Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 TES

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1 Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 Modalités : Durée de l épreuve : 3 heures ; Calculatrice autorisée ; Répondre sur votre copies) et non sur le présent sujet, sauf l annexe à remettre ; L utilisation de documents manuscrits ou tapuscrits hors le sujet présent) est interdite ; Détailler les étapes des raisonnements et les calculs. Exercice 1 Commun à tous les candidats 4 points Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève point. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à A et B sont deux évènements indépendants et on sait que pa) = 0, 5 et pb) = 0, 2. La probabilité de l évènement A B est égale à : Réponse A : 0,1 Réponse B : 0,7 Réponse C : 0,6 Réponse D : on ne peut pas savoir Réponse C : A et B sont deux évènements indépendants donc pa B) = pa) pb) = 0, 5 0, 2 = 0, 1, d où pa B) = pa) + pb) pa B) = 0, 5 + 0, 2 0, 1 = 0, 7 0, 1 = 0, Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50 % des cahiers ont une reliure spirale et que 75 % des cahiers sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, 40 % ont une reliure spirale. Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu il soit à grands carreaux est égale à : Réponse A : 0,3 Réponse B : 0,5 Réponse C : 0,6 Réponse D : 0,75 Réponse C : On note S l événement «Choisir un cahier à spiral» et G «Choisir un cahier à grands carreaux». L énoncé nous donne ps) = 50% = 0, 5 ; pg) = 75% = et p G S) = 40% = 0, 4. ps G) On cherche p S G) =. ps) Or ps G) = pg) p G S) = 0, 4 = 0, 3. Donc p S G) = 0, 3 = 0, 6. 0, 5 Roussot 1/

2 Dans les questions 3. et 4., on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25 % de ces stylos-feutres sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylosfeutres. On note V l événement «Albert prélève un stylo-feutre vert» et V «Albert prélève un stylofeutre qui n est pas vert», l événement contraire de V. On a pv ) = 25% = et p V ) = 1 pv ) = 1 =. L expérience est un schéma de Bernouilli qui suit la loi binomiale B3; ). On obtient l arbre suivant : exactement 3 stylos-feutres verts V 2 exactement 2 stylos-feutres verts V 1 V 2 exactement 2 stylos-feutres verts exactement 1 stylo-feutre vert V 2 exactement 2 stylos-feutres verts exactement 1 stylo-feutre vert V 1 exactement 1 stylo-feutre vert V 2 aucun stylo-feutre vert 3. La probabilité, arrondie à 10 3 près, qu il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à : Réponse A : 0,250 Réponse B : 0,422 Réponse C : 0,578 Réponse D : 0,984 Réponse C : En notant A l événement «Albert prend au moins un stylo-feutre vert», son événement contraire A est «Albert ne prend pas de stylo-feutre vert». À partir de l arbre une seule branche convient), on a p A ) = = ) 3 d où pa) = 1 p A ) = 1 3 = 0, , La probabilité, arrondie à 10 3 près, qu il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à : Réponse A : 0,047 Réponse B : 0,063 Réponse C : 0,141 Réponse D : 0,500 Réponse C : En notant B l événement «Albert prend exactement 2 stylo-feutre vert». À partir de l arbre trois branches conviennent), on a pb) = + + = 3 = 0, , 141. Roussot 2/

3 Exercice 2 : Commun à tous les candidats 5 points On considère la fonction g définie sur R par gx) = x + ke ax où k et a sont des nombres fixés. Sur la figure donnée en annexe, la courbe C représentant la fonction g et la droite D d équation y = x sont tracées dans un repère orthogonal unités : 2 cm pour l axe des abscisses, 1 cm pour l axe des ordonnées). Le point E a pour coordonnées 0 ; 6) et le point F a pour coordonnées 3 ; 0). On précise que la droite EF) est tangente à la courbe C au point E et la courbe C admet au point B une tangente horizontale. On note g la fonction dérivée de la fonction g. 1. a. Par lecture graphique, déterminer la valeur de g0). g0) = 6 car E0; 6) C g. b. Par lecture graphique, déterminer la valeur de g 0). g 0) = 2 car g 0) est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 0, c est à dire la coefficient directeur de la droite EF ), d où g 0) = y F y E = 0 6 x F x E 3 0 = 6 3 = 2. c. Exprimer g x) en fonction de a et k. g x) = 1 + k ae ax en utilisant entre autre la formule pour u une fonction : e u ) = u e u. d. En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de k et a. On justifiera les calculs. Sachant que gx) = x + ke ax et g x) = 1 + k ae ax, on a : g0) = ke 0 = 6 k = 6 k = 6 g 0)= k ae 0 = a= 2 6a= 3 Donc pour tout x R, gx) = x + 6e 0,5x. Dans la suite de l exercice, on prendra gx) = x + 6e 0,5x. 2. Démontrer que la droite D est asymptote à la courbe C en +. Pour cela on va montrer que lim gx) x) = 0. x + gx) x = x + 6e 0,5x x = 6e 0,5x Or 0, 5x = d où lim lim x + x + e 0,5x = Donc lim gx) x) = lim x + x + 6e 0,5x = 0. Ainsi D est asymptote à la courbe C en +. lim x ex = 0 k= 6 a= 0, 5 3. On admet que la courbe C est située au dessus de la droite D. Soit S le domaine délimité par la courbe C, la droite D, l axe des ordonnées et la droite d équation x = 4. a. Hachurer S sur le graphique. Cf l annexe en dernière page. b. Calculer, en cm 2, l aire A du domaine S. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0, 1 cm 2 près. Sachant que l on a admis que la courbe C est située au dessus de la droite D, on a, en 4 4 unité d aire ua), l aire est : gx) x)dx = 6e 0,5x dx = 6 4 0, 5e 0,5x dx = 0 0 0, [ e 0,5x] 4 0 = 12 e 2 e 0) = 12 12e 2 10, 4 ua Or 1 ua = 2 1 = 2 cm 2 donc A = e 2 ) = 24 24e 2 20, 8 cm Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer la valeur exacte de l abscisse du point B. La courbe C admet au point B une tangente horizontale, ainsi la dérivée de g s annule en x B l abscisse du point B). Résolvons dans R l équation g x) = 0 : g x) = , 5) e 0,5x = 0 1 3e 0,5x = 0 1 = 3e 0,5x = = 1 e 0,5x ln = ln e 0,5x) ln3) = 0, 5x ln3) = x 2 ln3) = x 3 0, 5 Il y a une unique solution à cette équation, il s agit donc nécessairement de l abscisse de B : x B = 2 ln3) = ln 3 2) = ln9) ) Roussot 3/

4 Exercice 3 Commun à tous les candidats 6 points Partie A On considère la fonction f, définie sur l intervalle ]0 ; 20] par fx) = 3e 2 x ) ln x a. Déterminer la limite de f en 0. lim x 0 3e2 x = 3e 2 > 0 et lim lnx) = et lim 10 = 10 x 0 x 0 donc lim fx) = lim 3e 2 x ) ln x + 10 ) = x 0 x 0 b. Calculer la valeur exacte de f e 2), puis une valeur approchée à 0, 01 près. f e 2) = 3e 2 e 2) ln e 2) + 10 = 2e = 4e , Montrer que, pour tout x de ]0 ; 20], f x) = ln x + 3e2 x 1 où f désigne la dérivée de la fonction f. La fonction f est de la forme uv + 10 avec : Donc pour pour tout réel x on a : ux)=3e 2 x vx)=ln x et f x)= 1) ln x + 3e 2 x ) 1 x f x)= ln x + 3e2 x 1 u x)= 1 v x)= 1 x 3. On admet que la fonction dérivée f est strictement décroissante sur ]0 ; 20] et que son tableau de variations est le suivant : x 0 e 2 20 f x) 0 f 20) a. À l aide du tableau de variations, donner le signe de f x) pour x appartenant à l intervalle ]0 ; 20]. Comme la fonction dérivée f est strictement décroissante sur ]0 ; 20] et s annule en e 2, elle est strictement positive sur ] 0 ; e 2[ et strictement négative sur ] e 2 ; 20 ]. Rédaction détaillée : On lit que f e 2) = 0. On lit aussi que f est strictement décroissante sur ]0 ; e 2 ], ainsi pour x tel que 0 < x < e 2, fx) > f e 2) ie fx) > 0. Donc f est strictement positive sur ] 0 ; e 2[. On lit enfin que f est strictement décroissante sur [e 2 ; 20], ainsi pour x tel que e 2 < x 20, f e 2) > fx) ie 0 > fx). Donc f est strictement négative sur ] e 2 ; 20 ]. b. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle ]0 ; 20] et dresser son tableau de variations sur cet intervalle. En utilisant le signe de f trouvé à la question précédente, on trouve le tableau suivant : x 0 e 2 20 f x) + 0 f f e 2) f20) Roussot 4/

5 4. a. Montrer que, sur l intervalle [0,6 ; 0,7], l équation fx) = 0 possède une unique solution notée α. À la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0, 001 près par excès. Sachant que 0, 7 < e 2, f est strictement croissante et continue sur [0, 6; 0, 7]. Or f0, 6) 1, 02 et f0, 7) 2, 34, donc 0 [f0, 6) ; f0, 7)]. Ainsi d après le théorème des valeurs intermédiaires ou plus précisément sa conséquence, le théorème de bijection), l équation fx) = 0 admet une unique solution, notée α, sur ]0, 6; 0, 7[. En utilisant le tableau de la calculatrice on trouve que fx) change de signe entre 0, 628 et 0, 629 donc α 0, 629 à 0, 001 près par excès. b. Démontrer que fx) est négatif pour tout x ]0 ; α[ et que fx) est positif pour tout x ]α ; 20]. α ]0; e 2 [ donc f est strictement croissante sur ]0; α], de plus fα) = 0, d où pour 0 < x < α, fx) < fα) ie fx) < 0 : fx) est négatif pour tout x ]0; α[. f est strictement croissante sur ]α; e 2 ] d où pour α < x < e 2, fα) < fx) ie 0 < fx), de plus f est strictement décroissante sur [e 2 ; 20], de plus f20) 16, 49 = f20) > 0, d où pour e 2 x 20, fx) f20) > 0. Ainsi fx) est positif pour tout x ]α; 20]. Partie B Une entreprise produit et vend chaque semaine x milliers de DVD, x appartenant à ]0 ; 20]. Le bénéfice réalisé est égal à fx) milliers d euros où f est la fonction étudiée dans la partie A. En utilisant les résultats de la partie A : 1. déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ; D après la question 4. b. de la Partie A, la fonction f est positive sur ]α; 20], or α 0, 629, donc il faut donc produire au moins 629 DVD pour que le bénéfice soit positif. 2. déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10 euros près, de ce bénéfice maximal. D après la partie A, f admet un maximum lorsque x = e 2 7, 389 et ce maximum vaut f e 2) 39, 56. L entreprise doit produire 7389 DVD pour réaliser un bénéfice maximal de e Exercice 4 : Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points 1. L évolution du chiffre d affaires du groupe de distribution Enville pour la période est donnée dans le tableau 1 ci-dessous : Tableau 1 : Année Progression du chiffre d affaires par rapport à l année précédente 4,7 % 10,6 % 4,1 % 5,8 % 7,5 % Par exemple, le chiffre d affaires du groupe a augmenté de 10,6 % entre le 31 décembre 2004 et le 31 décembre a. Montrer qu une valeur approchée à 0, 1 près du pourcentage annuel moyen d augmentation, est 6, 5. Le coefficient d évolution entre 2004 et 2008 est 1 + 4, 7 ) , 6 ) 1 + 4, 1 ) , 8 ) 1 + 7, 1 ) = 1, 047 1, 106 1, 041 1, 058 1, 071 1, 371. Ainsi le taux moyen, noté t m, entre 2004 et 2008 sur 5 ans donc) est alors : 1 + t m ) 5 1, t m 5 1, t m 1, 065 ) noté aussi 1, t m 0, 065 Le taux moyen d augmentation est de 0,065 c est à dire 6, 5%. Roussot 5/

6 b. En 2008, ce groupe a réalisé un chiffre d affaires de 59,5 milliards d euros. La direction prévoit une croissance annuelle de 6,5 % pour les années suivantes. Donner une estimation à 0, 1 milliard d euros près du chiffre d affaires du groupe pour l année Entre 2008 et 2010, le chiffre d affaires va être multiplié par 1 + 6, 5 ) Donc C a = 59, 5 1, , 5 On peut estimer à 67,5 milliards d euros le chiffre d affaires du groupe pour l année L évolution, sur 8 ans, du chiffre d affaires du groupe Aupré, concurrent du groupe Enville, est donnée par le tableau 2 ci-dessous : Tableau 2 : Année Rang de l année x i Chiffre d affaires exprimé en milliards 64,8 68,7 72,7 77,1 82,1 d euros y i Pour cette question tous les résultats seront arrondis au dixième près. a. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la série x i ; y i ) en prenant comme origine le point de coordonnées 0 ; 60) unités graphiques : 1 cm sur l axe des abscisses et 0,5 cm sur l axe des ordonnées) Chiffre d affaires en milliard) Indice de l année Roussot 6/

7 b. En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, l équation de la droite d ajustement affine de y en x. Tracer cette droite sur le graphique. À l aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, l équation de la droite d ajustement affine est y = 2, 35x + 61, 81. Cf le graphique précédent pour le tracé de la droite. c. À l aide de l ajustement précédent, déterminer graphiquement une estimation du chiffre d affaires du groupe Aupré pour l année On laissera apparents les traits de construction. Cf les traits en pointillé rouge pour la lecture graphique : graphiquement on peut lire que le chiffre d affaires du groupe Aupré pour l année 2010 sera 85, 3 milliards d euros. 3. Dans cette question, on suppose qu à partir de 2008 le chiffre d affaires du groupe Enville progresse chaque année de 6,5 % et celui du groupe Aupré de 3 %. a. Résoudre l inéquation 59, 5 1, 065 n > 82, 1 1, 03 n. On résout dans N : 59, 5 1, 065 n > 82, 1 1, 03 n 1, 065 n 1, 03 n > 82, 1 59, 5 1, 065 n > 82, 1 car 59, 5 > 0 et 1, 03 n > 0 1, 03 59, 5 1, , 1 n ln > ln car la fonction ln est strictment croissante sur ]0; + [ 1, 03 59, 5 ln 82,1 59,5 1, 065 1, 065 n > car ln 0, 03 = ln > 0 ln 1,065 1, 03 1, 03 1,03 ln 82,1 59,5 Or ) 9, 63. On a donc 59, 5 1, 065 n > 82, 1 1, 03 n lorsque n 10 ln 1,065 1,03 b. Déterminer à partir de quelle année le chiffre d affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré. On en déduit que le chiffre d affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré au bout de 10 années c est à dire à partir de Roussot 7/

8 Nom : Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 Annexe à remettre avec la copie Exercice 2 commun à tous les candidats) y E B C D F 1 O x Roussot 8/