = s +15 = 315 j 1 = j +,4j = 312 s 2 = s = 33 j 2 = j 1 +,4j 1 = 3244,8 s 3 = s = 345 j 2 = j 2 +,4j 2 = 3374,52 2. (a) Pruv d l assrtion : (s n ) st un suit arithmétiqu. D après ( ), s n+1 s n = 15 pour tout n N. Ainsi la suit (s n ) st-ll arithmétiqu d raison 15. (b) Exprssion d s n n fonction d n. (s n ) st un suit arithmétiqu, d raison 15 t d prmir trm s = 3. D après l cours, on a donc : s n = 3+15n pour tout n N. (c) Étud d la convrgnc d (s n). D 2.(b), on déduit qu lim n + s n = (a) Pruv d l assrtion : (j n ) st un suit géométriqu. D après ( ), j n+1 = 1,4 j n pour tout n N. Ainsi la suit (j n ) st-ll géométriqu d raison 1,4. (b) Exprssion d j n n fonction d n. (j n ) st un suit géométriqu, d raison 1,4 t d prmir trm j = 3. D après l cours, on a donc : j n = 3(1,4) n pour tout n N. (c) Étud d la convrgnc d (j n). D après 3.(a), la suit (j n ) st géométriqu, d raison q = 1,4 > 1. Son prmir trm st j = 3 >. D après l cours, la suit (j n ) divrg t on a lim n + j n = Rprésntation ds 2 prmirs trms ds dux suits t discussion sur l placmnt l plus intérssant n fonction d n. Sur l graphiqu ci-après, on a rprésnté ls 2 prmirs trms ds suits (s n ) (marqués d un ) t (j n ) (marqués d un ). L placmnt choisi par Sabrina st plus avantagux si l nombr d annés n st compris ntr 1 t 11 ans, clui choisi par Joanna st plus intérssant pour un duré d placmnt supériur. (Ls points corrspondant à s 12 t j 12 sont quasimnt confondus sur l graphiqu, mais s 12 = 48 < 483,6656= j 12.) 4

5 Exrcic 3 : Suits t intégrals On considèr la suit (u n ) défini pour tout n N par 1. Calculr u 1 t u 2. u n = n 1 x 2 dx. (a) Après un rapid étud d la fonction x x 2 tracr la courb d ctt fonction. (b) Donnr un intrprétation géométriqu d u 1, d u 2 puis d u n pour un n N qulconqu. 2. Calculr u n t donnr l résultat uniqumnt n fonction d n. 3. Montrr qu (u n ) st un suit géométriqu t donnr sa raison t son prmir trm. 4. On not S n la somm ds n prmirs trms d la suit (u n ). (a) Grâcàun formuldu courssurls suitsgéométriqus,calculrs n tdonnrl résultatuniqumnt n fonction d n. (b) Montrr qu S n = Donnr un intrprétation géométriqu d S n. x 2 dx (c) CalculrS n grâcàla qustion précédnt.vérifirqu l résultattrouvést l mêmqu à la qustion 4.a. (d) Détrminr la limit d S n quand n tnd vrs +. Proposr un intrprétation géométriqu d votr résultat. 5

6 Corrction 1. Calcul d u 1 t u 2. La fonction x 2 x 2 défini sur R st un primitiv d la fonction x x 2 défini sur R. Ainsi a-t-on : u 1 = 1 x 2 dx = [ 2 x 2] 1 = 2(1 1 2 ) t u2 = 2 1 x 2 dx = [ 2 x 2] 2 1 = 2( ). On put rmarqur qu 1 2 = 1 t qu 1 = 1. Ls résultats précédnts puvnt donc s réécrir : u 1 = 2 (1 1 ) 1 t u 2 = 2( 1 ). (a) Étud d la fonction f défini sur R par f(x) = x 2 t rprésntation graphiqu d f. La fonction f st dérivabl sur R, comm composé d dux fonctions dérivabls sur R (x x 2 t x x ). En appliquant l théorèm donnant la dérivé d un composé, on obtint f (x) = 1 2 x 2 pour tout x R. L xponntill n prnant qu ds valurs strictmnt positivs, on n déduit qu f (x) < pour tout x R. Par suit, la fonction f st strictmnt décroissant sur R. La limit d f n + st. En fft : lim x x + 2 = lim x x = composition = d limits lim x + x 2 =. La courb rprésntativ d f dans l plan rpéré admt donc un asymptot horizontal d équation y = n +. La limit d f n st +. En fft : lim x x 2 = + lim x + x = + composition = d limits lim x x 2 = +. 2 Courb rprésntativ d f 1 u 1 u (b) Intrprétation géométriqu d u 1, d u 2 puis d u n pour un n N qulconqu. L xponntill n prnant qu ds valurs strictmnt positivs, on n déduit qu f(x) > pour tout x R. D après l intrprétation géométriqu d un intégral d fonction positiv, vu n cours, on a donc : u 1 st l air d la portion d plan délimité par ls trois droits d équations y =, x =, x = 1 t la courb rprésntativ d f, 6

7 u 2 st l air d la portion d plan délimité par ls trois droits d équations y =, x = 1, x = 2 t la courb rprésntativ d f, t plus généralmnt, u n st l air d la portion d plan délimité par ls trois droits d équations y =, x = n 1, x = n t la courb rprésntativ d f, pour tout n N. 2. Calcul d u n. On utilis à nouvau la primitiv d f donné n 1. pour ffctur l calcul d u n. u n = n 1 x 2 dx = [ 2 x 2] n n 1 = 2( n 1 2 n 2) = 2( ( n ) n 2) = 2( n n 2) = 2 n 2( 1 2 1) = 2( 1 2 1)( 1 2) n On put rmarqur qu 1 2 = t qu 1 2 = 1. On a donc aussi la form suivant pour u n : u n = 2 ( 1 ) ) n 1 (. 3. Pruv d l assrtion : (u n ) st un suit géométriqu. On vint d démontrr qu u n = 2( ( ) n 1 1), pour tout n N. La suit (u n ) st donc géométriqu, d raison 1. Son prmir trm st u 1 = 2( 1) 1 = 2 (1 1 ). 4. (a) Exprssion d S n n fonction d n, au moyn d un formul du cours sur ls suits géométriqus. S n = u 1 +u u n = 2 (1 1 ) 1 ( ) n (formul du cours) (b) Pruv d S n = ( ) n ) 1 = 2 1 ( x 2 dx t intrprétation géométriqu. S n = u 1 +u u n = 1 2 x 2 dx+ x 2 dx n 1 x 2 dx = x 2 dx (rlation d Chasls) S n st donc l air d la portion d plan délimité par ls trois droits d équation y =, x =, x = n t la courb rprésntativ d f (cf. 1.(b)). S n n 7

8 (c) Calcul d S n grâc à 4.(b). On utilis un nouvll fois la primitiv d f donné n 1. pour ffctur l calcul d S n. S n = x 2 dx = [ 2 x 2] n = 2(1 n 2 ) = 2(1 ( 1 2 ( ) n ) n ) 1 = 2 (d) Étud d la convrgnc d (S n) t intrprétation géométriqu. ( ) n ) 1 On sait qu S n = 2 1 ( pour tout n N. D après l cours sur ls suits géométriqus, la suit car sa raison st (car 1 2 = 1 ) ( ) n 1 st convrgnt t sa limit st null, 1 t 1 < 1 < 1. On n déduit qu (S n ) convrg t qu lim n + S n = 2. D après l intrprétation géométriqu d S n donné n 4.(b), la limit d S n, qui vaut 2, corrspond à l air A d la portion (infini) du plan délimité par ls dux droits d équation y =, x = t la courb rprésntativ d f. A Exrcic 4 : Suits t probabilités Alic début au ju d fléchtts. Ell ffctu ds lancrs succssifs d un fléchtt. On admt ls rnsignmnts suivants : a) Si ll attint la cibl à un lancr, alors la probabilité qu ll attign la cibl au lancr suivant st égal à 1 3. b) Si ll manqu la cibl à un lancr, la probabilité qu ll manqu la cibl au lancr suivant st égal à 4 5. c) Au prmir lancr, ll a autant d chanc d attindr la cibl qu d la manqur. Pour tout n N, on considèr ls événmnts suivants : A n : Alic a attint la cibl au n coup. B n : Alic a manqué la cibl au n coup. On not p n = p(a n ) la probabilité d l événmnt A n. 1. Drssr un arbr pour rprésntr ctt xpérinc aléatoir. Fair figurr ls rnsignmnts a), b) t c) dans ct arbr. 2. Complétr l arbr pour ls 3 prmirs lancrs. Expliqur votr démarch n utilisant ds formuls du cours. 3. Détrminr p 1 t p 2, n justifiant votr démarch grâc à ds formuls du cours. 4. Ls événmnts A 1 t A 2 sont-ils indépndants? 8

9 5. En utilisant la formul ds probabilités totals, montrr qu, pour tout n 2, on a p n = 2 15 p n Pour n 1, on pos u n = p n Montrr qu (u n) st un suit géométriqu, dont on précisra l prmir trm t la raison. 7. Détrminr u n puis p n n fonction d n. 8. Détrminr lim n + p n t intrprétr c résultat. Corrction 1. t 2. Arbr rprésntant l xpérinc aléatoir, dont ls trois prmirs lancrs. 1/2 1/2 A 1 B 1 1/3 2/3 1/5 4/5 A 2 B 2 A 2 B 2 1/3 2/3 1/5 4/5 1/3 2/3 1/5 4/5 A 3 B 3 A 3 B 3 A 3 B 3 A 3 B 3 A n B n 1/3.... A n B n 2/3 1/5 4/5 2/3 1/5 1/3 4/5 A n+1 B n+1 A n+1 B n+1 A n+1 B n+1 A n+1 B n+1 Pour placr crtains probabilités sur ls branchs d l arbr, on a appliqué la formul du cours P(A) = 1 P(A), où A st un événmnt t A l événmnt contrair. 3. Calcul d p 1 t p 2. On a p 1 = P(A 1 ) = 1 2 t p 2 = P(A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )+P(B 1 )P(A 2 B 1 ) = = (théorèm ds probabilités totals) 4. Étud d l indépndanc ds événmnts A 1 t A 2. On a P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) = = 1 6. Or P(A 1) P(A 2 ) = = Ls événmnts A 1 t A 2 n sont donc pas indépndants. 5. Pruv d l assrtion : pour tout n 2, on a p n = 2 15 p n

10 Soit n 2. On a p n = P(A n ) = P(A n 1 )P(A n A n 1 )+P(B n 1 )P(A n B n 1 ) (théorèm ds probabilités totals) = p n (1 p n 1) 1 (B n 1 = A n 1 t P(A n 1 ) = 1 P(A n 1 )) 5 = 2 15 p n Pruv d l assrtion : (u n ) st un suit géométriqu. Soit n 1. u n+1 = p n = 2 15 p n = 2 15 p n 2 65 = 2 ( p n 3 ) = u n. La suit (u n ) st donc gómétriqu, d raison Son prmir trm st u 1 = p = Exprssions d u n t p n n fonction d n. D après l cours t 6., on a u n = 7 ( ) n , pour tout n N. Ainsi a-t-on 15 p n = u n = ( ) n pour tout n N Calcul d lim n + p n t intrprétation du résultat. D après l cours sur ls suits géométriqus, la suit ( ( ) ) n 1 2 st convrgnt t sa limit st null, 15 car sa raison st 2 15 t 1 < 2 15 < 1. On n déduit qu la suit (p n) convrg t qu lim n + p n = On n déduit qu après avoir lancé un grand nombr d fois, Alic touchra la cibl au lancr suivant avc un probabilité voisin d

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