Analyse numérique : Intégration numérique
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- Théophile Beauchemin
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1 Anlyse numérique : Intégrtion numérique Pgor 1A Chpitre 4 8 février 11 mrs 2013 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
2 Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
3 Introduction Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
4 Introduction Description du problème On cherche à estimer l vleur numérique de I = vec : et b deux réels ( < b). f (x) dx f fonction ml connue mis ne disposnt ps de singulrité sur [, b]. exemple : f (x) = 1 x intégrble sur [0, 1] mis possède une sigulrité en 0. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
5 Introduction Méthode clssique : primitive Lorsqu on connit une primitive de f (noté ici F ) sur [, b], on peut clculer directement I. I = f (x) dx = F (b) F () exemple : F (x) = 2 x est une primitive de f (x) = 1 x sur [0, 1], on donc I = x dx = = 2 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
6 Introduction Problème L pluprt des fonctions f ne disposent ps d expressions nlytique pour leurs primitives même dns le cs de fonctions s écrivnt très simplement. exemples : π/2 1 0 e x2 dx 1 + cos 2 x dx cos(x 2 ) dx Solution : utiliser des méthodes numériques. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
7 Introduction Exemple concret intégrtion numérique Dns le cs du tritement du signl, on peut vouloir connitre l vleur moyenne f (t) d un signl f sur [0, t]. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
8 Introduction Exercice : vleur moyenne d une fonction f Soit f une fonction intégrble sur [, b], quelle est s vleur moyenne? En déduire l expression de f d un signl f sur [0, t]. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
9 Introduction Exercice (correction) Soit f une fonction intégrble sur [, b], quelle est s vleur moyenne? En déduire l expression de f d un signl f sur [0, t]. Notons f moy l vleur moyenne de f sur [, b]. f moy doit vérifier l églité : f moy dx = donc (b )f moy = f (x) dx f (x) dx et f moy = 1 f (x) dx b 1 t d où l expression de f (t) = f (x) dx vec t > 0 t 0 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
10 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
11 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo de l méthode de Monte-Crlo Objectif : clculer I = Ω f (x) dx vec Ω R n de volume V connu, c est à dire on connit l vleur excte de V = dx Comment fire : on tire létoirement de mnière uniforme des vleurs x i Ω, i = 1,..., N et on pproche l intégrle pr Ω I Q N = V N N f (x i ) i=1 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
12 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo Exercice Écrire un progrmme Scilb permettnt d estimer l intégrle de 1 1+x 2 sur [0, 1] pr l méthode de Monte-Crlo vec pour entrée N. Pour rppel, l fonction rnd(n,m) retourne une mtrice de tille n m contennt des nombres létoires de loi uniforme compris entre 0 et 1. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
13 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo Exercice (correction) Voici un exemple de solution : function QN = integrlemc(n) QN = 0 ; for k = 1:N u = rnd(1,1) ; QN = QN + (1./N).*(1./(1 + u.*u)) ; end endfunction On vient de donner un lgorithme permettnt de clculer dx = rctn(1) 1 + x 2 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
14 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo Vitesse de convergence de l méthode L méthode converge vers le bon résultt lim Q N = I N Cependnt s vitesse de convergence est très lente (il fut que N soit très grnd pour voir un résultt convenble). En effet, on note f N = 1 N N i=1 f (x i ) et lim f N = f moy vleur moyenne de f N σ 2 N = 1 N 1 N i=1 L vrince de Q N vut (f (x i ) f N ) 2 et lim N σ2 N = σ2 R + Vr(Q N ) = V 2 σ 2 N N Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
15 Formules de Newton-Cotes Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
16 Formules de Newton-Cotes Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
17 Formules de Newton-Cotes Interpoltion et intégrle On peut pprocher une fonction quelconque f pr un polynôme P. Comme f (x) est proche de P(x), on : Avntges : f (x) P(x) = f (x) dx P(x) dx les polynômes sont fciles à intégrer. cette méthode est utilisble même si on ne connit que des vleurs de f puisqu on peut lors construire le polynôme P d interpoltion de f sur ces vleurs. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
18 Formules de Newton-Cotes Formules de qudrture de type interpoltion Soient (x i, y i = f (x i )), i = 0,..., n, n + 1 points d interpoltion tel que x 0 < x 1 <... < x n b. Posons I = f (x) dx P(x) dx = n y i l i (x) dx i=0 vec I n = n i=0 y i l i (x) dx = w i = n i=0 y i l i (x) dx = l i (x) dx n w i f (x i ) i=0 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
19 Formules de Newton-Cotes Définition : formule de qudrture On pproche l intégrle pr I (f ) = vec : n f (x) dx I n (f ) = w i f (x i ) i=0 x i, i = 0,..., n, noeuds ou points d intégrtion. w i, i = 0,..., n, poids de l formule de qudrture. On définit l erreur comme étnt R(f ) = I (f ) I n (f ) Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
20 Formules de Newton-Cotes Définitions et théorème Définition : Une formule de qudrture est dite excte sur un ensemble V si pour tout f de V R(f ) = 0 Définition : Une formule de qudrture est dite de degré de précision n si elle est excte pour x k, k = 0,..., n et non excte pour x n+1. Théorème : Une formule de qudrture à n+1 points est excte sur l ensemble des polynômes de degré u plus n si, et seulement si, c est une formule de type interpoltion à n+1 points. Remrque : Une formule excte sur l ensemble des polynômes de degré u plus n est de degré de précision u moins n. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
21 Formules de Newton-Cotes Exercice Trouver A 0 et A 1 tels que : 1 1 f (x) dx = A 0 f ( 1) + A 1 f (1) + R(f ) et vérifier que cette formule de qudrture est de degré de précision 1. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
22 Formules de Newton-Cotes Exercice (correction) C est une formule de type interpoltion à 2 points donc excte sur l ensemble des polynômes de degré u plus 1. D où : f (x) = 1, R(f ) = 0 f (x) = x, R(f ) = 0 On obtient A 0 = 1 et A 1 = 1 donc dx = A 0 + A 1 = 2 x dx = A 0 + A 1 = 0 f (x) dx = f ( 1) + f (1) + R(f ) Cette méthode pr construction est u moins de degré de précision 1. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
23 Formules de Newton-Cotes Exercice (correction) Montrons que cette formule de qudrture est de degré de précision 1. Pour 1 f (x) = x 2 f (x) dx = 2 3 A 0f ( 1) + A 1 f (1) = 2 1 donc R(f ) 0 et l formule de qudrture est de degré de précision 1. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
24 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
25 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Générlités Pour obtenir les formules de Newton-Cotes fermé, on interpole f ux point suivnts x i = + ih i = 0,..., n vec h = b n On donc x 0 = et x n = b et on construit les formules de qudrtures de l fçon suivnte : vec f (x) dx (b ) n i=0 w (n) i = 1 l i (x) dx b w (n) i f (x i ) Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
26 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 0, formule des rectngles Le seul point est soit, soit b. f (x) dx (b )f () f (x) dx (b )f (b) C est l formule des rectngles qui est excte uniquement pour les polynômes de degré 0 (ie. les constntes). Si f est C 1 sur [, b] lors il existe ξ ], b[ tel que + si, si b R(f ) = ± (b ) f (ξ) 2 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
27 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 1, formule des trpèzes Les points d interpoltion sont x 0 = et x 1 = b. Exercice : Trouver l formule des trpèzes en clculnt w (1) 0 et w (1) 1. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
28 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 1, formule des trpèzes Correction : Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
29 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 1, formule des trpèzes Correction : w (1) 0 = 1 b l 0 (x) dx = 1 x b b b dx = 1 2 w (1) 1 = 1 l 1 (x) dx = 1 x b b b dx = 1 2 donc l formule des trpèzes est f (x) dx 1 (f () + f (b)) 2 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
30 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 1, formule des trpèzes L formule des trpèzes est excte pour les polynômes de degré u plus 1 et est de degré de précision 1. Si f est C 2 sur [, b] lors il existe ξ ], b[ tel que l erreur R soit R(f ) = (b )3 f (ξ) 12 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
31 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 2, formule de Simpson Les points d interpoltion sont x 0 =, x 1 = + b et x 2 = b. 2 L formule de Simpson qui est excte pour les polynômes de degré u plus 2 vut ( ( ) ) (b ) + b f (x) dx f () + 4f + f (b) 6 2 Si f est C 4 sur [, b] lors il existe ξ ], b[ tel que l erreur R soit (b )5 R(f ) = 2880 f (4) (ξ) L formule de Simpson est de degré de précision 3. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
32 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 2, formule de Simpson Exercice : montrer que l formule de Simpson est de degré de précision 3. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
33 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 2, formule de Simpson Exercice : montrer que l formule de Simpson est de degré de précision 3. L formule de Simpson est excte pour les polynômes de degré u plus 2 donc elle est de degré de précision u moins 2. D utre prt, b 6 x 3 dx = b4 4 = b ( b 3 + b b + 3) 4 4 ( ( ) ) + b b 3 = b ( b 3 + b b + 3) 2 4 L formule de Simpson est de degré de précision u moins 3. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
34 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Cs n = 2, formule de Simpson Pour x 4, on obtient et b 6 x 4 dx = b5 5 5 = b 5 ( ( ) ) + b b 4 = 2 b 24 ( b 4 + b b b + 4) ( 5b 4 + 4b b b + 5 4) Les deux quntités ne sont ps égles donc l formule de Simpson est de degré de précision 3. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
35 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Quelques formules de Newton-Cotes fermé n nom w (n) 0 w (n) 1 w (n) 2 w (n) trpèzes Simpson Simpson 3/ Boole Weddle w (n) 4 w (n) 5 w (n) Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
36 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
37 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Générlités Pour obtenir les formules de Newton-Cotes ouvert, on interpole f ux point suivnts x i = + (i + 1)h i = 0,..., n vec h = b n + 2 et on construit les formules de qudrtures de l fçon suivnte : vec f (x) dx (b ) n i=0 w (n) i = 1 l i (x) dx b w (n) i f (x i ) Contrirement ux formules de Newton-Cotes fermé, les points d intégrtion ne sont jmis et b. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
38 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Cs n = 0, formule des rectngles Exercice : Trouver l formule des rectngles pour Newton-Cotes ouvert et montrer qu elle est de degré de précision 1. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
39 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Cs n = 0, formule des rectngles Correction : w (0) 0 = 1 l 0 (x) dx = 1 dx = 1 b b L formule des rectngles est donc : f (x) dx (b )f ( ) + b 2 Montrons que cette formule est de degré de précision 1. I (1) = dx = (b ) ( ) + b I 0 (1) = (b )f = (b ) 2 L formule est donc de degré u moins 0 (cr R(1) = I (1) I 0 (1) = 0) Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
40 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Cs n = 0, formule des rectngles I (x) = x dx = b2 2 2 ( ) + b I 0 (x) = (b )f 2 = (b ) + b 2 L formule est donc de degré u moins 1 (cr R(x) = I (x) I 0 (x) = 0) I (x 2 ) = x 2 dx = b3 3 = (b )(b2 + b + 2 ) ( ) ( ) + b + b 2 I 0 (x 2 ) = f = (b ) = (b )(b2 + 2b + 2 ) R(x 2 ) 0, donc le degré de précision est bien 1. Si f est C 2 sur [, b] lors il existe ξ ], b[ tel que l erreur R soit R(f ) = (b )3 f (2) (ξ) 24 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
41 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Quelques formules de Newton-Cotes ouvert n nom w (n) 0 w (n) 1 w (n) 2 w (n) 3 0 rectngles trpèzes 2 2 Milne Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
42 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Quelques propriétés pour terminer Pour une formule de Newton-Cotes ssociée à une vleur impire de n. Si f C n+1 ([, b]), lors il existe un réel K n et ξ ], b[ tel que l erreur R commise sur l vleur de l intégrle soit A noter que : R(f ) = K n < 0 si Newton-Cotes fermé K n > 0 si Newton-Cotes ouvert K n (n + 1)! (b )n+2 f (n+1) (ξ) Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
43 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Quelques propriétés pour terminer Pour une formule de Newton-Cotes ssociée à une vleur pire de n. Si f C n+2 ([, b]), lors il existe un réel M n et ξ ], b[ tel que l erreur R commise sur l vleur de l intégrle soit A noter que : R(f ) = M n < 0 si Newton-Cotes fermé M n > 0 si Newton-Cotes ouvert M n (n + 2)! (b )n+3 f (n+2) (ξ) Remrque : L propriété est vlble pour toutes les formules de Newton-Cotes (fermé et ouvert) suf Newton-Cotes fermé vec n = 0. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
44 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Degré de précision des formules de Newton-Cotes Exercice : déduire des propriétés précédentes le degré de précision des formules de Newton-Cotes. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
45 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert Degré de précision des formules de Newton-Cotes Dns le cs n pir, R(f ) = M n (n + 2)! (b )n+3 f (n+2) (ξ) Donc pour tout k < n + 2, R(x k ) = 0 et le degré de précision est u moins n + 1. Mintennt, R(x n+2 ) = M n (b ) n+3 0 Le degré de précision des formules de Newton-Cotes vec n pir est n + 1. Pr un risonnement nlogue, on montre que le degré de précision des formules de Newton-Cotes vec n impir est n. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
46 Formules composites Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
47 Formules composites Défuts des formules de Newton-Cotes Pour rendre l erreur plus petite qu une quntité donnée, l seule possibilité vec les formules de Newton-Cotes est d ugmenter le nombre de points d intégrtion (donc le degré du polynôme d interpoltion). Cel conduit prfois à l pprition de comportements peu pprécibles (ex : phénomène de Runge). A prtir de n 9, les formules de Newton-Cotes deviennent instbles (c est à dire que les poids intervennt dns les formules peuvent être négtifs). = Idée : pprocher f pr des polynômes pr morceux pour le clcul de l intégrle (formule composite). Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
48 Formules composites L méthode consiste à diviser l intervlle [, b] en r sous-intervlles de longueur h = b r et d introduire les points de subdivision t i = + ih i = 0,..., r On forme r 1 f (x) dx = i=0 ti+1 t i f (x) dx et l on pplique sur chque intervlle [t i, t i+1 ] une des formules de Newton-Cotes. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
49 Formules composites Exercice : formule composite des trpèzes (NC fermé) Étblir l formule composite des trpèzes. En combien de points est il nécessire d évluer f pour pouvoir utiliser cette formule? Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
50 Formules composites Exercice (correction) On pplique sur chque intervlle [t i, t i+1 ] l formule des trpèzes (NC fermé) ti+1 t i f (x) dx h 2 (f (t i) + f (t i+1 )) D où r 1 f (x) dx = i=0 ti+1 t i r 1 f (x) dx (f (t i ) + f (t i+1 )) et l formule composite des trpèzes s écrit ( ) b r 1 1 f (x) dx h 2 f () + f (t i ) f (b) On doit évluer r + 1 fois f pour pouvoir utiliser cette formule. i=1 i=0 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
51 Formules composites Erreur commise pr l formule composite des trpèzes On note R(f, [t i, t i+1 ]) l erreur commise sur l intǵrle de f entre t i et t i+1. ti+1 t i f (x) dx = h 2 (f (t i) + f (t i+1 )) + R(f, [t i, t i+1 ]) Or on vu précédement que si f C 2 ([t i, t i+1 ]), il existe ξ i ]t i, t i+1 [ tel quel R(f, [t i, t i+1 ]) = 1 12 h3 f (ξ i ) Mintennt, supposons que f soit C 2 sur [, b] lors l erreur R(f ) commise sur l intégrle de f entre et b vut r 1 R(f ) = R(f, [t i, t i+1 ]) = h3 r 1 f (ξ i ) ξ i ]t i, t i+1 [ 12 i=0 i=0 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
52 Formules composites Erreur commise pr l formule composite des trpèzes Si f est C 2 sur [, b], lors f est continue sur [, b] et il existe un réel c tel quel c = mx x [,b] f (x) On peut donc mjorer R(f ), insi et on R(f ) h3 r 1 12 i=0 f (xi i ) h3 r 1 12 i=0 lim R(f ) = lim R(f ) = 0 r h 0 c = c h 2 b 12 On ssure bien ici que l erreur commise sur l estimtion de l intégrle tende vers 0 en utilisnt l formule composite des trpèzes (ceci reste vri pour tout utre formule composite). Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
53 Formules de Guss Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
54 Formules de Guss Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
55 Formules de Guss Petit rppel Soit une formule de qudrture I n (f ) = n w i f (x i ) i=0 Les formules de Newton-Cotes fixent les nœuds x i et utilisent des poids ssurnt un degré de précision n ou n + 1. L idée des formules de Guss est de choisir les nœuds pour que le degré de précision de l formule soit le plus élevé possible. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
56 Formules de Guss Mise en forme du problème Problème : Trouver les nœuds x i, i = 0 et les poids w i,..., n tel que f (x) dx n w i f (x i ) i=0 On cherche donc 2n + 2 inconnues. Idée : Chercher une formule excte sur l ensemble des polynômes de degré u plus 2n + 1, soit x k dx = n w i xi k k = 0,..., 2n + 1 i=0 On cherche 2n + 2 inconnues reliées entre elles pr 2n + 2 équtions. Remrque : L formule obtenue est de degré de précision 2n + 1. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
57 Formules de Guss Un exemple concret Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
58 Formules de Guss Un exemple concret Exercice Soit l formule de qudrture de Guss I (f ) = 1 1 f (x) dx I n (f ) = w 0 f (x 0 ) + w 1 f (x 1 ) Étblir le système d équtions relint les poids et les nœuds. Vérifier que 3 3 w 0 = w 1 = 1 x 0 = x 1 = 3 3 est solution du système étbli et vérifier que l formule 1 1 est de degré de précision 3. ( ) ( ) 3 3 f (x) dx f + f 3 3 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
59 Formules de Guss Un exemple concret Exercice (correction) Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
60 Formules de Guss Un exemple concret Exercice (correction) Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
61 Formules de Guss Un exemple concret Exercice (correction) On cherche une formule excte sur l ensemble des polynômes de degré u plus 2n + 1, soit n x k dx = w i xi k k = 0,..., 2n + 1 i=0 Ici = 1, b = 1, n = 1. On étblit le système suivnt 1 1 dx = 2 = w 0 + w x dx = 0 = w 0 x 0 + w 1 x 1 1 x 2 dx = = w 0 x w 1x 2 1 x 3 dx = 0 = w 0 x w 1x 3 1 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
62 Formules de Guss Un exemple concret Exercice (correction) 3 w 0 = w 1 = 1 x 0 = x 1 = 3 est solution du système étbli précédemment. 3 3 Montrons enfin que l formule est de degré de précision 3. Pr définition, elle est de degré de précision u moins 3. D utre prt, on 1 1 x 4 dx = 2 5 w 0x w 1 x 4 1 = 2 9 L formule est bien de degré de précision 3. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
63 Formules de Guss Formules de Guss-Legendre Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo 3 Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé Newton-Cotes ouvert 4 Formules composites 5 Formules de Guss Un exemple concret Formules de Guss-Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
64 Formules de Guss Formules de Guss-Legendre Polynômes de Legendre Les polynômes de Legendre notés P m (m entier positif) peuvent se définir de différentes mnières : P m (x) = 1 2 m d m P m (x) = 1 2 m m! dx m [(x 2 1) m ] m ( ) m! 2 (x 1) k (x + 1) m k k!(m k)! k=0 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
65 Formules de Guss Formules de Guss-Legendre Polynômes de Legendre Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
66 Formules de Guss Formules de Guss-Legendre Formule de Guss-Legendre On veut pprocher I (f ) = 1 Pr l formule de qudrture suivnte 1 f (x) dx I n (f ) = n w i f (x i ) i=0 L formule de Guss-Legendre indique de prendre pour x i l ième rcine (clssée dns l ordre croissnt) du polynôme de Legendre P n+1 (P n+1 (x i ) = 0) et pour w i w i = 2 (1 x 2 i )(P n+1 (x i)) 2 Cette formule est de degré de précision 2n + 1. Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
67 Formules de Guss Formules de Guss-Legendre Formule de Guss-Legendre dns le cs générl On veut mintennt pprocher I (f ) = f (t) dt Pour pouvoir utiliser les formules précédentes, il fut tout d bord effectuer le chngement de vrible suivnt I (f ) = f (t) dt = b 2 1 et on peut utiliser l formule de Guss-Legendre, on f (t) dt b 2 1 n w i f i=0 vec les x i et w i étblis précédemment. f ( b 2 x + + b ) dx 2 ( b 2 x i + + b ) 2 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/ / 67
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