Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa

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1 Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots ignorent la complexité. Les pragmatiques en souffrent. Certains parviennent à l éviter. Les génies la suppriment.» Alan J. Perlis Résumé Ce papier présente le corps des nombres complexes qui, avec le corps des entiers réels, constitue le cadre sur lequel sont développées de notions plus avancées en analyse ou en topologie, telles que la limite, la continuité ou la dérivation. Mots clé : corps, nombre complexe. Abstract In this paper, our focus is on complex numbers, one of the frames on which we apply the concepts of limit, continuity and derivative. Introduction Nombre d analyses en économique recourent aux notions de limites, continuité ou dérivation. Ainsi, les développements et définitions rigoureux de celles ci expliquent la transposition de la démarche topologique en sciences économiques. Pour une bonne présentation, l étude de ces notions considère généralement une définition rigoureuse des ensembles comme le point de départ. S inscrivant dans ce cadre, nous présentons les principaux théorèmes caractérisant la construction de l ensemble des nombres complexes qui apparaît comme une extension de l ensemble. Le papier distingue deux principales sections. La première section revient sur les définitions, théorèmes et propriétés sur les nombres complexes. La deuxième section présente brièvement les formules de De Moivre et d Euler et conclut avec une démonstration de l inégalité de Bunyakovski Cauchy Schwarz. Nombres complexes Les travaux des mathématiciens italiens du XVI ième siècle, tels que Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana et Ludovico Ferrari, en posant la problématique des nombres imaginaires, ont permis d introduire la notion des nombres complexes. En effet, au début des années 1500, le mathématicien Scipione dal Ferro, proposa une formule solutionnant l'équation du 3ème degré suivant. : 66

2 Parallèlement, à la fin du même siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l'équation et obtient littéralement : A l époque, cette expression n'avait, a priori, aucun sens puisqu'on ignorait ce que représente le symbole noté. Cependant, le génie de Bombelli l obligea d aller plus loin. Il remarqua, par la suite, qu en appliquant les règles usuelles de calcul scientifique, on obtenait : si bien qu'il trouva finalement : où, est bien une solution de l équation posée précédemment. D où la genèse de la problématique du calcul des symboles imaginaires comme Notons l ensemble des nombres complexes de la forme tel que avec et des réels. La variable correspond au nombre complexe. On appelle la partie réelle du nombre z, notée ; la partie imaginaire de z, notée ; le nombre complexe, défini par et forme algébrique de z que nous expliciterons dans les lignes qui suivent. Plus formellement, un nombre complexe est défini par un coupe ordonné que : de nombres réels tels Si est dit imaginaire pur. Soit et D après la définition précédente, Considérons, à présent, deux opérations (addition et multiplication) dans et telles que Théorème 1. L ensemble muni des opérations d addition et de multiplication est un corps (commutatif). et jouant respectivement les rôles de et dans Intuition de la démonstration. Par définition, un corps est un ensemble muni de deux opérations addition et multiplication satisfaisant les axiomes suivants. (1:) Axiomes d addition : (1.i) + ; (1.ii) + = +, ; (1.iii) + + = + +, ; (1.iv) 0 tel que 0+ = ; (1.v) (2:) Axiomes de multiplication : (1.i) ; (1.ii) ; (1.iii) ; (1.iv) tel que ; (1.v) (3:) Axiomes de distributivité : Ainsi, pour prouver le théorème 1, il suffit donc de poser 67

3 Théorème 2. Pour tout nombre réel et on vérifie toujours et Démonstration. et Le théorème 2, en consacrant l analogie permet de caractériser comme un sous corps du corps des complexes. Montrons, à présent, que tel que et Théorème 3. Tout complexe tel que peut s écrire comme Démonstration. Cette définition implique que si alors où est le conjugué de Théorème 4. on vérifie : (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v) ; (vi) Partant, pour le module de noté est un nombre réel positif tel que : Et donc : Théorème 5. Soit : (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) et Démonstration. (i) (ii) (iii) Soit et ; (iv) Soit : et (v) Soit et son conjugué : et Avant de présenter les différentes formes d un nombre complexe, établissons un parallélisme entre l ensemble des réels et l ensemble des complexes. Notons que l ensemble correspond à l'ensemble des points sur une droite. Un nombre réel x correspond au point d'abscisse sur la droite d Euclide. Ainsi, on 68

4 peut donc toujours comparer deux nombres réels : si et sont des réels, on a nécessairement ou ; c est à dire le point d'abscisse se trouve sur la droite, "avant" ou "après" le point d'abscisse ). Par contre, le corps ensemble des nombres correspond à l'ensemble des points d'un plan de coordonnées. Le plan complexe, aussi appelé plan d Argand Cauchy Gauss, désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Au regard de cette structure, on ne peut pas comparer deux nombres complexes et donc, il n'existe pas de relation d'ordre dans ; c est à dire, on ne peut pas dire qu'un nombre complexe est inférieur ou supérieur à un nombre complexe ou qu'un nombre complexe ou est positif. Soit on distingue trois formes d écriture du nombre (i) Forme algébrique, appelée aussi forme canonique : ; (ii) Forme trigonométrique, ou forme polaire : ; (iii) Forme géométrique : où pour tout plan muni d un repère orthonormé on peut associer à tout nombre complexe, le point Le point est nommé du nombre complexe et le nombre complexe du point : Par définition du nombre il vient qu une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point. Au passage, on peut noter qu on peut également associer à chaque nombre complexe, un vecteur Ce vecteur est appelé du nombre complexe z. Formule de De Moivre, Formule d Euler et Inégalité de Cauchy Schwarz Dans cette section, nous présentons quelques applications courantes sur les nombres complexes. Le calcul de la racine n ième d un complexe nécessite la manipulation des formules développées par les mathématiciens français Abraham de Moivre et suisse Leonhard Euler. Ces formules établissent un lien entre complexes et trigonométrie (par exemple, polynôme de Chebyshev) et furent introduites à l origine par R. Cotes 1. D après la formule de De Moivre, on vérifie : De manière générale, on note : Démonstration. Nous nous servons de l identité remarquable trigonométrique (formules d addition) pour la preuve : On achève la démonstration en appliquant les formules d addition : 1 Roger Cotes ( ) fut un mathématicien anglais qui contribua, notamment, au développement des méthodes de trapèze et de Simpson en calculs intégrales et co auteur de la méthode de Newton Cotes. 69

5 Prouvons à présent la formule de De Moivre. Si : Si : Si : Si tel que : En considérant la racine n ième de la formule de De Moivre, on établit la formule d Euler : En dérivant la fonction on obtient : L application (bien définie) est donc une fonction réelle constante et continue. Ainsi : Partant des considérations précédentes sur les complexes, nous pouvons dès lors dériver l inégalité de Bunyakovski Cauchy Schwarz. Soit les nombres et on vérifie toujours la relation : Démonstration. Posons : 70

6 Si alors La preuve est triviale. Si : Puisque : alors et comme on montre que In fine, on note que l étude des nombres demeure une activité fascinante. Cependant, elle constitue également un défi jusqu à nos jours (par exemple, l étude de la fonction zêta de Riemann). Au delà de cette fascination et de ce défi, elle constitue une boîte à outils tant pour les ingénieurs, mathématiciens ou économistes. Dans la profession de l économiste, une définition rigoureuse des nombres, notamment réels et complexes, rend, d une part, plus aisée l utilisation d outils analytiques plus puissants faisant appel à des domaines purement abstraits tels que la topologie, la théorie de la mesure ou la théorie des ensembles. Et d autre part, une telle approche permet à l économiste de passer, de fois, du monde réel vers le monde abstrait pour résoudre de problèmes concrets et trouver des résultats puissants et applicables dans la société. Ainsi, disposant, à présent, d un exposé rigoureux des réels et des complexes, dans les prochains papiers, le Laboratoire procédera à la présentation de notions préliminaires puis plus avancées de topologie, regroupées dans la série «Topologie pour Économiste». 71

7 Bibliographie AIGNER Martin et Günter M. ZIEGLER, 1998, Raisonnements Divins : Quelques Démonstrations Mathématiques Particulièrement Elégantes, 2 ième édition Springer, Berlin, 270p. ASLANGUL Claude, 2011, Des Mathématiques pour les Sciences. Concepts, Méthodes et Techniques pour la modélisation (Cours et Exercices), édition De Boeck Université, 1252p. BOURBAKI Nicolas, 2007, Eléments d histoire des mathématiques, Springer, Berlin, 374p. MARCO Jen Pierre, 2009, Mathématiques L3. Analyse (Cours complet avec 600 test et Exercices corrigés), avec la collaboration de Hakim BOUMAZA, Benjamin COLLAS, Stéphane COLLION, Marie DELLINGER, Zoé FAGET, Laurent LAZZARINI et Florent SCHAFFA_HAUSER), édition Pearson, Paris, 932p. OK Efe A., 2007, Real Analysis with Economic Applications, Princeton University Press, Princeton, 802p. RUDIN Walter, 1976, Principles of Mathematical Analysis, 3th edition, McGraw Hill, New York, 342p. SUNDARAM Rangarajan K., 2011, A First Course in Optimization Theory, Cambridge University press, Cambridge, 357p. TSASA Jean Paul, (janvier) 2013, «Ensemble R et Extraction de Quelques Théorèmes Fondamentaux», One Pager Laréq, vol. 5, num. 006,