LES SUITES. 1 Suites. 1.1 Suites numériques Approche.

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1 UMN04 : Sites COURS Ji 000 LES SUITES. Sites.. Sites mériqes... Approche. O observe das e etreprise, qe les bééfices e millios de fracs réalisés a bot de x aées de foctioemet pevet être modéliser par la foctio f défiie x sr ; + par : fbg x x +. Por obteir les bééfices réalisés a ier javier de chaqe aée, os povos cosidérer les images par cette foctio de tos les etiers atrels. Le premier réel a pas de ses a ivea de l iterprétatio e terme de bééfice. 3 fbg 0, fbg 0, fbg, fbg 3, fbg 4,!, fbg,! O ote cette «site de réels» de la faço sivate : 0 3, 0,, 3 4 f 3,,!, 5 bg +,! O pet commecer la site à partir de l etier 0 o de l etier. Le premier élémet est alors : o 0 Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

2 UMN04 : Sites COURS Ji Défiitios Ue site est esemble d'élémets mérotés par des idices etiers. Elle pet être fiie o ifiie selo le ombre d'élémets q'elle cotiet. Das ce qi sit, os e cosidéreros qe des sites ifiies. bg Ue site mériqe, est esemble de ombres réels oté N bg, o pls simplemet bg. o ecore O dit q e site b g est défiie sr e partie A de N si et selemet si existe por tot élémet de A. La site de terme gééral est défiie sr N *. est appelé le ième terme de la site, o ecore terme gééral de la site. O distigera la site..3 Forme explicite b g avec des parethèses et so terme gééral. Ue site mériqe pet être doée sos forme explicite. Das ce cas, le terme gééral de la site est exprimé explicitemet e foctio de l'etier atrel. Aisi, la site b g de terme gééral + 3, la site b g de terme gééral + et de faço géérale tote site dot le terme gééral pet s'écrire f ( ), sot des sites doées sos forme explicite. Lorsqe le terme gééral d e site bg pet s'écrire por coaître la site bg. f ( ), il sffit d étdier f Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

3 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Soit la site bg défiie sr N dot le terme gééral est N, +. O x étdie la foctio f défiie sr R par fbxg. Les termes de la site sot les x + images par f des etiers atrels...4 Forme récrrete Ue site mériqe pet être doée sos forme récrrete. Das ce cas, la valer d' (o de plsiers) terme de la site, e gééral le premier, est doée explicitemet alors qe le ième terme de la site est exprimé e foctio d' (o de plsiers) termes précédets. Les termes de la site se calclet alors de proche e proche e partat de la valer explicite d o des premiers termes de la site et e tilisat la formle de récrrece. La site bg défiie sr N * doée par et + +. O a alors : + 3, + 3+, etc 3 La site bg défiie sr N * doée par et O a alors : + 3, + 6+, etc 3 4 3,. Vos porrez programmer votre calclette afi de li faire calcler le ième terme d e site défiie par récrrece. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 3

4 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Lorsqe la site relatio f b g est doée de faço récrrete par so premier terme et e + bg. Le tracé de la corbe représetative de f permet de cojectrer les propriétés de la site. Preos l exemple : et + O trace la corbe représetative de f das repère orthogoal. O trace égalemet la droite d éqatio rédite : y x. O costrit la site e se servat de la première bissectrice. Les termes de la site semblet s accmler e croissat vers le réel. 3 Faites le dessi e preat comme terme de départ, vos costaterez qe cette fois-ci la site semblet s éloiger idéfiimet, «tedre vers l ifii». O pet égalemet défiir des sites par la doée de lers dex premiers termes et et d e relatio de récrrece d ordre dex : 0 b g ϕ, por Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 4

5 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Les ombres de Fiboacci ( 75-40, Pise, ce mathématicie répad les méthodes arabes de calcl e occidet). Chaqe ombre est la somme des dex précédets. F0 0, F et F+ F+ + F por 0 Vos porrez vos amser à doer les 30 premiers ombres de Fiboacci, la doée d derier terme demadé vos permettra de tester votre programme. ( )...5 Sites borées, mootoes b g est dite majorée si et selemet s il existe réel costat M tel Ue site qe, por tot etier atrel o ait M. Ue site bg est dite miorée si et selemet s il existe réel costat m tel qe, por tot etier atrel o ait m. Ue site miorée. b g est dite borée si et selemet si elle est à la fois majorée et Atremet dit, e site est borée si et selemet s il existe réel costat M et réel costat m tels qe, por tot etier atrel o ait m M. O pet égalemet tiliser : e site est borée si et selemet s il existe réel strictemet positif M tel qe, por tot etier atrel o ait M. La site b g défiie por tot etier atrel o l par : maifestemet majorée par et miorée par 0. est Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 5

6 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Ue site bg est dite croissate si et selemet si por tot etier atrel o a +. Elle est strictemet croissate si et selemet si por tot etier atrel o a < +. Si N, alors la site est décroissate à partir d rag 0. Si N, alors la site est croissate à partir d rag 0. La site est strictemet mootoe si les iégalités sot strictes. Ue site bg est dite décroissate si et selemet si por tot etier atrel o a +. Elle est strictemet décroissate si et selemet si por tot etier atrel o a > + Lorsqe q e site est croissate o lorsqe q e site est décroissate, o dit qe c est e site mootoe. est e site strictemet décroissate, lorsqe «croît» «décroît». + est e site strictemet croissate, lorsqe «croît» «croît» O s atorisera ces abs de lagage lorsqe le résltat est assi atrel. O devrait écrire por la première : N *, + < et por la dexième : N + < + + *, b g Lorsqe qe le terme gééral de la site est de la forme fbg, la croissace de f etraîe la croissace de la site b g. la décroissace de f etraîe la décroissace de la site b g. Lorsqe la site est défiie de faço récrrete, il sffit d étdier le sige de +. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 6

7 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Etdios la site bg défiie par + et 0. Vos porrez tracer la corbe de la foctio f défiie sr R + par f x bg Nos remarqos qe > 0 La site. Site covergete + d x et cojectrer. i est d sige de et de proche e proche qe b g est doc strictemet croissate.. Limite d'e site Soit e site mériqe bg. O dit qe la site bg coverge vers réel fii l si et selemet si la distace etre et l ted vers 0 lorsqe ted vers l'ifii. Atremet dit : lim l ε>, N telqe N, l < ε + l est la limite de la site Lorsq'e site admet e limite fiie o dit q'elle est covergete. Atremet, la site est dite divergete, soit elle admet pas de limite, soit la limite est ifiie. b g admet pas de limite. Elle diverge. La site de terme gééral La site de terme gééral admet e limite ifiie. Elle diverge. O écrira : lim + A>, N tel qe N, > A + Vos porrez écrire la divergece e Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 7

8 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Cocrètemet : das tot itervalle de loger o lle l α; l+ α, o trove tos les termes de la site saf évetellemet ombre fii. Cela sigifie égalemet q à partir d certai rag, tos les termes de la site sot das l itervalle. Lorsqe la site est covergete sa limite est iqe. Cette propriété est mise e évidece tot simplemet grâce à la remarqe précédete. E effet, spposos qe la site admettet dex limites l et m, avec l < m. m l O pose α. 4 O cosidère alors les dex itervalles disjoits l α; l+ α et m α; m+ α. l + m m l 4 l m l + 4 l m m l 4 m m + l 4 Il fadrait por assez grad qe soit à la fois das l et l atre des dex itervalles, ce qi est impossible. Doc la limite, si elle existe, est iqe. Cosidéros dex sites mériqes covergetes bg et bg. v O pose : lim l et lim v l' + + O pet alors éocer les propriétés sivates : lim l si et selemet si lim b lg Tote site covergete est borée. si α et β sot dex réels qelcoqes, la site α + βv la site v si l lim b g α + βv αl+ βl' + b g coverge et o pet écrire : 0, la site F I lim + b v g l.' l coverge et o a : lim vkj F b g coverge et o a : v I KJ l l' Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 8

9 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Démotros par exemple la dexième propriété. O sppose qe la site coverge vers l. Il existe rag N à partir dqel tos les termes sot das l itervalle l ; l+, c est à dire, l. Doc, l+ l l + l + l. m O pose M max,,!,, l + r, por tot etier atrel o a 0 N M, cela prove qe la site est borée. Démotros la propriété d prodit. Les dex sites sot covergetes et lim l et lim v l'. + O a : + b g b g b g v ll lv+ v l l l v+ v l l La site bg v coverge, doc est borée. M > 0 tel qe N, v M Cas : O sppose l 0, o a v v M. lim 0 ε> 0, N N, N, N + Soit ε > 0, N, N, N ε v M M ε Cela prove qe la site v * b g coverge vers ll 0. ε M Cas : O sppose l 0, * ε lim v l' ε> 0, N N tel qe N, N v l l + * ε lim l ε> 0, N N, tel qe N, N l M + Fialemet : O pose N max N, N b l q ε N N v ll + M M ε, l l ε, ce qi prove qe la site v g coverge vers ll Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 9

10 UMN04 : Sites COURS Ji 000 O retrove les formes idétermiées des limites de foctios. Par exemple, F I Lorsqe l' est lle et l lle, la site pet o o coverger vkj Lorsqe l' est lle et l o lle, la site F I diverge. vkj Lorsqe la site est explicite et qe so terme gééral est de la forme : f bg, alors si la foctio admet e limite e +, o a lim + lim fbg, x cette limite pet être fiie, + o. x + La réciproqe est fasse : par exemple, la foctio f défiie sr R par : fbg x si bxg admet pas de limite e +. Portat, la site b g de terme gééral si π b g 0 est la site costate lle qi coverge. b g et bv g de terme gééral respectif : Cosidéros les sites et v F I La site est défiie par so terme gééral : vkj v Les sites b g et v vers. Cosidéros les sites bg et v La site F I b g sot covergetes vers 0 et la site F bg de terme gééral respectif : et v est défiie par so terme gééral : vkj v Les sites b g et v covergete. Elle diverge vers +. b g F sot covergetes vers 0 et la site v I est covergete vkj I KJ est pas Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 0

11 UMN04 : Sites COURS Ji Critère de covergece Tote site croissate et majorée, est covergete. De même, tote site décroissate et miorée, est covergete. De faço pls géérale, tote site mootoe (croissate o décroissate) et borée, est covergete. Ces critères servirot essetiellemet por étdier les sites récrretes. ( MATH04E0A) Calcler les limites des sites dot les termes géérax sot les sivats : 5 3, v w , 5 + a..3 Méthode pratiqe por les sites récrretes k + + k 3 Soit bg, e site défiie par la relatio de récrrece foctio cotie. Si bg coverge vers l, alors l fbg. l fbg où f est e + (No dispoible) Repreos l exemple de la site bg défiie par + et 0. Nos avos v q elle était croissate. E traçat la corbe de la foctio f défiie sr ; + os povos cojectrer qe la site est majorée par. Démotros-le par récrrece. O pose l hypothèse de récrrece P : N,. P 0 est vraie. Spposos qe P k est vraie por tot k U V W + + ce qi prove P + vraie. Doc la site bg est majorée par. Elle est croissate et majorée, doc elle coverge. La foctio f état cotie sr ; +, la limite l vérifie : l + l l o l. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

12 UMN04 : Sites COURS Ji Il est clair qe la site ayat tos ses termes positifs, lim Vos porrez programmer votre calclette, qi doera les résltats sivats, arrodis a dix millièmes le pls proche, corroborat otre étde.,44 ;,8478 ;,966 ;,9904 ;,9976 ;,9994 ;,9998 ;. ( MATH04E0A) O cosidère la site + + et Vos porrez repredre la méthode précédete : b g défiie por tot etier atrel par : ) Tracer la corbe représetative de la foctio f défiie sr 0;+ par x + fbg x x ) Cojectrer sr la mootoie et la covergece de la site 3) Motrer qe la site est miorée et strictemet décroissate 4) Doer la valer de la limite. b g Sites particlières. Approche Problème : U propriétaire d appartemet propose dex formles de cotrat de locatio. Le loyer ael iitial est das les dex cas de F. Das le cotrat, le propriétaire impose e agmetatio ael d loyer de 5%. Das le cotrat, le propriétaire impose e agmetatio fixe et forfaitaire aelle de 750F. Nos allos e foctio de la drée prévisible d occpatio de l appartemet aider a choix d cotrat. Essayos de modéliser le problème. Soit le motat d loyer la ième aée das le cas d cotrat. Soit v le motat d loyer la ième aée das le cas d cotrat. Nos avos par hypothèse : 0 v F Et os povos défiir par récrrece les termes sivats , 00 v v Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

13 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Nos effectos les calcls por abotir ax résltats sivats arrodis a frac le pls proche: Aée i v i v i Nos costatos qe le loyer est mois cher avec le cotrat jsq à l aée 7, et qe la retabilité d cotrat e se fait setir q a bot de l aée. Le locataire choisira le cotrat s il reste a pls 0 as et le cotrat sio. Nos allos défiir de faço rigorese les dex sites qi sot itervees das cet exemple.. Site arithmétiqe.. Défiitios O cosidère e site mériqe b g défiie de faço récrrete par : 0 doé + + r où r est réel doé. Por défiir terme, o ajote a terme précédet le même réel r. La site bg aisi défiie est e site arithmétiqe de raiso r. Par récrrece, o pet motrer q'elle pet se mettre sos la forme : 0 doé 0 + r E effet, la relatio de défiitio de la site permet d'écrire : 0+ r + r 0+ r 3 + r 0+ 3r etc... Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 3

14 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Nos laissos a lecter le soi de faire correctemet cette démostratio dot l écritre est immédiate. L esemble des etiers atrels est e site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso. L esemble des ombres pairs est e site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso. L esemble des ombres impairs est e site arithmétiqe de premier terme et de raiso. b g de l exemple précédet est e site arithmétiqe de premier terme et de raiso 750. La site v.. Propriétés Por démotrer q e site est arithmétiqe, il sffit de motrer qe la différece etre dex termes coséctifs qelcoqes est costate. Por caractériser e site arithmétiqe, il sffit de doer terme qelcoqe et la raiso. E effet, cosidéros e site arithmétiqe coaissat sa raiso r et le terme de rag k qelcoqe. 0 + r k 0 + kr Si o sostrait membre à membre, o obtiet : b g b g k r + k r k k O retiedra cette formle géérale qi pet s employer avec et k qelcoqes. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 4

15 UMN04 : Sites COURS Ji 000 b g e site arithmétiqe de raiso. O doe 7 3 Soit. O appliqe la formle précédete : b g b g b g e site arithmétiqe. O doe 7 3 Soit raiso. O appliqe la formle précédete : b g r r r..3 Somme de termes coséctifs., calclos, et 74. Calclos la Soit O vet évaler la somme S l + l+ +! + l+ m.de b m +g termes coséctifs b g e site arithmétiqe de raiso r et de premier terme 0. E reveat à l expressio de chaqe terme e foctio de so idice, o obtiet : S b0 + lrg + c0 + bl+ grh+! + c0 + bl+ mgrh ! rl+ rl+ + rl+ r+ r+ + mr " $$ # $$ % " $ #! $$ %! b g b g m+ fois m+ fois b gb g b g b gb g b g m rl r m m rl r mm ! F m rl r m F 0 + rl+ mr b + g bm g bm gf 0 + rl bm + lgr b m + I K J + l + m+ l g I K J + O coclt qe la somme de termes coséctifs d e site arithmétiqe est égale à la demi-somme d premier et d derier mltipliée par le ombre de termes. I KJ (MATH04E03A) O cosidère la site arithmétiqe croissate bg, dot les 4 premiers termes sot des ombres etiers ayat por somme 8 et por prodit 5. Calcler le 5 ième terme de la site. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 5

16 UMN04 : Sites COURS Ji Site géométriqe.3. Défiitios O cosidère e site mériqe bg défiie de faço récrrete par : 0 doé + q. où q est réel doé o l. Chaqe terme est calclé e mltipliat le terme précédet par le même réel q. La site b g aisi défiie est e site géométriqe de raiso q. Si q, il s agit d e site costate. Par récrrece, o pet motrer q'elle pet se mettre sos la forme : doé q 0 E effet, la relatio de défiitio de la site permet d'écrire : q 0 0 q q q q etc... Aisi, la relatio qe os cherchos à établir est vérifiée e particlier por. Spposos q'elle soit vérifiée por et motros q'elle est alors vérifiée por + (pricipe de la démostratio par récrrece). Aisi, o a par hypothèse : et par défiitio : O e dédit doc immédiatemet : q q qi tradit bie qe la relatio est égalemet vérifiée por +. D'après le pricipe de la démostratio par récrrece, o e dédit qe cette relatio est vérifiée por tot 0. q + 0 La site b g de l exemple itrodctif est e site géométriqe de raiso,05 et 0 de premier terme O retrove , Si o plie e dex e feille de papier A4 d épaisser 0,mm, pis qe l o plie de ovea e dex et qe l o recommece cette opératio 50 fois, qelle épaisser obtiet-o? Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 6

17 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Le résltat est paradoxal et dépasse l etedemet. E effet, os avos affaire à e site géométriqe de raiso et de premier terme 0,. 0, mm, mm, m , km 6 millios de km Résltat q ititivemet vos ariez sas dote pas devié..3. Propriétés. Por démoter q e site est géométriqe, il sffit de vérifier qe le rapport de dex termes coséctifs qelcoqes est costat. Cette costate est la raiso de la site géométriqe. Por défiir e site géométriqe, il sffit de coaître terme qelcoqe et la raiso. E effet, m U V m 0q m m q q W 0 Il sffira de reteir la formle géérale liat dex termes qelcoqes d e site géométriqe de raiso q. m q m O cosidère e site géométriqe de raiso et o doe Calclos 5. O appliqe directemet la formle ci-desss : q O cosidère e site géométriqe de raiso q et o doe 5 43 et Cherchos q. O appliqe directemet la formle ci-desss : 7 5q q q 9 q 3 o q 3 Attetio das cet exemple, il y a dex sites géométriqes qi vérifiet les hypothèses..3.3 Somme de termes coséctifs d e site géométriqe. b g de raiso q. O vet évaler la somme O cosidère e site géométriqe S l + l+ +! + l+ m. O reviet à l expressio de chaqe terme de la site e foctio de so idice. l l+ l+ m l m S q + q +! + q q + q+ q +! + q e j l m+ q q Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 7

18 UMN04 : Sites COURS Ji 000 O pet dire qe la somme de termes coséctifs d e site géométriqe est doée ombre de termes q par la formle : S bpr emier termeg q Das l exemple itrodctif, bg v est e site géométriqe de raiso,05 et de premier terme La somme des aées de loyer jsq à la ième aée est doc : S v + v + + v ,! , Cyrs II, chef des perses et roi d Aza, a VI ième siècle volt remercier Seta l iveter d je d échec, qi li procrait immese plaisir. Il promit de doer à l iveter tot ce q il désirait. Celi-ci répodit q il e volait qe qelqes grais de riz, sr la première case, sr la dexième, 4 sr la troisième et aisi de site jsq à 64 ième case. Le roi part srpris de cette demade apparemmet ridicle. Soit bg la site géométriqe de premier terme et de raiso. Nos povos 63 dire qe le ombre de graie de riz sr la derière case est 63 La somme des grais de riz est alors : S ! 8, 0 E approximat à 0 6 de faço exagérée le ombre de grais de riz das kilo, os obteos :, kg, toes. Soit 8 milliards de toes. La prodctio modiale actelle d e aée est d eviro 50 millios de toes. Evidemmet le roi e pt hoorer sa parole. (MATH04E04A) O cosidère la site arithmétiqe croissate bg, telle qe les termes,, 3 formet das l ordre e site géométriqe et qe Détermier l expressio d terme gééral k, aisi qe la somme des 00 premiers termes de la bg. site Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 8

19 UMN04 : Sites COURS Ji Site récrrete liéaire d ordre.4. Gééralités Soiet a et b dex costates réelles o lles Appelos S l esemble des sites bg telles qe por tot etier o ait : a + b. Si o doe les dex premiers termes 0 et de la site maière iqe. Cette site est e site récrrete liéaire d ordre. b g, o défiit celle-ci de Cherchos les sites selles de ce type. La site lle coviet Cherchos les sites costates de l esemble S. bg telle qe N, C S C ac + bc a + b bg Si a Si a + b tote site costate appartiet à S. + b sele la site costate lle appartiet à S. Cherchos les sites géométriqes de l esemble S. O sppose 0 0 et q 0, sio la site est lle. bg telle qe N, 0q S a + b 0q a0q + b0q bg Or 0 0 et q 0 doc bg bg telle qe N q S q aq b 0, 0 q aq b 0 s appelle éqatio caractéristiqe. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 9

20 UMN04 : Sites COURS Ji 000 Si a + 4b> 0 alors l éqatio admet dex racies réelles positives q et q O admettra qe tote soltio est e site bg de terme gééral : λ q + µ q λ et µ costates arbitraires. Si 0 alors il y a e soltio doble q 0. O admettra qe tote soltio est e site bg de terme gééral bλ + µ gq 0 Si. <0 alors b est écessairemet égatif et tote soltio est e site F a F a I de terme gééral λ d bi cos µ d bi si b b K J I K J + bg λ et µ sot des réels détermiés de faço iqe par la doée des valers iitiales 0 et Il est pas sohaitable de reteir ces formles par cœr, mais il est itéressat de savoir les tiliser. La démostratio de ce théorème écessite des otils mathématiqes qe os e mettros e place qe pls tard..4. U exemple Recherche de sites vérifiat : N, Soit S l esemble de ces sites. Nos allos pas employer directemet le théorème et refaire e partie le travail d approche. Cherchos des sites costates vérifiat la relatio. N, K K K+ K K 0 La sele site costate vérifiat la relatio récrrete est la site lle. Cherchos les sites arithmétiqes : N, 0 + r 0 + b + gr 0 + b + gr + b0 + r g 0 r 0 U V r W r La sele site arithmétiqe qi vérifie la relatio est la site lle. Cherchos les sites géométriqes : + + N, q q 0 q 0 + q 0 O retrove la site lle avec 0 0 et si 0 0 alors : q q 0 q+ q 0 b gb g Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 0

21 UMN04 : Sites COURS Ji 000 b g Por tot réel 0 0, les sites de termes gééral 0 et v 0 sot élémets de S. Nos savos d après le théorème qe l esemble des sites vérifiat la relatio sot les sites (MATH04E05A) bg de terme gééral : λ b g + µ Motrer qe les ombres de Fiboacci sot doés par la formle F 5 FF I F KJ I KJ I KJ. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

22 UMN04 : SUITES COMPéocés Ji 000 (MATH04E06) b g défiie sr N * par : et O cosidère la site + +. Etdier la covergece de cette site et, le cas échéat, calcler sa limite. O cosidère les sites + v + et v+ v avec et v strictemet positifs. (MATH04E07) b g et bv g défiie sr N * par : ) Motrer qe, por tot >, o a v. ) Vérifier qe les dex sites sot mootoes. 3) Motrer qe les dex sites ot e limite comme. (MATH04E08) Soit b g N e site arithmétiqe de raiso r. 57 Calcler et r coaissat 3, 6 et S +! +. Soit bv g e site géométriqe de raiso q. Calcler et v coaissat v 7, q et S v +! +v (MATH04E09) Détermier la atre et évetellemet la limite des sites sivates: a) si b) 3 5 F H G I K J c) F I K J l F I 5 K J F + e d) si π 5 I K J Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

23 UMN04 : SUITES COMPéocés Ji 000 (MATH04E0) b g défiie par 0 et la récrrece Soit la site N N ) Détermier 0 por qe la site N ) O choisit por la site 0 Détermier b por qe la site v N soit e site géométriqe. Jstifier la covergece de v N Trover lim +. b g soit statioaire (costate ). b g défiie par v + b N b g et doer sa limite. (MATH04E) Soit la site récrrete défiie sr N par :, + 3 ) Démotrer qe por tot etier atrel : 0 ) Démotrer qe la site défiie sr N par v est arithmétiqe. + 3) E dédire la limite de la site v N R S T 0 0 b g, pis celle de b g N. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

24 UMN04 : SUITES SUPéocés Ji 000 (MATH04S0) O cosidère les sites ( ) et ( ) v défiies par v 4 avec.. Vérifier qe, por tot, Motrer qe les dex sites sot mootoes. 3. Etdier la covergece des dex sites et détermier, le cas échéat, lers limites. v 4. Motrer qe, v+ < Détermier e valer seil N de, telle qe, por -6 N, 4 < 0. (MATH04S0) O cosidère les sites ( ) et ( ) v défiies par v 7 + avec. Etdier la covergece de la site ( ) et détermier sa limite évetelle.. Démotrer qe ( v ) est e site géométriqe. 3. E dédire l expressio de e foctio de et coclre. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

25 UMN04 : SUITES ENONCES Ji 000 (MATH04E0B) Etdier la covergece et, le cas échéat, détermier les limites des sites sivates : ! b g et v b k 3k + k k g Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

26 UMN04 : SUITES ENONCES Ji 000 (MATH04E0C) Etdier la covergece et, le cas échéat, détermier les limites des sites sivates : π π a π cos, v et w avec a si cos 0 < < k k F I K J Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

27 UMN04 : SUITES ENONCES Ji 000 (MATH04E0B) O doe la site b g défiie par sa formle de récrrece et so premier terme: R S 4 N + T *, + + Motrer q il existe dex valers de por lesqelles la site est costate. O sppose qe la site est pas costate et qe > Démoter par récrrece qe la site est miorée par. O pose v 3 + géométriqe. Trover la limite de v por N *. Motrer qe la site v b g qad ted vers l ifii. b g. Exprimer e foctio de v, e dédire la limite de la site b g est e site Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

28 UMN04 : SUITES ENONCES Ji 000 (MATH04E0C) O doe la site R S T N *, 9 b g défiie par sa formle de récrrece et so premier terme: E tilisat la foctio f défiie par f x b g. bg le comportemet de la site Démoter qe la site bg est majorée par. x 8 vos essaierez de cojectrer sr x 9 Démotrer qe la site est croissate et q elle est covergete. Détermier sa limite. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

29 UMN04 : SUITES ENONCES Ji 000 (MATH04E04B) O cosidère la site réels. b g, défiie par + a + b Motrer q il existe e site géométriqe v la raiso de la site v où a et b sot des paramètres b g telle qe v c b g aisi qe la valer de la costate c. Calcler le terme gééral v e foctio de E dédire l expressio de., a et b b g. Calcler la somme S des premiers termes de la site + et détermier Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

30 UMN04 : SUITES ENONCES Ji 000 (MATH04E05B) Détermier la site R S T et 5 0 b g défiie par : Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

31 UMN04 : SUITES ENONCES Ji 000 (MATH04E05C) Détermier la site R S T + + et 0 b g défiie par : Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

32 UMN04 : SUITES COMPsoltios Ji 000 (MATH04E06) La site admet qe des termes positifs. Motros q elle est majorée par par récrrece. O pose l hypothèse de récrrece : P : < La propositio est vraie à l ordre. Spposos la propriété vérifiée jsq a rag. R S < + T < La propriété est doc vraie a rag +, elle est doc vraie por tot > 0. Evalos d + + id i Le déomiater état strictemet positif, + est d sige de, et de proche e proche, d sige de 3 > 0. La site est doc strictemet croissate et majorée doc covergete. La foctio x R S T l > 0 l l+! x+ est cotie, la limite l vérifie doc : R S T l > 0 l l l + Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

33 UMN04 : SUITES COMPsoltios Ji 000 (MATH04E07) ) O effecte la différece : v d + v v doc por tot >, o a v i 0 v v + v ) O calcle les différeces des termes sccessifs. + v v + 0 d v vid v + vi v+ v v v v + v vb vg v+ v 0 v + v La site v v v + v b g est doc décroissate et la site bv g est croissate. + v 3) O exprime la différece + v+ v+. R + v + v+ v+ + v v S + v+ v T v+ < v Aisi de proche e proche, o obtiet : v v v + v+ " O trove qe cette différece ted vers 0, les dex sites ot bie e limite comme. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

34 UMN04 : SUITES COMPsoltios Ji 000 (MATH04E08) S b g S r b g r 9 8 b) S v - q v vq v vq q v vq q q q q b g. v S q qv F v v H G I 5 K J q Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

35 UMN04 : SUITES COMPsoltios Ji 000 a) si F H G I K J (MATH04E09) lim + 0 b g est covergete et lim + 0 b) 3 5 H3 5 + KH3 5K lim lim lim + + F I lim F H IF lim + + La site b g diverge. c) e F I K J K I site défiie si 5 > 0 > 5 F I K J l 5 F I lim + lim l lim + K J KJ + b g diverge. F d) si π + F I + K J F H G I si π si K J I K J b g F F I K JI F lim lim lim + + H G I 0 si K J Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

36 UMN04 : SUITES COMPsoltios Ji 000 R S (MATH04E0) T N b g est statioaire + 0 ) La relatio de récrrece s'écrit alors: N Doc ) 0 b g est géométriqe v q R tel qe v+ qv N or : v+ + + b b bv bg b v b b 0 v + v + b+ 800 Il sffit de predre b tel qe et das ce cas, la raiso de bv g est. 0 b soit b 980 v b g est e site géométriqe de raiso est 0. <, doc elle coverge et sa limite v b v lim lim v Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

37 UMN04 : SUITES COMPsoltios Ji 000 (MATH04E) R S T ) Démotros la doble iégalité par récrrece sr 0 0 doc la doble iégalité est vraie por 0 spposos la doble iégalité vraie jsq à l ordre 0 a-t-o + 0? x Soit f la foctio défiie sr 0, par: f ( x) x + 3 x+ 3 x+ 4 f ( x) > 0 f est croissate x+ 3 x+ 3 ( ) ( ) 0 U VW fbg - f bg f 0 f est croissate bg or f b g f bg 0 fb g doc +, ce qi prove, ) v v + bv g est e site arithmétiqe de raiso. 3) La raiso de v v + b g est strictemet positive U v V lim v + W ( ) ( ) ( ) lim v + lim 0 Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

38 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 Calcl de lim (MATH04E0A) + 5. O met e évidece les termes prédomiats : F F 5 O a clairemet : lim v + Calcl de lim + F H G 3 I K J 5 F + H G I K J 5 I F KJ F H G 3 I K J I KJ I KJ 5 F F + H G I K J I 5 KJ F F H G 3 I K J I 5 KJ lim F + F + H G I K J I KJ 5 F H K H v F I K J F I 4 4 K J F I 4 O a clairemet : lim v lim K J Calcl de lim w + IF Si a 0, alors la site diverge vers +. Spposos a 0 b + gb+ g O rappelle qe k 6 k F F I K J F I K J 3 I + w a K J I + + K J + b gb g 3 6 3F F I 6 a+ + 6 a K J F I + O a clairemet : lim w lim K J F I + K J + + F I a a + + K J Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de faire l exercice ci-dessos. F I K J I K Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

39 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 Calcl de lim (MATH04E0B) + si elle existe. O tilise résltat classiqe : N + + +! F *, b g F I K J F I + K J F +! I K J La site limite lorsqe ted vers l ifii. lim + b g dot le terme gééral est de la forme bg 3 lim f b g I K J + fbg admet doc e v + Calcl de lim O tilise le résltat v b k si elle existe + k k 3k + 3 k + k g k b k k g k k b g dot le terme gééral est de la forme v La site v limite lorsqe ted vers l ifii. lim v lim f + + bg 3 b g fbg admet doc e Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de faire l exercice ci-dessos. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

40 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E0C cos π L La foctio cosis état décroissate sr l itervalle 0; π O NM QP, o a : π π π π π cos cos cos 3 3 Doc lim +. La site F H G I K J F H G I K J F H G I K J b g diverge vers + + v si π La site bv g a so terme gééral de la forme v fbg. π si π v si π. La site est doc covergete et π π U lim si si + V π F π I 0 lim si lim lim + + W π π π KJ π 0 F fialemet : lim v lim H G π I si K J + + π w a π cos avec 0 < a < k k F a si a a a a a cos cos cos cos cos! k a k si F F H G I K J I KJ a a a a cos cos! cos si a si a a a a cos cos! cos si a si a a a a cos cos! cos si a si a a a cos cos! cos si a a 3 si I K J 3 Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 3

41 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 De proche e proche o obtiet : a a a si a si a cos avec lim k k a a a F I + a si si si K J F I K J F H G I K J Fialemet : la site est covergete et a lim w lim cos k + + k sia a Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de coslter votre tter. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 4

42 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E0A) x La foctio f est dérivable sr 0;+ et f x. x La foctio est strictemet décroissate sr 0; et strictemet croissate sr ;+. De pls fbg x x+. La corbe admet doc la droite d éqatio x rédite y x comme asymptote e +. Elle est sitée a desss de so asymptote sr 0;+. O tilise la droite d éqatio y x, por costrire les termes de la site. O s aperçoit qe la site semble strictemet décroissate et q elle ted vers. O a >, o sppose qe les termes de la site sot strictemet pls grads + qe jsq à l ordre. + fbg. D après l étde précédete fbg> x sr ; +, doc + fbg > ce qi prove la propriété por tot. La site est doc miorée par. + + < 0, doc la site est strictemet décroissate. La site est doc décroissate et miorée, doc elle coverge. De pls la foctio f est cotie sr ;+, la limite vérifie doc : f l l l l + l bg bg l sr 0; + b g est doc décroissate et covergete, de limite. La site Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de faire l exercice ci-dessos. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 5

43 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E0B). Spposos la site costate : 4 N, C C + C C 6 0 bc+. gbc 3g 0 C + Il y a doc dex sites costates défiies par : N, et N, 3. > + > > 0. Esite, si o sppose qe tos les termes de la sites sot positifs jsq a rag, alors il est clair qe > 0, ce qi prove qe tos les termes de la sites sot positifs à partir d rag. La site est doc miorée par. 3. Calclos v v Cela prove qe la site v gééral v v lim v v 4. v lim 3 v + b g est e site géométriqe de raiso 4 F I K J, de terme Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de faire l exercice ci-dessos. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 6

44 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E0C ) Foctio hyperbole strictemet croissate sr ; 9. E observat le dessi, o s aperçoit qe la site croît vers. Elle semble majorée par. ) Démotros qe la site est majorée par. O effecte raisoemet par récrrece. 0 ;, spposos qe tos les termes de la site soiet pls petits qe jsq a rag. La foctio f est 9 strictemet croissate sr 0 O L ; doc sr ;. Doc si x ; QP NM alors fbg x O Q fbg x fbg fbg x P L x NM O L lim ; ;. Or + f QP NM b g, doc comme par récrrece ; o e dédit qe + ;. La propriété est doc vraie por tot. 3) O a : Or 9 < 0 et < 0 et + 4 > 0 Doc N, > 0, ce qi prove qe la site est croissate. O QP L NM b gb g La site est croissate et majorée, doc elle coverge. La foctio f état cotie, la limite est soltio de l éqatio : l f l bg. l 8 O résot : l l 9l l 8 l 5l l o l 4. l 9 Les termes de la site état tos pls petits qe, la limite est écessairemet. Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de coslter votre tter. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 7

45 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E03A) Appelos le premier terme de la site. Le calcl va se révéler pls aisé si o symétrise les 4 termes de la site. O pose la raiso égale à a bx 3ag+ bx ag+ bx + ag+ bx + 3ag avec x Alors S x b gb gb gb g e je j 4 P 3a a + a + 3a 4 a 4 9a 9a 40a O cherche a e résolvat l éqatio : 4 9a 40a a 9a 3 0 e je j b gb gd id i a+ a 3a 3 3a+ 3 0 La site état croissate seles covieet les valers de a positives. De pls o désire des termes etiers. La sele valer de a qi coviee est. O a doc 5 + b5 gb g x 3a Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de coslter votre tter. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 8

46 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E04A) b g b g + + r r De même, o obtiet : q o q O coaît et 3 par ler somme et ler prodit. R S T S P o R S T S P et 3 soltios de X o X X 0 X + 0 La dexième éqatio doe e soltio doble 3, qi coviet car la croissace est pas stricte. k et S La site état croissate, la première éqatio doe comme soltio la site arithmétiqe de raiso :, et + 3 Doc le terme gééral est : k S 00 ( k ) + ( ) Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de faire l exercice ci-dessos. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 9

47 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E04B) ) O cherche e site v O élimie les cas triviax a b g telle qe + 0 o a N, v qv, cette coditio impliqe : + N, v qv. b g b g N, v a + b+ c qv q + c a q + b+ c qc 0 + b Cette égalité vraie por tot impliqe : a q et c a ) E tilisat les propriétés des sites géométriqes : N * b, v vq v + c q + a a b g 3) Il e réslte qe : F b F b v + a c a a a I K J + + F I K J 4) O tilise la somme des termes de la site géométriqe : b g F I K J S v c v c c v q k k k + q k k k b S c+ + a a a Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de coslter votre tter I K J c Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 0

48 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E05A) La site de Fiboacci est défiie par : R S F0 0, F F F + F por T + + L éqatio caractéristiqe est doc : q q 5 5 et q +. Tote soltio est e site F I + KJ F I KJ λ µ O tilise maiteat les dex coditios iitiales. 0 0 F 5I F + 5I U F0 0 λ + µ λ + µ Rλ KJ KJ 5 F 5I F 5 F KJ + + I V S KJ 5 W λ µ µ T Ce qi doe le résltat atted : F 5 FF + 5 I F KJ 5 I KJ I KJ q 0 qi admet dex racies b g de terme gééral Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de faire l exercice ci-dessos. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

49 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 La site est défiie par : R S (MATH04E05B) 0 3, por T + + L éqatio caractéristiqe est doc : q q 3 0 qi admet dex racies q et q 3. Tote soltio est e site λ µ b g + 3 O tilise maiteat les dex coditios iitiales λ b g + µ 3 λ + µ U V Rλ S 5 λ + 3µ µ b g W T b g Ce qi doe le résltat : + 3 b g de terme gééral Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de faire l exercice ci-dessos. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

50 UMN04 : SUITES SOLUTIONS Ji 000 (MATH04E05C La site est défiie par : R S, 0 T + + por L éqatio caractéristiqe est doc : q q+ 0 dot le discrimiat est égatif. b g de terme gééral F H G I K J F + H G I K J F H G I K J F + H G I λ d i cos µ d i si λ cos µ si K J Tote soltio est e site O tilise maiteat les dex coditios iitiales. Rλ 0 λ U V + W S cos λ cos µ si µ si Ce qi doe le résltat : T cos F H G I K J + cos F H G I si K J si Si vos avez éprové des difficltés por résodre cet exercice, os vos coseillos vivemet de coslter votre tter. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro 3

51 MATH04 : Sites Aides Ji 000 ((MATH04E0A) Das chace des 3 sites, o otera q il s agit de limite de forme idétermiée : le mérater et le déomiater tedet vers l ifii. La techiqe das ce cas est e gééral d isoler e le mettat e facter le terme tedat le pls vite vers l ifii, a mérater et a déomiater. Por le troisième, o porra motrer par récrrece : ( + )( + ) k + +! + 6 k Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

52 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E0B) Por la première site, o fera e décompositio e élémets simples de C est-à-dire qe l o essaiera de mettre la fractio sos la forme Por la secode site, o décomposera le mérater e ( k + ) k k k k Das les dex cas, o tilisera le critère de mootoie borée. a b + + ( + ) Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

53 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E0C) O motrera qe les sites sot mootoe borées, o q elles e le sot pas. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

54 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E0A) L étde de f e pose pas de problème. Profitez-e por réviser les asymptotes obliqes. Utilisez la droite d éqatio y x, por costrire les termes de la site. La cojectre doit vos permettre de voir qe la site semble strictemet décroissate et q elle semble tedre vers. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

55 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E0B) Vos devez trover dex sites costates de terme gééral et 3. Il fat prover par récrrece qe tos les termes de la site sot pls grads qe. La raiso de la site est 4 Exprimer e foctio de v et coclre. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

56 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E0C) Vos devez vos e sortir avec la même démarche qe l exercice précédet. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

57 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E03A) Le calcl est pls facile si les 4 premiers termes sot symétrisés : x 3a, x a, 3 x+ a, 4 x+ 3a Dex ombres dot o coaît la somme S et le prodit P sot soltios de X SX + P 0 Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

58 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E04A) O tilisera les formles doat les moyees arithmétiqes et géométriqes + 3 3, v v v Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

59 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E04B) Utiliser la défiitio des sites géométriqes par récrrece : v+ qv pis les différetes formles d cors Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

60 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E05A) Il sffit d appliqer les formles d cors. Ici l éqatio caractéristiqes est q q 0. Esite les coditios iitiales permettet de trover les costates. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

61 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E05B) Même exercice qe le précédet. Il sffit d appliqer les formles d cors. Ici l éqatio caractéristiqes est q q 3 0. Esite les coditios iitiales permettet de trover les costates. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro

62 MATH04 : Sites Aides Ji 000 (MATH04E05C) Même exercice qe le précédet. Il sffit d appliqer les formles d cors. Ici l éqatio caractéristiqes est q q+ 0. Esite les coditios iitiales permettet de trover les costates. Cycles Préparatoires d Service Comm de Formatio Cotie de l INPL Cors et Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère. Dessis : Fraçois Marro