Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I

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1 L sujt comport 8 pags numérotés d 2 à 9 Il faut choisir t réalisr sulmnt trois ds quatr xrcics proposés Parti A EXERCICE I Donnr ls réponss à ct xrcic dans l cadr prévu à la pag 3 On considèr la fonction g défini par : I-A-- pour tout rél x, g(x) = x x. g désign la dérivé d g. Donnr, pour tout rél x, g (x). I-A-2- Donnr l nsmbl ds solutions rélls d l inéquation g (x). Justifir la répons. I-A-3- Drssr l tablau ds variations d g. (ls limits d g n + t n n sont pas dmandés). I-A-4- Justifir qu, pour tout rél x, g(x) >. Parti B On considèr la fonction f défini par : pour tout rél x, f(x) = x x x. On not C la courb rprésntativ d f dans l plan rapporté à un rpèr orthonormé (O; ı, j). I-B--a- Détrminr lim x f(x). Justifir la répons. x I-B--b- Qu vaut lim? En déduir lim f(x). Justifir la répons. x + x x + I-B--c- On n déduit qu C admt dux asymptots t 2. Donnr un équation d chacun d lls. I-B-2- f désign la dérivé d f. Justifir qu, pour tout rél x, f (x) = x ( x) ( x x) 2. I-B-3-a- Drssr l tablau ds variations d f. I-B-3-b- f présnt un maximum y M attint n x M. Donnr ls valurs xacts d x M t y M, puis un valur approché d y M à près. Dans la suit, on not M l point d coordonnés (x M,y M ). I-B-4- Soit A l point d la courb C d absciss. I-B-5- Donnr un équation d la tangnt à C n A. Placr ls points A t M. Tracr ls tangnts à la courb C aux points A t M t ls asymptots t 2. Puis tracr C. I-B-6- f admt sur l intrvall [,] un minimum a t un maximum b. Donnr ls valurs xacts d a t b. I-B-7- On considèr l intégral : J = f(x)dx. I-B-7-a- Hachurr, sur la figur d la qustion I-B-5-, l domain dont l air, n unités d air, vaut J. I-B-7-b- En utilisant la qustion I-B-6-, justifir qu : J. 2/9 Gipi Polytch 26

2 NE RIEN INSCRIRE ICI REPONSES A L EXERCICE I I-A-- Pour tout rél x, g (x) = x I-A-2- L nsmbl ds solutions d l inéquation g (x) st : [; + [ En fft : g (x) x ln( x ) ln() x I-A-3- x + g (x) + g(x) I-A-4- Pour tout rél x, g(x) >. En fft : Pour tout rél x, g(x) g() = >. I-B--a- I-B--b- lim f(x) = x lim x + x = donc lim x n fft : lim x x = t x + f(x) = n fft : f(x) = I-B--c- : y = 2 : y = lim x x x = + x x ( x ( x x) = I-B-2- Soit x un rél. Détail du calcul d f (x) : f (x) = x ( x x) x ( x ) ( x x) 2 = x ( x x x + ) ( x x) 2 = x ( x) ( x x) 2. I-B-3-ax + f (x) + f(x) I-B-4- Equation d la tangnt n A : y = x + I-B-5- M + I-B-3-bxM = y M = y M,6 x) A + 2 C I-B-6- a = b = I-B-7-a- I-B-7-b- Utilisr la figur d la qustion I-B-5- J Donc dx j O ı n fft : pour tout x [,], f(x) f(x)dx dx avc dx = t. dx = Gipi Polytch 26 3/9

3 EXERCICE II Donnr ls réponss à ct xrcic dans l cadr prévu à la pag 5 Un chocolatri fabriqu dux sorts d chocolats : ds chocolats noirs t ds chocolats au lait. 6% ds chocolats fabriqués sont noirs. Parmi cux-ci, 7% sont fourrés, tandis qu 3% sulmnt ds chocolats au lait sont fourrés. Parti A Dans ctt parti, pour chaqu probabilité dmandé, on donnra sa valur xact. Un clint fait un dégustation d chocolats t il n choisit un au hasard. On considèr ls événmnts suivants : N : l chocolat choisi st noir F : l chocolat choisi st fourré. II-A-- Donnr la probabilité P qu l chocolat choisi soit noir. II-A-2- Détrminr la probabilité P 2 qu l chocolat choisi soit noir t fourré. Justifir la répons. II-A-3- On not P 3 la probabilité qu l chocolat choisi soit fourré. Justifir qu P 3 =,54. Parti B Un clint achèt un boît d n chocolats, où n st un ntir naturl non nul. Chaqu chocolat mis dans la boît st choisi au hasard t on suppos l nombr d chocolats suffisammnt grand pour qu l on puiss considérr qu ls choix succssifs sont faits d façon idntiqu t indépndant. On not X n la variabl aléatoir rprésntant l nombr d chocolats fourrés contnus dans la boît. II-B-- X n suit un loi binomial dont on précisra ls paramètrs. II-B-2- Dans ctt qustion n = 2 t, pour chaqu probabilité dmandé, on donnra un valur approché à 4 près. II-B-2-a- Donnr la probabilité P 4 qu la moitié ds chocolats d la boît soint fourrés. II-B-2-b- Donnr la probabilité P 5 qu la boît continn au moins un chocolat fourré. II-B-2-c- Donnr la probabilité P 6 qu la boît continn au plus trois chocolats fourrés. II-B-3- Dans ctt qustion, n st qulconqu. II-B-3-a- Donnr, n fonction d n, la probabilité q n qu la boît continn au moins un chocolat fourré. II-B-3-b- Détrminr l nombr minimum n d chocolats qu doit achtr l clint afin qu la probabilité qu la boît continn au moins un chocolat fourré soit strictmnt supériur à, 98. Détaillr ls calculs. Parti C Dans ctt parti, pour chaqu probabilité dmandé, on donnra un valur approché à 4 près. Un étud a montré qu la variabl aléatoir rprésntant l poids, xprimé n gramms, d un chocolat choisi au hasard dans l nsmbl d la production suit un loi normal d spéranc m = 5 t d écart-typ σ = 2. L srvic qualité ffctu un contrôl t choisit au hasard un chocolat dans l nsmbl d la production. II-C-- II-C-2- II-C-3- Donnr la probabilité P 7 qu l chocolat choisi pès plus d 7 gramms. Donnr la probabilité P 8 qu l chocolat choisi pès moins d 3 gramms. Donnr la probabilité P 9 qu l chocolat choisi pès ntr 2 t 8 gramms. 4/9 Gipi Polytch 26

4 NE RIEN INSCRIRE ICI REPONSES A L EXERCICE II II-A-- P =,6 II-A-2- P 2 =,42 n fft : P 2 = P(N F) = P N (F) P(N) =,7,6 =,42 II-A-3- P 3 =,54 n fft : P 3 = P(F) = P(N F) + P(N F) = P 2 + P N (F) P(N) d où P 3 =,42 +,3 (,6) =,42 +,2 =,54 II-B-- X n suit un loi binomial d paramètrs : n t p =,54 II-B-2-a- P 4,27 II-B-2-b- P 5,9999 II-B-2-c- P 6,45 II-B-3-a- q n =,46 n II-B-3-b- n = 6 n fft : q n >,98,46 n >,98,46 n <,2 n ln(,46) < ln(,2) n > ln(,2) (car ln(, 46) < ) ln(,46) ln(,2) D plus, ln(,46) 5,37 II-C-- P 7,587 II-C-2- P 8,587 II-C-3- P 9,8664 Gipi Polytch 26 5/9

5 EXERCICE III Donnr ls réponss à ct xrcic dans l cadr prévu à la pag 7 L plan complx st muni d un rpèr orthonormé dirct (O; u, v). Soint A, B t C ls points d affixs rspctivs z A =, z B = + i t z C = i. Soit x un rél appartnant à ],[. On nomm : M l point du sgmnt [AB] d affix z M = + xi; N l point du sgmnt [BC] d affix z N = x + i. Posons Z = z N z M. Parti A III-A-- Sur la figur, l point M a été placé pour un crtain valur du rél x. Tracr l carré OABC t l triangl OMN. III-A-2- Exprimr, n fonction d x, ls moduls z M t z N. III-A-3- L triangl OM N st isocèl. Donnr son sommt principal. Justifir la répons. III-A-4-a- Montrr qu la droit (OB) st prpndiculair à la droit (M N). III-A-4-b- En déduir qu la droit (OB) st la bissctric d l angl MON. III-A-5- Justifir qu Z =. III-A-6- Montrr qu la form algébriqu d Z st : Z = 2x + x + i x2 2 + x 2. III-A-7- Im(Z) désign la parti imaginair d Z. Montrr qu Im(Z) >. Parti B Dans ctt parti x = 2 3. III-B-- Donnr la valur xact d + x 2. III-B-2-a- R(Z) désign la parti réll d Z. Montrr qu R(Z) = 2. III-B-2-b- On nomm θ un argumnt d Z. En déduir, n utilisant crtains résultats d la Parti A, la valur xact d θ. On admt qu ( OM, ON) = θ (2π). III-B-3-a- En utilisant la qustion III-A-4-b-, donnr un msur d l angl ( OM, OB). III-B-3-b- Montrr qu ( u, OM) = π 2 (2π). ( III-B-4-a- Justifir qu + x 2 ) 2. = 6 2 III-B-4-b- En déduir la valur xact d z M. III-B-5- Ecrir la form trigonométriqu d z M. ( ) ( ) π a π III-B-6- On n déduit qu cos = t sin = où a t b sont ds réls. Donnr ls valurs xacts d a t b. b 6 2, 6/9 Gipi Polytch 26

6 NE RIEN INSCRIRE ICI REPONSES A L EXERCICE III III-A-- C N B III-A-2- z M = + x 2 v x M O u A III-A-3- En fft : z N = x 2 + = + x 2 OMN st isocèl n O OM = z M = z N = ON III-A-4-a- (OB) st prpndiculair à (MN), n fft : ls vcturs OB(,) t MN (x, x) sont orthogonaux car OB. MN = (x ) + ( x) =. III-A-4-b- (OB) st la bissctric d MON. En fft : OMN st isocèl n O t (OB) st la hautur issu du sommt O, c st donc aussi la bissctric d l angl MON. III-A-5- Z =, n fft : Z = z N z M = III-A-6- Z = 2x +x 2 + i x2 +x 2, n fft : Z = x + i + xi + x 2 + x 2 = = (x + i)( xi) ( + xi)( xi) = x x2 i + i + x + x 2 = 2x + x 2 + i x2 + x 2. III-A-7- Im(Z) >, n fft : Im(Z) = x2 +x 2, avc + x 2 > t, comm x ],[, x 2 >. III-B-- + x 2 = III-B-2-a- R(Z) = 2x, n fft : R(Z) = 2 + x = = (4 2 3) = 2 III-B-2-b- θ = π III-B-3-a- ( OM, OB) = π (2π) 3 6 III-B-3-b- ( u, OM) = π 2 (2π), n fft : ( u, OM) = ( u, OB)+( OB, OM) = ( u, OB) ( OM, OB) = π 4 π 6 = π 2 III-B-4-a- + x 2 = ( 6 2) 2, n fft : ( 6 2) 2 = = = = + x 2 III-B-4-b- z M = 6 2 III-B-5- z M = ( 6 ( ( ) ( )) π π 2) cos + isin 2 2 III-B-6- a = b = 2 3 Gipi Polytch 26 7/9

7 EXERCICE IV Donnr ls réponss à ct xrcic dans l cadr prévu à la pag 9 Dans l spac muni d un rpèr orthonormé (O; ı, j, k), on considèr : l point A d coordonnés ( 4;2;); la droit D défini par l systèm d équations paramétriqus : x = 7 + k y = 6 + k z = 3 k, avc k R; la droit D 2 passant par l point A t d vctur dirctur u 2 (;;2). IV-- Donnr ls coordonnés d un vctur dirctur u d la droit D. IV-2- IV-3- Ecrir un systèm d équations paramétriqus d la droit D 2. On notra t l paramètr. Dans ctt qustion on va montrr qu ls droits D t D 2 n sont pas coplanairs. IV-3-a- Justifir qu ls droits D t D 2 n sont pas parallèls. IV-3-b- Montrr qu l intrsction ds droits D t D 2 st vid. IV-4- IV-5- On considèr l vctur w d coordonnés ( 2;3;). Montrr qu w st orthogonal à u t à u 2. Soint B t C ls points définis par AB = w t AC = u 2 t n l vctur d coordonnés (6;5; 3). On nomm P l plan contnant ls points A, B t C. IV-5-a- Montrr qu n st un vctur normal au plan P. IV-5-b- P a donc un équation cartésinn d la form : 6x + 5y 3z + d =, où d désign un rél. Montrr qu d = 7. IV-6- On nomm E l point d intrsction du plan P t d la droit D. Détrminr ls coordonnés (x E ;y E ;z E ) du point E. IV-7- Soit la droit passant par E t d vctur dirctur w. IV-7-a- Qul st l point d intrsction ds droits t D? IV-7-b- Justifir qu ls droits t D sont prpndiculairs. IV-7-c- Justifir qu la droit st inclus dans l plan P. IV-7-d- En déduir qu ls droits t D 2 sont prpndiculairs. En conclusion, on a démontré qu la droit st un prpndiculair commun aux droits D t D 2. 8/9 Gipi Polytch 26

8 NE RIEN INSCRIRE ICI IV-- u ( ; ; ) x = 4 + t IV-2- D 2 : y = 2 z = + 2t REPONSES A L EXERCICE IV, avc t R. IV-3-a- D t D 2 n sont pas parallèls, n fft : u t u 2 n sont pas colinéairs car lurs coordonnés n sont pas proportionnlls. IV-3-b- L intrsction d D t D 2 st vid, n fft : Si M(x;y;z) D D 2, x = 7 + k = 4 + t k = 4 x, y t z vérifint y = 6 + k = 2. Alors t = 7. z = 3 k = + 2t t = C qui st absurd. IV-4- w st orthogonal à u t à u 2, n fft : w. u = ( ) = t w. u 2 = = IV-5-a- n st un vctur normal au plan P, n fft : n. AB = = t n. AC = = n st donc orthogonal à AB t AC qui sont dux vcturs non colinéairs d P. IV-5-b- d = 7, n fft : Comm A( 4;2;) P, ss coordonnés vérifint l équation d P, donc : d = 6x A 5y A +3z A = 6 ( 4) = = 7. IV-6- x E =, y E =, z E = 4, n fft : x E = 7 + k x E, y E t z E vérifint y E = 6 + k t 6x E 5y E 3z E + 7 =. z E = 3 k Donc 6(7+k)+5(6+k) 3( 3 k)+7 =, donc 4k+98 =, donc k = 7. D où x E = 7 7 =, y E = 6 7 = t z E = = 4. IV-7-a- L point d intrsction d t D st : E IV-7-b- t D sont prpndiculairs, n fft : t D sont sécants n E. D plus, lurs vcturs dircturs w t u sont orthogonaux. IV-7-c- st inclus dans l plan P, n fft : E st un point commun à t P. D plus, st parallèl à P car l vctur dirctur w d st orthogonal au vctur normal n d P. IV-7-d- t D 2 sont prpndiculairs, n fft : t D 2 sont coplanairs car incluss touts ls dux dans l plan P. D plus, lurs vcturs dircturs w t u 2 sont orthogonaux. Gipi Polytch 26 9/9