1. Notion de «série statistique» 2. VRAI ou FAUX. Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P.

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1 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 1 1. Notio de «série statistique» Il s agit d ue série de doées recueillies auprès des différetes uités statistiques d u échatillo ou d ue populatio cocerat chacue des variables mesurées. 2. VRAI ou FAUX. a) VRAI. La courbe ormale est symétrique par rapport à la moyee. b) FAUX. Le modèle de la loi ormale peut s appliquer à des variables quatitatives discrètes, mais à coditio que celles-ci puisset predre u très grad ombre de valeurs. c) VRAI. Les valeurs ayat ue cote z égative sot toutes, par défiitio, iférieures à la moyee. Or, das u modèle ormal, la médiae est égale à la moyee ; il s esuit doc que les valeurs ayat ue cote z égative sot toutes iférieures à la médiae. d) FAUX. Il est possible de recotrer ue cote z égale à 4, mais cela das des cas extrêmemet rares.

2 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 2 3. Portio de l aire sous la courbe pour certaies cotes z. a) D après la table de la loi ormale, o trouve 43,32 % des cotes z etre 0 et 1,5 (puisque la valeur 0,4332 se trouve à l itersectio de la lige 1,5 et de la coloe +0,00) : 43,32% 0 1,5 Z b) La proportio des cotes z situées etre 2,12 et 1,5 est doée par : [proportio des cotes etre 2,12 et 0] [proportio des cotes etre 1,5 et 0]. La courbe ormale état symétrique, la proportio des cotes etre 2,12 et 0 est la même qu etre 0 et 2,12 et correspod à 0,4830 (puisque c est cette valeur qu o trouve à l itersectio de la lige 2,1 et de la coloe +0,02 ; de faço aalogue, la proportio des cotes etre 1,5 et 0 est la même qu etre 0 et 1,5 et correspod à 0,4332. La proportio des cotes z etre 2,12 et 1,5 est doc : c est-à-dire eviro 4,98 %. 0,4830 0,4332 = 0,0498, 4,98% -2,12-1,5 Z c) La proportio des cotes z supérieures à 0,78 est doée par : [proportio des cotes supérieures à 0] [proportio des cotes etre 0 et 0,78]. D après la table de loi ormale, la proportio des cotes etre 0 et 0,78 correspod à 0,2823 (valeur à l itersectio de la lige 0,7 et de la coloe +0,08). Puisque la proportio des cotes supérieures à 0 est 0,5, la proportio des cotes z supérieures à 0,78 est doc égale à : 0,5000 0,2823 = 0,2177,

3 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 3 c est-à-dire 21,77 %. 21,77% 0,78 Z d) La proportio des cotes z iférieures à 0,26 est doée par : [proportio des cotes etre et 0] + [proportio des cotes etre 0 et 0,26], D après la table de loi ormale, la proportio des cotes etre 0 et 0,26 correspod à 0,1026 (valeur à l itersectio de la lige 0,2 et de la coloe +0,06). Puisque la proportio des cotes iférieures à 0 est 0,5, la proportio des cotes z iférieures à 0,26 est doc égale à : c est-à-dire 60,26 %. 0, ,1026 = 0,6026, 60,26% 0,26 Z

4 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 4 4. Cotes z selo la portio de l aire sous la courbe. a) La proportio de cotes z etre z et 0 est doée par 74,86 % mois la proportio comprise etre 0 et +, à savoir 50 % ; o a doc 74,86 % 50 % = 24,86 %. Or, d après la table de la loi ormale, c est etre 0 et 0,67 que l o trouve 24,86 % des cotes z (puisque 0,2486 se trouve à l itersectio de la lige 0,6 et de la coloe +0,07) et la même proportio se trouve, par symétrie, etre 0,67 et 0. Comme la cote z recherchée se trouve à gauche de la moyee, c est la valeur z = 0,67 que l o retiet ici. b) E vertu de la table de distributio ormale, c est etre 0 et 1,5 que l o trouve 43,32 % des cas (puisque c est la valeur 0,4332 que l o retrouve à l itersectio de la lige 1,5 et de la coloe +0,00). c) Pour détermier etre 2 et quelle cote z o trouve 10,02 % des cotes z, établissos d abord quelle proportio se trouve etre 2 et 0. Cette proportio, qui est la même par symétrie qu etre 0 et 2, est, d après la table de distributio ormale, 0,4772. La proportio de cotes z comprises etre la cote z recherchée et 0 est doc 0,4772 0,1002, c est-à-dire 0,377. Or, c est à l itersectio de la lige 1,10 et de la coloe +0,06 que se trouve cette valeur ; la cote z recherchée est doc 1,16, puisqu elle se trouve à gauche de la moyee. d) Puisque la portio d aire sous la courbe se trouve au cetre de la distributio, o e trouve 47,5 % à gauche et 47,5 % à droite. Or, das la table de distributio ormale, 0,475 se trouve à l itersectio de la lige 1,90 et de la coloe +0,06, idiquat que c est etre 0 et 1,96 qu o trouve 47,5 % des cotes z. Puisque, par symétrie, la même proportio se trouve etre 1,96 et 0, les cotes z recherchées, à savoir z 1 et z 2, etre lesquelles o trouve les 95 % des cotes z qui sot situées au cetre de la distributio sot 1,96 et 1,96.

5 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 5 5. Âge auquel les bébés parcouret 10 m seuls. a) État doé que z(x), la cote z d ue valeur x quelcoque, est doée par : z(10,5) = z(x) = x " µ # où, das le cas préset, µ = 12 et σ = 0,7, la cote z d u efat qui a marché seul à 10,5 mois est : 10,5" 12 0,7 2,14. Iterprétatio : l âge de l efat se situe à eviro 2,14 écarts types sous la moyee. b) La proportio des efats qui commecet à marcher après 10,5 mois (dot la cote z est 2,14) est égale à la proportio des efats qui commecet à marcher etre 10,5 et la moyee 12 mois (dot la cote z est 0), plus la proportio des efats qui commecet à marcher plus tard que la moyee. De faço plus cocise, o peut dire que : P(z > 2,14) = P( 2,14 < z < 0) + P(z > 0) où P sigifie «Proportio d après la table de distributio ormale». O a alors : P(z > 2,14) = 48,38 % + 50 % = 98,38 %. O peut doc cosidérer qu eviro 98,38 % des efats commecet à marcher après 10,5 mois. c) La proportio des efats qui commecet à marcher avat 10,5 mois correspod simplemet à 100 % mois la proportio (calculée e b) des efats qui commecet à marcher après 10,5 mois, c est-à-dire : 100 % 98,38 % = 1,62 %. d) E substituat 1,5 à z(x) de même que les valeurs µ = 12 aisi que σ = 0,7 das la formule de la cote z, o a : ce qui, e isolat x, doe : 1,5 = x "12 0,7, x = ,7 1,5 = 12 1,05 = 13,05. O peut doc cosidérer que les efats dot l âge correspod à ue cote z de 1,5 commecet e gééral à marcher à 13 mois eviro.

6 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 6 6. Trajets pour se redre au travail. a) Puisqu o a ici u échatillo dot la moyee x est 50 miutes et l écart type s est 8 miutes, la cote z de 45 miutes est doée par : O peut alors dire que : d où : 45" 50 z(45) = 8 = 0,625 0,63. P(z < 0,63) = P(z < 0) P( 0,67 < z < 0), P(z < 0,63) = 50 % 23,57 % = 26,43 %. Le ombre de jours où Gilles s est redu au travail e mois de 45 miutes correspod doc à 26,43 % 100 jours, c est-à-dire à eviro 26 jours. b) Puisqu o a ici u échatillo avec x = 56 miutes et s = 2 miutes, la cote z de 45 miutes est doée par : z(45) = 45" 56 2 = 5,5. Or, d après la table de la distributio ormale, le pourcetage de cotes z se trouvat à plus de 5,5 écarts types de la moyee est ifime, à savoir mois de 0,01 % (c est-à-dire 1 % 100). O peut doc, à toutes fis pratiques, cosidérer que le ombre de jours sur 100 où Gilles a pu se redre au travail e mois de 45 miutes par le trajet B correspod à 0 jour. c) O peut évaluer les risques de Gilles d arriver e retard e calculat la cote z correspodat à 60 miutes par l u et l autre trajet. Par le trajet A, o a : z(60) = 60 " 50 8 = 1,25. Les risques que Gilles pree plus d ue heure pour se redre à so travail par la trajet A, c est-àdire les risques que le temps pris par Gilles soit supérieur à la cote z 1,25 sot doés par : P(z > 1,25) = P(z > 0) P(0 < z < 1,25), d où : P(z > 1,25) = 50 % 39,44 % = 10,56 %. E calculat la cote z de 60 miutes par le trajet B, o a : z(60) = 60 " 56 2 Les risques que Gilles pree plus d ue heure pour se redre à so travail par la trajet B, c est-àdire les risques que le temps pris par Gilles soit supérieur à la cote z 2 sot doés par : = 2.

7 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 7 d où : P(z > 2) = P(z > 0) P(0 < z < 2), P(z > 2) = 50 % 47,72 % = 2,28 %. Puisque Gilles pred plus d ue heure pour parcourir le trajet A das eviro 10,56 % des fois, alors qu il pred plus d ue heure das seulemet 2,28 % des fois par le trajet B, il devrait doc choisir le trajet B (et cela même si le temps moye est plus log), car la probabilité qu il arrive e retard est mois élevée par ce trajet B que par le trajet A.

8 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 8 7. Nombre d heures de sommeil. a) La cote z correspodat à 7 heures de sommeil est, avec µ = 8,1 et σ = 1,1 : z(7) = 7 " 8,1 1,1 = 1. Or, d après la table de distributio ormale, o trouve eviro 34,13 % des cotes z etre 0 et 1, ce qui équivaut à dire ici qu o trouve eviro 34,13 % des Caadies qui dormet etre 7 et 8,1 heures. La proportio de Caadies qui dormet mois de 7 heures par uit est doc égale à 50 % 34,13 % eviro, c est-à-dire 15,87 %. Sur u échatillo de 1000, o devrait doc ormalemet avoir 15,87 % 1000, c est-à-dire 159 Caadies eviro qui dormet mois de 7 heures par uit. b) La cote z correspodat à 9 heures de sommeil est, avec µ = 8,1 et σ = 1,1 : z(9) = 9 " 8,1 1,1 0,82. Or, d après la table de distributio ormale, o trouve eviro 29,39 % des cotes z etre 0 et 0,82, ce qui équivaut à dire ici qu o trouve eviro 29,39 % des Caadies qui dormet etre 8,1 et 9 heures. La proportio de Caadies qui dormet etre 7 et 9 heures par uit est doc 34,13 % + 29,39 %, c est-à-dire eviro 63,52 %. Sur u échatillo de 1000, o devrait doc ormalemet avoir 63,52 % 1000, c est-à-dire 635 Caadies eviro qui dormet etre 7 et 9 heures par uit. c) O doit d abord ici trouver la cote z au-delà de laquelle se situet ormalemet 15 % des cotes z. Cette cote z est la même que celle qui, das la table de distributio ormale, est requise pour qu o ait, etre elle et la moyee, 50 % 15 %, c est-à-dire 35 % des cotes z ; la cote z recherchée correspod à 1,04. E itroduisat cette valeur das la formule de la cote z, o a : ce qui, e isolat x, doe : 1,04 = x " 8,1 1,1, x = 8,1 + 1,1 1,04 9,24. Pour être parmi les 15 % des Caadies qui dormet le plus, u Caadie doit dormir au mois 9,24 heures par uit eviro, c est-à-dire 9 heures 15 miutes eviro. d) O doit d abord ici trouver les cotes z correspodat à chacu des déciles. État doé qu o détermie les quatiles e partat sauf idicatio cotraire # des doées les plus faibles, D 2, le deuxième décile, correspod à la valeur sous laquelle o trouve les 20 % des cotes z les plus faibles. Par ailleurs, puisqu o trouve 50 % des doées à gauche de la moyee, la cote z correspodat à D 2 est la même que celle qui est requise, d après la table de distributio ormale, pour que l o ait 30 % des cotes z etre cette

9 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 9 cote et la moyee ; elle correspod à 0,84. E l itroduisat das la formule de la cote z et e isolat x, o obtiet : x = 8,1 + 1,1 ( 0,84) 7,18. De même, D 3 détermie les 30 % des cotes z les plus faibles et la cote z correspodat à ce quatile est la même que celle qui est requise pour que l o ait 20 % des cotes z etre cette cote et la moyee ; elle correspod à 0,52. E l itroduisat das la formule de la cote z et e isolat x, o obtiet : x = 8,1 + 1,1 ( 0,52) 7,53. Ue Caadiee faisat partie du groupe compris etre le deuxième et le troisième décile dort doc etre 7,18 et 7,53 heures eviro, c est-à-dire etre 7 heures 11 miutes et 7 heures 32 miutes eviro.

10 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Notes du derier test. Sachat qu avec ue moyee de 65 %, la ote de 80 % de Marti correspod à ue cote z de 1,5, o peut trouver l écart type σ e itroduisat les valeurs coues das la formule de la cote z puis e isolat σ, ce qui doe : d où : Puisque : σ = 1,5 = z(60 %) = 80 % " 65 %, # 80 % " 65 % 1,5 60 % " 65 % 10 % = 10 %. = 0,5, les élèves qui ot eu mois de 60 % sot ceux dot la ote correspod à ue cote z de 0,5. À partir de la table de distributio ormale, o peut établir que la proportio de ces élèves correspod à 50 % mois la proportio de ceux dot la cote z se situe etre 0 et 0,5, c est-à-dire 50 % 19,15 %, soit 30,85 %.

11 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Âge de la première voiture. a) L itervalle de cofiace à l itérieur duquel doit se trouver ue moyee pour u iveau de cofiace doé (IC NC ) est doé par : où : Puisqu ici : IC NC = $ x " z NC # s ; x + z NC # s ' & ) % ( x = la moyee de l échatillo ; z NC = la cote z pour le iveau de cofiace désiré ; s = l écart type de l échatillo ; = la taille de l échatillo. NC est égal à 90 % (ou 0,90, c est-à-dire 18 fois sur 20) ; x est égal à 19,4 as ; z NC correspod à z 0,90 et est égal à 1,645 (état doé qu o trouve selo la table de distributio ormale 90 % 2 = 45 % des cas etre 0 et 1,645, aisi que 45 % des cas etre 1,645 et 0) ; s est égal à 1,1 a ; est égal à ; o a doc comme itervalle de cofiace : IC 0,90 = $ 19,4 "1,645 # 1,1 ; 19,4 +1,645 # 1,1 ' & ), % ( IC 0,90 = [19,35 as ; 19,45 as]. b) Iterprétatio : l âge moye auquel l esemble des Québécois de 30 as et plus possédat ue voiture ot eu leur première voiture se situe etre 19,35 as et 19,45 as et ce, avec u risque d erreur de 10% ; ou ecore : il y a 90 % des chaces que l âge moye auquel l esemble des Québécois de 30 as et plus possédat ue voiture ot eu leur première voiture se situe etre 19,35 as et 19,45 as.

12 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Cégépies propriétaires de voiture. a) L itervalle de cofiace à l itérieur duquel doit se trouver ue proportio pour u iveau de cofiace doé (IC NC ) est doé par : où : Puisqu ici : IC NC = $ & p " z NC # %& p(1" p) ; p + z NC # p(1" p) p = la proportio (exprimée par rapport à 1) observée das l échatillo ; z NC = la cote z pour le iveau de cofiace désiré ; = la taille de l échatillo. NC est égal à 95 % (ou 0,95, c est-à-dire 19 fois sur 20) ; p est égal à 625 cégépies ayat répodu par l affirmative sur 800, soit , c est-à-dire eviro 0,7813 ; ' ) () z NC correspod à z 0,95 et est égal à 1,96 (état doé qu o trouve selo la table de distributio ormale 95 % 2 = 47,5 % des cas etre 0 et 1,96, aisi que 47,5 % des cas etre 1,96 et 0), est égal à 800 ; o a doc comme itervalle de cofiace : IC 0,95 $ & 0,7813 "1,96 # %& 0,7813(1" 0,7813) 800 ; 0, ,96 # IC 0,90 [0,7527 ; 0,8099], c est-à-dire, exprimé e pourcetages : IC 0,90 [75,3 % ; 81,0 %]. 0,7813(1" 0,7813) 800 ' ) (), b) Iterprétatio : ous sommes certais à 95 % que la proportio des cégépies du Québec qui possèdet ue voiture se situe eviro etre 75,3 % (0,7527) et 81,0 % (0,8099) ; le risque d erreur, c est-à-dire le risque de se tromper e affirmat que la proportio se situe das cet itervalle, est doc de 5 %.

13 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Réductio de l itervalle de cofiace Lorsqu o fait de l estimatio de paramètres, o peut réduire l itervalle de cofiace e réduisat la marge d erreur, laquelle proviet du produit zc [écart type de la distributio d échatilloage] ; o peut doc procéder de deux faços pour réduire la marge d erreur et, par coséquet, l itervalle de cofiace. 1º O peut accepter u risque d erreur plus élevé, c est-à-dire choisir u iveau de cofiace mois élevé : la cote z qui sera alors reteue sera mois grade, d où ue valeur mois grade comme marge d erreur. 2º O peut sélectioer u plus grad échatillo : la valeur de la taille état plus élevée, cela aura pour effet de dimiuer l écart type de la distributio d échatilloage : tat das le cas d ue proportio, où la formule d écart type utilisée est que das le cas d ue moyee, où la formule d écart type utilisée est la marge d erreur sera doc réduite d autat. s p(1" p) ; ;

14 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Prédictio de poportio de votes Le politicie s atted à obteir 60 % des votes avec ue marge d erreur de 5 % (la moitié de la largeur de l itervalle de cofiace). E exprimat ces valeurs par rapport à l uité et e les itroduisat, de même que la valeur de la taille égale à 400, das la formule de la marge d erreur, laquelle correspod à : ME NC = z NC p(1" p), o obtiet : 0,05 = z NC 0,6(1" 0,6) 400. E isolat z, o a alors : z NC = 0,05 0,6(1" 0,06) 400 2,04. D après la table de distributio ormale, o trouve eviro 47,93 % des cas etre 0 et ue cote z égale à 2,04 ; e multipliat cette valeur par deux, o a alors u iveau de cofiace égale à 2 47,94 %, c est-à-dire 95,86 %. La probabilité que le politicie se trompe est doée par 100 % 95,86 % = 4,14 %, ce qui correspod à ue probabilité de 0,414.

15 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Proportio de Caadies vivat e ville O a ici p = 0,77 (c est-à-dire 77 %) pour ue taille égale à ; u risque d erreur de 5 % correspodat à u iveau de cofiace de 95 %, d où ue valeur z 0,95 égale à 1,96. E itroduisat ces valeurs das la formule de la marge d erreur, o obtiet : ME 0,95 = 1,96 0,77(1" 0,77) 5000 = 0,117, c est-à-dire 11,7 %.

16 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Sodage sur le site Iteret Caoë O a ici p = 0,78 (c est-à-dire 78 %) pour ue taille égale à ; pour u iveau de cofiace de 99 %, la valeur z 0,99 est approximativemet égale à 2,575. E itroduisat ces valeurs das la formule de l itervalle de cofiace, à savoir : IC NC = $ & p " z NC # %& p(1" p) ; p + z NC # p(1" p) ' ) (), o obtiet : IC 0,99 = $ & 0,78 " 2,575 # %& 0,78(1" 0,78) 5842 ; 0,78 + 2,575 # 0,78(1" 0,78) 5842 ' ) () IC 0,99 = [0,766 ; 0,794], c est-à-dire [76,6 % ; 79,4 %]. Il y a 99 % des chaces que la proportio réelle de Québécois utilisat Iteret, qui croiet que les victimes de la route devraiet pouvoir poursuivre e justice les resposables, se situe approximativemet etre 76,6 % et 79,4 %.

17 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Vitesse de coduite sur ue autoroute du Québec. a) Coloes des fréqueces relatives à remplir : Vitesse (km/h) Nombre d automobilistes Proportio d automobilistes (%) [95 ; 100[ 7 2,0 [100 ; 105[ 39 11,3 [105 ; 110[ 61 17,7 [110 ; 115[ ,3 [115 ; 120[ 99 28,7 [120 ; 125[ 25 7,2 [125 ; 130[ 6 1,7 Total ,9 Note : le total des pourcetages égale pas 100 % e raiso des arrodissemets. b) Comme o a ici u échatillo de doées groupées par classes, la moyee est : x ( 7 " 97,5)+ ( 39 "102,5)+...+ ( 6 "127,5) ,6 km/h, et l écart type est : s ( ) " ( 102,5#112,6) " ( 127,5#112,6) 2 7 " 97,5#112,6 345#1 6,22 km/h. Iterprétatio : e moyee, les automobilistes de l échatillo roulaiet à ue vitesse de 112,6 km/h. La vitesse des automobilistes s éloige e moyee de ±6,22 km/h par rapport à 112,6 km/h. c) E itroduisat 2,575, la cote z correspodat à u iveau de cofiace de 99 %, de même que les valeurs x = 112,6 et s = 6,22 calculés e b) das la formule de l itervalle de cofiace : IC NC = [ x z NC s ; x + z NC s ], o obtiet : $ IC 0,99 = 112,6 " 2,575 # 6,22 ; 112,6 + 2,575 # 6,22 ' & ), % (

18 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 18 IC 0,99 = [111,74 km/h ; 113,46 km/h]. d) La marge d erreur est doée par : 2,575 " 6,22, ce qui doe eviro 0,86 km/h. 345 Iterprétatio : o est certai à 99 % que la vitesse moyee de l esemble des automobilistes qui circulet sur l autoroute 20 à l edroit et la période doée se situe eviro etre 111,74 km/h et 113,46 km/h.

19 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Temps de parcours de la distace etre Trois-Rivières et Rivière-du-Loup. a) La variable étudiée est le temps pris pour parcourir la distace etre Trois-Rivières et Rivière-du- Loup. b) Il s agit d ue variable quatitative cotiue, puisque ses variatios peuvet correspodre à u très grad ombre de valeurs, dot l échelle de mesure est de iveau proportioel, état doé que le 0 a ue valeur absolue. c) Comme o a ici u échatillo de doées groupées par classes, la formule de la moyee est : x " f i m i où : x = la moyee de l échatillo ; " f i m i = la somme de chacu des produits f 1 m 1, f 2 m 2, de chaque milieu de classe par la fréquece correspodate ; = la taille de l échatillo. La moyee est alors : x 3"162,5+15"167, "187, miutes. Pour l écart type, la formule est : s = # ( ) 2 f i m i " x - 1 où : s = l écart type de l échatillo ; f i = chacue des fréqueces associées à ue classe ; m i = chacu des milieux de classe ; x = la moyee de l échatillo ; = la taille de l échatillo. L écart type est alors : s 3" (162,5-175) 2 +15" (167,5-175) 2 +L+ 3" (187,5#175) 84 #1 5,94 miutes. d) Pour u iveau de cofiace de 99 %, d où z 0,99 = 2,575 d après la table de distributio ormale, o a, état doé que x 175 miutes et s 5,94 miutes, ue marge d erreur doée par :

20 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 20 ME 0,99 2,575 " 5, ,67 miute. D après les doées proveat de l échatillo, il y a 99 % des chaces que le temps pris pour parcourir la distace etre Trois-Rivières et Rivière-du-Loup se situe eviro etre, d ue part, 175 miutes 1,67 miute, soit 173,33 miutes et, d autre part, 175 miutes + 1,67 miute, soit 176,67 miutes. O peut doc peser que le policier a raiso de douter des résultats de la CAA, puisqu il y a peu de chaces que les ges preet e moyee 180 miutes pour parcourir la distace, c est-à-dire qu ils roulet plus letemet que ce qui ressort des vitesses eregistrées. e) D après les doées rapportées par l histogramme, la proportio d automobilistes qui fot le trajet e mois de 170 miutes est doée par : p = = 18 21,4 %. 84 E itroduisat cette valeur, de même que celle de la taille de l échatillo et celle de la cote z correspodat à u iveau de cofiace de 95 % (c est-à-dire 1,96), das la formule de l itervalle de cofiace, à savoir : IC NC = $ & p " z NC # %& p(1" p) ; p + z NC # p(1" p) ' ) (), o obtiet : IC 0,95 $ & 0,214 "1,96 # %& 0,214(1" 0,214) 84 ; 0,214 "1,96 # 0,214(1" 0,214) 84 ' ) () IC 0,95 [0,1263 ; 0,3017], c est-à-dire [12,63 % ; 30,17 %]. Comme le pourcetage de 20 % avacé par la CAA est compris à l itérieur de l itervalle de cofiace, o e peut coclure que ce pourcetage est trop bas.

21 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page Temps d attete das ue pizzeria. a) La variable étudiée, le temps d attete, est ue variable cotiue car le ombre de valeurs possibles est très élevé. b) Le temps qu u cliet peut estimer devoir attedre correspod au temps moye qu o peut estimer, à partir des doées recueillies, apparteir à l itervalle de cofiace doé par : IC NC = $ x " z NC # s ; x + z NC # s ' & ). % ( L itervalle de cofiace requiert de coaître la moyee et l écart type, mais ce calcul doit se faire e teat compte du fait que le tableau doit être régularisé, la derière classe ayat ue amplitude de 6 ; pour ce faire, o trasforme la derière classe e 3 classes d amplitude 2 «[14 ; 16[», «[16 ; 18[» et «[18 ; 20[» ayat chacue ue fréquece de 3. O obtiet alors, comme moyee : et, comme écart type : s x 3" 5+ 7 " " ,93 miutes, 3" (5-10,93) " (7-10,93) 2 +L+ 3" (19 #10,93) 60 #1 L itervalle de cofiace correspod fialemet à : IC 0,95 $ 10,93 "1,96 # 3,31 ; 10,93 +1,96 # 3,31 ' & ), % ( IC 0,95 [10,09 ; 11,77]. 3,31 miutes. Il y a doc 95 % de chaces qu u cliet attede etre 10,1 et 11,8 miutes eviro avat de recevoir sa pizza le jeudi à l heure du souper. c) Das le calcul de l itervalle de cofiace effectué e b), la marge d erreur ME NC correspod à : ME 0,95 = 1,96 3,31 E remplaçat 60 par, la ouvelle valeur que l o cherche, et e substituat 0,84 par 0,84 2, c est-à-dire eviro 0,42, o obtiet : 3,31 ME 0,95 = 1,96 0,42 miute. E isolat, o obtiet fialemet : 60 0,84 miute. 1,96 2 " 3,312 0, persoes.

22 Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P ) Page 22 d) D après le tableau des temps d attete, la proportio de cliets qui attedet mois de 10 miutes est doée par : p = = 23 38,3 %. 60 E itroduisat cette valeur, de même que celle de la taille de l échatillo et celle de la cote z correspodat à u iveau de cofiace de 95 % (c est-à-dire 1,96), das la formule de l itervalle de cofiace, à savoir : IC NC = $ & p " z NC # %& p(1" p) ; p + z NC # p(1" p) ' ) (), o obtiet : IC 0,95 $ & 0,383"1,96 # %& 0,383(1" 0,383) 60 ; 0,383+1,96 # 0,383(1" 0,383) 60 ' ) () IC 0,95 [0,260 ; 0,505], c est-à-dire [26,0 % ; 50,5 %]. Etre 26 % et 50,5 % des cliets peuvet espérer avoir mois de 10 miutes d attete ; ce résultat est fiable à 95 %. e) Das le calcul de l itervalle de cofiace effectué e d), la marge d erreur ME NC correspod à : ME 0,95 = 1,96 0,383(1" 0,383) 60 0,123, c est-à-dire 12,3 %. E remplaçat 60 par, la ouvelle valeur que l o cherche, et e substituat 0,123 par 0,123 3, c est-à-dire eviro 0,041, o obtiet : 0,383(1" 0,383) ME 0,95 = 1,96 0,041. E isolat, o obtiet fialemet : 1,96 2 " 0,383(1# 0,383) 0, cliets.