Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

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1 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48

2 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48

3 Polynôme d interpolation de Théorème (Polynôme d interpolation) Soient les n + 1 points distincts (a 0 < a 1 <, a n ) IR n+1, il existe un unique polynôme P de degré n qui coupe la fonction f sur ces points i.e. tel que : i {0,...,n} P(a i ) = f(a i ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes C est le polynôme interpolateur de de f sur les points a i. - p. 3/48

4 Preuve et polynôme de Soient les n + 1 points distincts (a 0 < a 1 <, a n ) IR n+1, on appelle base de les polynômes de la forme : L i (x) = n k=0,k i x a k a i a k Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 4/48

5 Preuve et polynôme de Soient les n + 1 points distincts (a 0 < a 1 <, a n ) IR n+1, on appelle base de les polynômes de la forme : L i (x) = n k=0,k i i, j L i (a j ) = x a k a i a k { 1 si i = j 0 si i j Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 4/48

6 Preuve et polynôme de Soient les n + 1 points distincts (a 0 < a 1 <, a n ) IR n+1, on appelle base de les polynômes de la forme : L i (x) = n k=0,k i i, j L i (a j ) = x a k a i a k { 1 si i = j 0 si i j Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Le polynôme : P(x) = f 0 L 0 (x) + f 1 L 1 (x) + + f n L n (x) Convient. On l appelle polynôme d interpolation de L unicité est à démontrer en exercice. - p. 4/48

8 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48

9 a 6 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48

10 a 3 a 6 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48

11 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de a 3 a 4 a 6 Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48

12 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de a 0 a 3 a 4 a 6 Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48

13 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 5/48

14 Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 6/48

15 Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) - p. 6/48

16 Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois - p. 6/48

17 Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois g s annule n + 1 fois - p. 6/48

18 Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois g s annule n + 1 fois... g (n+1) s annule une fois en η - p. 6/48

19 Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois g s annule n + 1 fois... g (n+1) s annule une fois en η Or φ (n+1) = (n + 1)! et P (n+1) = 0. - p. 6/48

24 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes f(x) = e 10x2 - p. 7/48

25 Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48

26 Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48

27 Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48

28 Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. problèmes quand x Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48

29 Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. problèmes quand x f (n+1) (η) qui dépend de la fonction f et de l intervalle [a 0, a n ]. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48

30 Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. problèmes quand x f (n+1) (η) qui dépend de la fonction f et de l intervalle [a 0, a n ]. problèmes si un point est très différent des autres (f (n+1) >> 1) le polynôme a tendance à osciller entre les points d interpolations Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48

31 Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. problèmes quand x f (n+1) (η) qui dépend de la fonction f et de l intervalle [a 0, a n ]. problèmes si un point est très différent des autres (f (n+1) >> 1) le polynôme a tendance à osciller entre les points d interpolations Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Certaines fonctions simples seront mal interpolées par un polynôme. - p. 8/48

38 Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 10/48

39 Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 10/48

40 Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Par exemple : - p. 10/48

41 Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Par exemple : Fonctions linéaires par morceaux - p. 10/48

42 Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Par exemple : Fonctions linéaires par morceaux Fonctions quadratiques par morceaux - p. 10/48

43 Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Par exemple : Fonctions linéaires par morceaux Fonctions quadratiques par morceaux Les splines cubiques (polynôme de degré 3 par morceau). - p. 10/48

44 Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 11/48

45 Intégration numérique On cherche à approcher l intégrale d une fonction : Dont on ne connaît la valeur qu en certains points mesures Dont on peut calculer les valeurs, mais dont on ne peut pas calculer la primitive pas de formule analytique trop complexe Intégration numérique Principe Principe (suite) Il faut approcher I(f) = b a f(t)dt - p. 12/48

46 Principe Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48

47 Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48

48 Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m On sépare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points y i par paquets de un, deux ([y i, y i+1 ]) ou trois ([y i, y i+1, y i+2 ]) points consécutifs. Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48

49 Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m On sépare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points y i par paquets de un, deux ([y i, y i+1 ]) ou trois ([y i, y i+1, y i+2 ]) points consécutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynômes g i (t). Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48

50 Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m On sépare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points y i par paquets de un, deux ([y i, y i+1 ]) ou trois ([y i, y i+1, y i+2 ]) points consécutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynômes g i (t). On calcule l intégrale du polynôme d interpolation de chaque sous intervalle, cela s exprime simplement en fonction des valeurs f i = f(y i ) : Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48

51 Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m On sépare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points y i par paquets de un, deux ([y i, y i+1 ]) ou trois ([y i, y i+1, y i+2 ]) points consécutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynômes g i (t). On calcule l intégrale du polynôme d interpolation de chaque sous intervalle, cela s exprime simplement en fonction des valeurs f i = f(y i ) : Intégration numérique Principe Principe (suite) yi+k y i g i (t)dt = k α l f i+l l=0 - p. 13/48

52 Principe (suite) - p. 14/48

53 Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) i=0 - p. 14/48

54 Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point 2 points 3 points n points i=0 - p. 14/48

55 Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points 3 points n points i=0 - p. 14/48

56 Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points approximation de degré 1 méthode des trapèzes 3 points n points i=0 - p. 14/48

57 Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points approximation de degré 1 méthode des trapèzes 3 points approximation de degré 2 méthode de SIMPSON n points i=0 - p. 14/48

58 Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points approximation de degré 1 méthode des trapèzes 3 points approximation de degré 2 méthode de SIMPSON n points approximation de degré n 1 méthode de NEWTON-CÔTES i=0 - p. 14/48

59 Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points approximation de degré 1 méthode des trapèzes 3 points approximation de degré 2 méthode de SIMPSON n points approximation de degré n 1 méthode de NEWTON-CÔTES Pour chaque méthode, il existe des constantes β i qui permettent d appliquer la formule (1) et une majoration de l erreur que l on va calculer. i=0 - p. 14/48

60 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 15/48

61 Méthode des rectangles Les points (y i ) i = 0,..., m sont pris régulièrement espacés sur [a, b] : y i = a + i b a m Sur chaque intervalle I i = [y i, y i+1 ], la fonction f est approchée par la fonction constante g i tel que g i (t) = f(y i ). yi+1 g i (t)dt = (y i+1 y i )f(y i ) = b a y i m f(y i) b a f(t)dt = y1 y 0 f(t)dt + y2 y 1 f(t)dt ym y m 1 f(t)dt L approximation de b f(t)dt par la méthode des rectangles est a donnée par : Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 16/48

62 Méthode des rectangles Les points (y i ) i = 0,..., m sont pris régulièrement espacés sur [a, b] : y i = a + i b a m Sur chaque intervalle I i = [y i, y i+1 ], la fonction f est approchée par la fonction constante g i tel que g i (t) = f(y i ). yi+1 g i (t)dt = (y i+1 y i )f(y i ) = b a y i m f(y i) b a f(t)dt = y1 y 0 f(t)dt + y2 y 1 f(t)dt ym y m 1 f(t)dt L approximation de b f(t)dt par la méthode des rectangles est a donnée par : Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication I R = b a m m 1 i=0 f(y i ) - p. 16/48

64 On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 18/48

65 On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que yi+1 y i f(t) g i (t) = f (η(t))(t y i ) f(t)dt b a m f(y i) = yi+1 y i f (η(t))(t y i )dt Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 18/48

66 On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que yi+1 y i f(t) g i (t) = f (η(t))(t y i ) f(t)dt b a m f(y i) = Soit M = sup t [a,b] f (t) yi+1 y i f (η(t))(t y i )dt Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 18/48

67 On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que yi+1 y i f(t) g i (t) = f (η(t))(t y i ) f(t)dt b a m f(y i) = yi+1 Soit M = sup t [a,b] f (t) yi+1 f(t)dt b a m f(y i) M y i y i f (η(t))(t y i )dt yi+1 y i (t y i )dt M (y i+1 y i ) 2 2 (b a)2 M 2m 2 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 18/48

68 (suite) Finalement Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48

69 (suite) Finalement Remarques : b a f(t)dt I R M (b a) 2 2m Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48

70 (suite) Finalement Remarques : b a f(t)dt I R M (b a) 2 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que M (b a)2 2ε 2m f(t)dt à ε près, il suffit Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48

71 (suite) Finalement Remarques : b a f(t)dt I R M (b a) 2 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que M (b a)2 2ε L approximation est exacte si 2m f(t)dt à ε près, il suffit Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48

72 (suite) Finalement Remarques : b a f(t)dt I R M (b a) 2 Pour trouver une valeur approchée de b f(t)dt à ε près, il suffit a de prendre m plus grand que M (b a)2 2ε L approximation est exacte si la dérivée f est nulle c est-à-dire si la fonction f est constante. 2m Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48

73 Méthode des trapèzes Les points (y i ) i = 0,..., m sont pris régulièrement espacés sur [a, b] : y i = a + i b a m. Sur chaque intervalle I i = [y i, y i+1 ], la fonction f est approchée par la fonction affine g i coïncidant avec f en y i et y i+1 soit : g i (t) = f(y i ) + (t y i) (y i+1 y i ) (f(y i+1) f(y i )). Remarque : g i est la fonction affine par morceaux reliant les points de coordonnées (y i, f(y i )). Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 20/48

74 Calcul de la formule yi+1 y i g i (t)dt = y i+1 y i [ t y i+1 y i (f(y i+1 ) f(y i )) y i y i+1 y i (f(y i+1 ) f(y i ))+f(y i )]dt = y i y i 2(y i+1 y i ) (f(y i+1) f(y i )) y i (f(y i+1 ) f(y i )) + (y i+1 y i )f(y i ) = y i+1+y i 2 (f(y i+1 ) f(y i )) y i f(y i+1 ) + y i+1 f(y i ) = y i+1 y i 2 (f(y i+1 ) + f(y i )) = b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) Or b a f(t)dt = y 1 y 0 f(t)dt + y 2 y 1 f(t)dt y m y m 1 f(t)dt Donc l approximation de b f(t)dt par la méthode des trapèzes est a donnée par : Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 21/48

75 Calcul de la formule yi+1 y i g i (t)dt = y i+1 y i [ t y i+1 y i (f(y i+1 ) f(y i )) y i y i+1 y i (f(y i+1 ) f(y i ))+f(y i )]dt = y i y i 2(y i+1 y i ) (f(y i+1) f(y i )) y i (f(y i+1 ) f(y i )) + (y i+1 y i )f(y i ) = y i+1+y i 2 (f(y i+1 ) f(y i )) y i f(y i+1 ) + y i+1 f(y i ) = y i+1 y i 2 (f(y i+1 ) + f(y i )) = b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) Or b a f(t)dt = y 1 y 0 f(t)dt + y 2 y 1 f(t)dt y m y m 1 f(t)dt Donc l approximation de b f(t)dt par la méthode des trapèzes est a donnée par : Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication I T = b a 2m (f(y 0) + 2f(y 1 ) f(y m 1 ) + f(y m )) - p. 21/48

77 On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que - p. 23/48

78 On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que f(t) g i (t) = 1 2 f (η(t))(t y i )(t y i+1 ) yi+1 y i f(t)dt b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) = 1 2 yi+1 y i f (η(t))(t y i )(t y i+1 )dt d où si M = sup t [a,b] f (t) yi+1 y i f(t)dt b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) M yi+1 y i (t y i )(y i+1 t)dt - p. 23/48

79 (suite) Pour le calcul de y i+1 y i (t y i )(y i+1 t)dt, on effectue un changement de variable. Soit x = t y i (t = x + y i ) yi+1 y i Donc (t y i )(y i+1 t)dt = y i+1 y i 0 x(y i+1 y i x)dx y i+1 y i = y i+1 y i x 2 + x(y 0 i+1 y i )dx = (y i+1 y i ) (y i+1 y i ) 2 2 (y i+1 y i ) = (y i+1 y i ) 3 6 f(t)dt b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) M (y i+1 y i ) 3 12 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 24/48

80 (suite) Pour le calcul de y i+1 y i (t y i )(y i+1 t)dt, on effectue un changement de variable. Soit x = t y i (t = x + y i ) yi+1 y i Donc (t y i )(y i+1 t)dt = y i+1 y i 0 x(y i+1 y i x)dx y i+1 y i = y i+1 y i x 2 + x(y 0 i+1 y i )dx = (y i+1 y i ) (y i+1 y i ) 2 2 (y i+1 y i ) = (y i+1 y i ) 3 6 f(t)dt b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) M (y i+1 y i ) 3 12 b a f(t)dt I T M (b a)3 12m 2 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 24/48

81 (fin) Finalement Remarques : b a f(t)dt I T M (b a) 3 12m 2 Pour trouver une valeur approchée de b f(t)dt à ε près, il suffit a de prendre m plus grand que M (b a)3 12ε Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 25/48

82 (fin) Finalement Remarques : b a f(t)dt I T M (b a) 3 12m 2 Pour trouver une valeur approchée de b f(t)dt à ε près, il suffit a de prendre m plus grand que M (b a)3 12ε L approximation est exacte si Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 25/48

83 (fin) Finalement Remarques : b a f(t)dt I T M (b a) 3 12m 2 Pour trouver une valeur approchée de b f(t)dt à ε près, il suffit a de prendre m plus grand que M (b a)3 12ε L approximation est exacte si la dérivée seconde f est nulle c est-à-dire si la fonction f est affine. Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 25/48

84 Méthode de SIMPSON On considère les 2n + 1 points z i = a + i b a 2n (i = 0,..., 2n) Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 26/48

85 Méthode de SIMPSON On considère les 2n + 1 points z i = a + i b a 2n (i = 0,..., 2n) Sur chaque intervalle I i = [z 2i, z 2i+2 ], la fonction f est approchée par la parabole g i passant par les points Donc (z 2i, f(z 2i )) (z 2i+1, f(z 2i+1 )) (z 2i+2, f(z 2i+2 )) g i (t) = f(z 2i ). +f(z 2i+1 ). +f(z 2i+2 ). (t z 2i+1 )(t z 2i+2 ) (z 2i z 2i+1 )(z 2i z 2i+2 ) (t z 2i )(t z 2i+2 ) (z 2i+1 z 2i )(z 2i+1 z 2i+2 ) (t z 2i )(t z 2i+1 ) (z 2i+2 z 2i )(z 2i+2 z 2i+1 ) Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 26/48

86 Méthode de SIMPSON (suite) Ce qui donne, tout calcul fait : z2i+2 z 2i g i (t)dt = b a 6n (f(z 2i) + 4f(z 2i+1 ) + f(z 2i+2 )) L approximation de l intégrale par la méthode de SIMPSON est donc I S avec - p. 27/48

87 Méthode de SIMPSON (suite) Ce qui donne, tout calcul fait : z2i+2 z 2i g i (t)dt = b a 6n (f(z 2i) + 4f(z 2i+1 ) + f(z 2i+2 )) L approximation de l intégrale par la méthode de SIMPSON est donc I S avec I S = b a 6n ( f(z 0 ) + 4f(z 1 ) + 2f(z 2 ) + 4f(z 3 ) + 2f(z 4 ) + ) + 2f(z 2n 2 ) + 4f(z 2n 1 ) + f(z 2n ) - p. 27/48

89 Soit M = max t [a,b] f (4) (t) Remarques : b a f(t)dt I S M(b a)5 2880n 4 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que 4 L approximation est exacte si M (b a)5 2880ε f(t)dt à ε près, il suffit. Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 29/48

90 Soit M = max t [a,b] f (4) (t) Remarques : b a f(t)dt I S M(b a)5 2880n 4 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que 4 M (b a)5 2880ε f(t)dt à ε près, il suffit L approximation est exacte si la dérivée f (4) est nulle c est-à-dire si la fonction f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 29/48

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