EQUATIONS ET INEQUATIONS

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1 EQUATIONS ET INEQUATIONS I Rappels POLY RAPPELS 4 ème II Equation-produit On veut résoudre des équations de la forme : (ax + b) (cx + d) = 0. Propriété 1: Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Remarque : La réciproque est vraie : si A = 0 ou B = 0, alors A B = 0 (vu depuis la 6 ème ). Exemple 1 : On veut résoudre (x ) (4 x + 8) = 0. Donc : x = 0 ou 4 x + 8 = 0 x = ou 4 x = -8 x = ou x = -8 4 = - Conclusion : Les deux solutions de l équation sont et -. Exemple : On veut résoudre (x + 4) (x + 7) = 0. Donc : x + 4 = 0 ou x + 7 = 0 x = -4 ou x = - 7 x = -4 = - Conclusion : Les deux solutions de l équation sont - et - 7. Exemple : On veut résoudre 4x (x² 7) = 0. Donc : 4x = 0 ou x² 7 = 0 x = 0 x² = 7 x = - 7 ou x = 7 Conclusion : Les solutions de l équation sont 0, - 7 et 7. 1

2 III Inéquations 1 ) Définitions Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, désigné le plus souvent par une lettre. Exemple : x 7 < 5 est une inéquation d inconnue x. Résoudre une inéquation d inconnue x, c est trouver toutes les valeurs possibles du nombre x telles que l inégalité soit vraie. Les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l inéquation. Exemple : Les nombres strictement inférieurs à 4 sont les solutions de l inéquation x 7 < 5. ) Résolution d une inéquation La méthode consiste à «isoler x» dans un membre à l aide des règles suivantes : Règle 1 : Ordre et addition L ordre est conservé quand on ajoute (ou quand on retranche) un même nombre aux deux membres d une inégalité. Si a b, alors a + c b + c et a c b c. Exemples : x 7 < 5 x < Donc : x < 1 x + < 1 x + < 1 Donc : x < Règle : Ordre et multiplication par un nombre positif L ordre est conservé quand on multiplie (ou quand on divise) par un même nombre positif non nul les deux membres d une inégalité. Si a b et c > 0, alors ac bc et a c b c. Exemple : 4x > -6 x > -6 4 Donc : x > -

3 Règle : Ordre et multiplication par un nombre négatif L ordre est inversé quand on multiplie (ou quand on divise) par un même nombre négatif non nul les deux membres d une inégalité. Si a b et c < 0, alors ac bc et a c b c. Exemple : -5x 10 x 10-5 Donc : x - Maintenant, mélangeons un peu le tout, et regardons ce qui se passe : x 7 < 5 x < 1 règle 1 (on a ajouter 7 aux deux membres) x < 1 règle (on divise par les deux membres) Donc : x < 4 Conclusion : Les nombres strictement inférieurs à 4 sont solutions de l inéquation x 7 < 5. x 9 - x 6 règle 1 (on retranche aux deux membres) x -6 Donc : x - règle (on divise par - les deux membres, donc on n oublie pas de changer le SENS de l inégalité) Conclusion : Les nombres supérieurs à - sont solutions de l inéquation x 9. 9 x + 8 > 5 x + 9 x 5 x > 8 règle 1 4 x > -6 x > -6 4 règle Donc : x > - Conclusion : Les nombres strictement supérieurs à - sont solutions de l inéquation 9 x + 8 > 5 x +.

4 ) Représentation graphique des solutions d une inéquation Exemple 1 : L inéquation x 7 < 5 a pour solutions les nombres : x < On repasse en couleur la partie de la droite graduée qui vérifie les solutions On indique par un crochet si le nombre 4 fait partie des solutions ou non Exemple : L inéquation x 9 a pour solutions les nombres : x Exemple : L inéquation 9x + 8 > 5x + a pour solutions les nombres : x > ) Mise en inéquation et résolution d un problème 4 étapes : (1) Choix de l inconnue () Mise en inéquation du problème () Résolution de l inéquation (4) Interprétation du résultat. Exemple : Un rectangle a un côté qui mesure 7 cm. Quelle doit être la longueur de l autre côté pour que le périmètre soit inférieur ou égal à cm? (1) Soit x la longueur de l autre côté. Attention, x représente une longueur, il doit donc être un nombre strictement positif. () Le périmètre du rectangle s exprime par : (x + 7). D où l inéquation : (x + 7). 4

5 () (x + 7) x + 14 x 14 x 18 x 9 (4) La longueur de l autre côté doit donc être inférieure ou égale à 9 cm. On doit répondre par un encadrement des solutions : 0 < x 9. Représentation graphique des résultats : 0 9 5