Terminale ES Rappels sur les suites I Qu est-ce qu une suite? Définition : liste ordonnée de nombres réels,

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1 I Qu est-ce qu une suite? Définition : Rappels sur les suites Une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie. On note ( ) la suite u 0, u 1, u 2,..,, +1, Le nombre est appelé terme d indice n de la suite ( ). Définitions explicite et récurrente : On définit une suite par deux procédés usuels : Par une expression de type = f(n) où f désigne une fonction. Par récurrence : on se donne le premier terme u 0 et une relation permettant de définir chaque terme à partir du précédent. Représentation graphique La représentation graphique dans un repère des termes d une suite ( ) est l ensemble des points isolés de coordonnées (0; u 0 ), (1; u 1 ), (n; ),.. s La suite définie de manière explicite par = n² exprime les carrés des nombres entiers naturels. u 0 = 0² = 0; u 1 = 1² = 1; u 2 = 2² = 4;..u 10 = 10² = 100 On peut définir une suite (v n ) par récurrence avec v 0 = 3 et v n+1 = 0,5 v n - 1. v 0 = 3; v 1 = 0,5 v 0-1 = 0,5 3-1 = 0,5; v 2 = 0,5 0,5-1 = - 0,75;. II Sens de variation d une suite La suite ( ) est dite strictement croissante si pour tout entier naturel n, +1 >. La suite ( ) est dite strictement décroissante si pour tout entier naturel n, +1 <. On définit de même : une suite croissante en utilisant une inégalité au sens large : +1. une suite décroissante en utilisant une inégalité au sens large : +1. III Suites arithmétiques Une suite ( ) est arithmétique lorsqu il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n : +1 = + r. Le réel r est appelé raison de la suite ( ). Si ( ) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n :, = u 0 + nr. Si ( ) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p :, = u p + (n- p)r. Soit ( ) la suite définie par récurrence par u 0 = 1 et +1 = + 2. ( ) est une arithmétique de raison r = 2. On a u 0 = 1; u 1 = = 3; u 2 = = 5;. L expression explicite de la suite ( ) est : = u 0 + n r = 1 + 2n ( ) représente la liste des entiers naturels impairs. 1

2 I Reconnaître une suite géométrique Définition : Dire qu'une suite ( ) est géométrique signifie qu'il existe un réel q tel que, pour tout naturel n : +1 = q x. Le réel q est appelé raison de la suite ( ). ( ) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u 0 = 2. On a alors : u 1 = 3 x u 0 = 3 x 2 = 6; u 2 = 3 x u 1 = 3 x 6 = 18; u 3 = 3 x u 2 = 3 x 18 = 54 Calcul de connaissant u 0 et q. : ( ) est une suite géométrique de raison q. Alors, pour tout entier naturel n : 1. = q n x u Si pour tout entier naturel n, = b x a n, alors ( ) est une suite géométrique de raison a. ( ) est la suite géométrique de raison 1 3 de premier terme u 0 = 2. Alors, u 5 = = = 243 Calcul de connaissant u P et q. : ( ) est une suite de raison q 0. Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p : = u p x q n p. ( ) est la suite géométrique de raison 5 2 et de premier terme u 20 = 3. Alors, u 40 = u 20 x q = 3 x Sens de variation de la suite (q n ) La suite de terme général = q n est : strictement croissante si q > 1; strictement décroissante si 0 < q < 1; ni croissante, ni décroissante si q < 0 constante si q = 0 ou q = 1 Variation relative ( ) est une suite géométrique non nulle de raison q strictement positive. Alors +1- est constant. 2

3 Définition Le rapport +1- est appelé variation relative. Evolution exponentielle On considère les suites géométriques ( ) et (v n ) définies par : u 0 = 1 et de raison 3; v 0 = 4 et de raison 1 2. On représente graphiquement les quatre premiers termes de chaque suite en reliant les points obtenus. u 3 v 0 v n = u 2 u 1 u 0 = 3 n v 1 v 2 v 3 On dit que ces suites ont une évolution exponentielle. II Somme des termes d une suite géométrique Calcul de 1 + q + q² +. + q n (avec q 1) Si q 1, alors 1 + q + q² +. + q n = 1 qn+1 1 -q Soit S = ² On a alors S = = = = Somme des termes consécutifs d une suite géométrique ( ) est une suite géométrique de raison q avec q 1. On pose S n = u 0 + u On a alors : S n = u 0 1 qn q 3

4 Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique (un) de premier terme u 0 = 5 et de raison q = -2. Correction On a S 0 = u 0 + u 1 + u u 9 (somme des 10 premiers termes de la suite) D où : S 9 = u 0 1 q q = 5 1 (-2)10 1 (-2) = = = III Limite de la suite (q n ) avec q > 0 1 Ecrivons la liste des termes de la suite définie par = 1 n pour n > 0 1 ; 1 2 ; 1 3 ;. ; 1 10² ;. ; Il est clair que les termes s accumulent autour de 0 pour les valeurs de n suffisamment grandes. On dit que la suite ( ) converge vers 0 ou bien qu elle admet 0 pour limite. On écrit lim ( ) = 0. 2 Ecrivons la liste des termes de la suite définie par v n = n² v 0 = 0; v 1 = 1; v 2 = 4; v 3 = 9;..; v 10 = 10² = 100;. ; v 100 = 100² = ;. Il est clair que les termes finissent par être aussi grands que l on veut. On dit la suite (vn) tend vers + ou encore qu elle admet + comme limite. On écrit lim (vn) = +. De la même manière, on définit la notion de limite en -. Par exemple, lim (- n²) = -. s On considère la suite géométrique ( ) définie par un = 3 2 n. On a u 0 = 3 et q = 2; car q > 1 et u 0 > 0 donc lim ( ) = +. On considère la suite géométrique ( ) définie par = -2 3 n. On a u 0 = -2 et q = 3; q > 1 et u 0 < 0 donc lim ( ) = -. On considère la suite géométrique (un) définie par un = On a u 0 = -3 et q = ; 0 < q < 1 donc lim ( ) = 0. n. 4

5 IV Suites arithmético-géométriques Définition Une suite ( ) est arithmético-géométrique si sa définition par récurrence est la suivante : +1 = a + b où a et b désignent deux réels. ( ) est la suite définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n : +1 = Calculer u 1, u 2, u 3 et u On pose v n = 3. a) Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 2. b) Exprimer v n en fonction de n. 3. Exprimer en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite ( ). Correction 1. u 1 = = -1; u 2 = 2 (-1) 3 = -5; u 3 = 2 (-5) 3 = -13; u 4 = 2 (-13) 3 = a) v n+1 = +1 3 = = 2 6 = 2( 3) = 2v n Donc (v n ) est une suite géométrique de raison 2. b) v n = v 0 2 n = (u 0 3) 2 n = -2 2 n = - 2 n+1 3. = v n + 3 = 3 2 n+1 4. lim (2 n+1 ) = + car 2 > 1; et par suite lim (- 2 n+1 ) = + Donc lim ( ) = - 5