littéral, équations, inéquations

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1 1 Calcul littéral, équations, inéquations Livre p.54 et 80. Objectifs : Développer, réduire, factoriser une epression algébrique Savoir choisir la forme (développée, factorisée...) adaptée à la résolution d un problème Résoudre une équation, une inéquation Mettre un problème en équation, en inéquation Aperçu historique : En Égypte ancienne, des problèmes tels que Quand le scribe te dit est les 1 et le de quoi?, c est-à-dire = + 1, étaient traités par tâtonnement et l on n en trouvait que des valeurs approchées. Les Babyloniens disposaient d algorithmes, mais ceu-ci n étaient pas démontrés : ils étaient issus de l epérience. La naissance d une théorie des équations eut lieu dans trois grandes civilisations à peu près en même temps : en Grèce, dans la civilisation arabe et en Inde. Au IIIème siècle, le mathématicien Diophante, formalise l arithme, une lettre notéeσqui se rapproche de la notion d indéterminée. Avant que Diophante ne soit traduit en arabe, Al-Khawarizmi, un mathématicien d origine perse, développe au VIIIème siècle une idée analogue. Son inconnue s appelle le say. La même idée est encore présente chez le mathématicien indien Bhaskara II, dans son tete intitulé Bijaganita. C est à la Renaissance, avec l invention de l imprimerie, que ces théories se diffuseront et que les mathématiciens Européens travailleront à formaliser l algèbre, dont le nom vient du mot restauration (en arabe : al-jabr), présent dans l ouvrage Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison" d Al-Khawarizmi 1. Epressions algébriques On appelle ensemble des nombres réels et on noterl ensemble de tous les nombres que vous connaissez pour l instant. A. Eemples Eemple 1 : Si les lettres, y, a,b,... désignent des nombres, les epressions suivantes sont appelées epressions algébriques : A= 5+ 1 B = (+ 4) 5 C = (a+ b) Eemple : Soit l epression algébrique A= (+ ) 4. Si on choisit que la valeur de est = 5, on peut calculer la valeur de A : A= ( 5+) 4 5 = 18 0=4 On peut donner à une autre valeur, par eemple = 7 ; on a alors : A= ( 7 + ) 4 7 =

2 B. Réduire Méthode : 1) On regroupe les termes en, puis ceu en, puis les constantes* (attention à ne pas perdre en route le signe de chacun). ) On calcule le total de chaque catégorie : on obtient un seul terme en, un seul terme en, et une seule constante. *Les constantes sont les nombres seuls, sans facteur ni. Remarque : 1 = et 1 =. Eemple : = } {{ } + } {{ 7 } 5+6 }{{} termes en ; termes en ; constantes 1) On regroupe les termes par type (,, constantes) ) On réduit chaque groupe de termes : Termes en : = 1 = Termes en : + 7 = 1+ 7 = 5 Termes constants : 5+6=+1 = 5+ 1 D où le résultat C. Développer Propriété 1.1 : Double distributivité : Identités remarquables : Forme factorisée Forme développée (a+ b) = a + ab+ b (a b) = a ab+ b (a b)(a+ b) = a b Eemples : A = ( ) (4+ )( 5) = () + ( ) = = D. Factoriser Il s agit de l opération inverse du développement. Il y a essentiellement deu techniques pour factoriser : Soit l on fait apparaître un facteur commun à tous les produits. Eemple : 9 = =( ) Soit l on reconnaît une formule connue, comme la forme développée d une identité remarquable. Eemples : Avec un facteur commun : Avec une identité remarquable : B = (+ ) (5 )(+ ) = (+ )(+) (5 )(+) = (+)[(+ ) (5 )] = (+ )[+ 5+ ] = (+ )( ) C = = () + + = (+ )

3 . Résolution d équations Définition 1.1 Une équation est une égalité qui contient un ou plusieurs nombres inconnus. Résoudre une équation, c est trouver toutes les valeurs de ce(s) nombre(s) inconnu(s) pour lesquelles l égalité est vraie. Eemple 1 : = ( ) est une équation d inconnue. Le nombre 5 est une solution de cette équation, car en remplaçant par 5 on obtient : - dans le 1er membre : = 5 5 = - et dans le ème membre : ( )=5( 5)=5 ( )= aussi. Certains types d équations ont des méthodes de résolution (par eemple les équations du premier, du deuième ou du troisième degré) mais pas toutes. Si on ne peut pas résoudre une équation, on peut par contre toujours vérifier qu un nombre est solution d une équation. Pour cela on peut utiliser un algorithme. Eemple : On a écrit l algorithme 1 qui vérifie si un nombre a est solution de l équation 5+ =0. Appliquer cet algorithme à a= 1 puis à a= 1. 1 Entrées : Demander le nombre a; début y a 5a+ ; 4 si y = 0 alors 5 Afficher «a est solution de l équation» ; 6 sinon 7 Afficher «a n est pas solution de l équation» ; Algorithme 1 : Vérifier qu un nombre est solution d une équation A. Propriété fondamentale y+ 1 }{{} = }{{} ceci est une égalité 1er membre ème membre Propriété 1. On a le droit d ajouter ou de soustraire un même nombre au deu membres d une inégalité, de multiplier ou de diviser par un même nombre non nul les deu membres d une égalité, on obtient une autre égalité. Attention : Le danger est de ne faire l opération que sur une partie d un membre ; pour éviter cela, on utilise des parenthèses. Eemple : y + 1= Ce calcul est fau : on n a divisé par qu une partie du 1er membre. Le calcul juste est le suivant : y+1 = y + 1 = y+ 1 = etc... De la même manière, il faut parfois prendre des précautions lorsqu on veut multiplier les deu membres d une équation ; dans ce cas, on utilise des parenthèses. Par eemple : 5 (y+ 1)=5 B. Équation du premier degré Définition 1. Une équation du premier degré d inconnue est une équation qui peut s écrire sous la forme a+ b= 0, avec a 0.

4 Propriété 1. Soient a 0 et b deu nombres réels. L équation du premier degré a+ b = 0 admet une solution unique, qui est 0 = b a Démonstration Soient a 0 et b deu nombres réels. D après la Pté 1., on peut écrire : a+ b = 0 a+ b b = 0 b a = b a a S= { b a } = b a = b a Eemple : Grâce à la Pté 1., résolvons l équation + 5=5 7. C est bien une équation du premier degré, car toujours grâce à la Pté 1., elle peut s écrire sous la forme a+ b= = = = = = 7 5 = 1 = 1 = 6 S= {6} = 1 Une méthode de résolution d équation se dégage dans cet eemple, que nous allons généraliser : C. Méthode générale de résolution Eemple : Méthode : (+ 5)= (11 5) 1) Enlever les parenthèses devant lesquelles on a + ou - (uniquement (+ 5)= celles-là pour commencer), des deu côtés de l égalité, en changeant ou non les signes de ce qu elles contiennent. 6 15= ) Développer les autres parenthèses (vérifier qu il s agit bien de produits), des deu côtés de l égalité = ) Réduire chacun des deu membres = ) En soustrayant et/ou en additionnant à chaque fois le même 6 = = nombre des deu côtés de l égalité, s organiser pour avoir à gauche tous les termes en et en, et à droite tous les termes constants =+5+15 Cette étape demande en général plusieurs lignes de calcul. +6 =+0 5) Réduire à nouveau de chaque côté = )Dans le cadre de ce chapitre, on obtient une équation de la forme b = a. Le nombre b, qui peut être décimal, fractionnaire, etc... s appelle le coefficient de. On divise chaque membre de l égalité par ce coefficient (avec son signe!). = 7) Si le résultat obtenu est une fraction, on la laisse sous forme fractionnaire, mais on la simplifie pour obtenir sa forme irréductible. S= { } 8) On écrit l ensemble des solutions S=... Remarque : On peut remarquer que les opérations que l on effectue sur chaque membre pour résoudre une équation sont organisées dans l ordre inverse des priorités. 4

5 D. Équation-produit Une équation produit est une équation de la forme P() Q()=0, c est-à-dire dont le premier membre est sous forme factorisée, et le second membre est nul. Par eemple, ( + 1)( ) = 0 est une équation-produit. Théorème 1.1 Pour qu un produit soit nul, il faut et il suffit que l un au moins de ses facteurs soit nul. En appliquant ce théorème, on ramène la résolution de l équation-produit à la résolution de plusieurs équations plus simples. Eemple : (+ 1)( )=0 On a un produit nul, donc : + 1=0 ou =0 = 1 ou =+ = 1 ou = Donc S= { 1 ;}. Intervalles L ensemble des nombres Est un intervalle et se note : Schéma : réels tels que : < < 5 ];5[ < 5 [;5[ < 5 ];5] 5 [;5] < 5 ] ;5[ 5 ] ;5] > ];+ [ [;+ [ 4. Règles de calcul sur les inégalités Propriété 1.4 : On a le droit d additionner ou de soustraire un même nombre à chaque membre d une inégalité, cela ne change pas le sens de l inégalité. On a le droit de multiplier ou de diviser par un même nombre non nul chaque membre d une inégalité, cela : ne change pas le sens de l inégalité si ce nombre est positif change le sens de l inégalité si ce nombre est négatif Eemples : y y y y MAIS y y + y+ 5 y 5 y 4 y 4 ATTENTION : y 4 y 4 Définition 1. Une inéquation est une inégalité qui contient un ou plusieurs nombres inconnus. Résoudre une inéquation, c est trouver toutes les valeurs de ce(s) nombre(s) inconnu(s) pour lesquelles l inégalité est vraie. La technique de résolution est la même que pour les équations. Eemple : Attention, ici le sens change!!! 9 S= [ 9;+ [ 5