Géométrie analytique dans l espace

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1 Généralités Points coplanaires Quatre points de l espace sont dits coplanaires s ils appartiennent à un même plan (rappel : 3 points d un plan sont dits alignés s ils appartiennent à une même droite) Vecteurs coplanaires Trois vecteurs non nuls u, v, w de l espace sont dits coplanaires si l un d eux est combinaison linéaire des deux autres ie s il existe deux réels a et b tels que u = a v + b w Remarque : le cas de 2 vecteurs n a pas grand intérêt : 2 vecteurs de l espace sont toujours coplanaires ie qu ils peuvent être représentés dans un même plan (de même que la notion d alignement n a pas grand intérêt pour 2 points : 2 points sont toujours alignés!) Repère de l espace Choisir un repère de l espace, c est se donner un point O, appelé origine du repère, et un triplet ( i, j,k ) de vecteurs non coplanaires On note ( O;i, j,k ) ce repère est appelé base des vecteurs Remarque : Le triplet ( i, j,k ) de l espace Coordonnées d un point est un repère de l espace Pour tout point M de ( O;i, j,k ) x; y; z de nombres réels tels que OM = xi + y j + zk x est l abscisse, y est l ordonnée et z est la cote du point M dans le repère l espace, il existe un unique triplet ( ) Géométrie analytique dans l espace Coordonnées d un vecteur ( O;i, j,k ) est un repère Au vecteur u associons le point M tel que OM = u Par définition, les coordonnées de u sont x; y; z de M Ainsi tout vecteur u s écrit de manière unique u = xi + y j + zk les coordonnées ( ) Calculs sur les coordonnées Tous les résultats de la géométrie plane concernant les coordonnées s étendent à l espace par l adjonction d une troisième coordonnée O;i, j,k donné, si les vecteurs u et v ont Dans un repère ( ) pour coordonnées u ( x; y; z) et v( x'; y'; z' ) Pour tout réel k, le vecteur ku a pour coordonnées ( kx;ky;kz ) Le vecteur u + v a pour coordonnées ( x + x'; y + y'; z + z' ) Si A et ont pour coordonnées A( x A ; y A; z A ) et ( x ; y ; z ) alors : Le vecteur A a pour coordonnées x x ; y y ; z z ( A A A ) Le milieu I du segment [ A ] a pour coordonnées xa + x ya + y za + z ; ; G = bar{ ( A,a ),(,b) }, ( a b 0) +, a pour axa + bx aya + by aza + bz coordonnées ; ; a + b a + b a + b 2 Plans de l espace A, de ses points pourvu qu ils soient distincts C est alors l ensemble des points M de l espace tels qu il existe un réel λ tel que le vecteur AM vérifie l égalité AM = λ A Le vecteur A est appelé vecteur directeur de la droite ; par définition, il est non nul ien entendu, cette propriété est intrinsèque, ie A, Rappelons qu une droite est définie par n importe quel couple ( ) indépendante du choix du couple ( ) A,,C de ses points pourvu qu ils ne soient pas alignés C est alors l ensemble des points M de l espace tels que le vecteur AM soit combinaison linéaire des vecteurs A et AC, ie tel qu il existe un couple λ µ de réels vérifiant l égalité AM = λ A + µ AC Cette propriété est intrinsèque Un plan est défini par n importe quel triplet ( ) (, ) Théorème : 4 points A,, C, D deux à deux distincts sont coplanaires si et seulement si les vecteurs A, AC et AD sont coplanaires En effet, par définition, D appartient au plan (AC) si et seulement si les vecteurs A, AC et AD sont coplanaires Remarque L analogue de ce théorème dans le plan est le suivant : 3 points A,, C deux à deux distincts sont alignés si et seulement si les vecteurs A et AC sont colinéaires Page

2 Théorème 2 : a Plans et barycentres L ensemble des barycentres de trois points non alignés A, et C est le plan ( AC ) Lemme : Tout barycentre de trois points non alignés appartient au plan qu ils définissent Démonstration du lemme : Le barycentre G du système de trois pondérés {( A, ),(, ),( C, )} α β γ où A, et C ne sont pas alignés est défini par αga + βg + γ GC = 0 Cette égalité vectorielle implique que les quatre points A,, C et G sont coplanaires puisqu elle implique si par exemple α est non nul, l égalité GA β γ = G GC α α + Soit M = bar{ ( ; β );( C; γ )} Par associativité du barycentre, G = bar{ ( A; α );( M ; β + γ )} α β et γ sont de même signe alors le point M est un point du segment [ C ] et le point G est un point du segment [ ] Remarque : Supposons β γ 0 Si, donc le point G est un point intérieur au triangle AC Démonstration : D après le lemme, il ne reste plus à montrer qu inversement tout point M du plan ( AC ) peut être considéré comme le barycentre d un système de points pondérés {( A, α ),(, β ),( C, γ )} Si M ( AC ), il existe un unique couple ( λ, µ ) de réels vérifiant l égalité AM = λ A + µ AC d où AM = λ AM + λ M + µ AM + µ MC, ( λ µ ) MA + λ M + µ MC = 0 et comme ( λ µ ) + λ + µ = 0, M est bien le barycentre du système de points pondérés {( A, λ µ ),(, λ ),( C, µ )} Théorème 2 bis : Le point D appartient au plan (AC) si et seulement si le point D est un barycentre des points A, et C AM, b Equation cartésienne d un plan Dans la suite du cours, l espace est rapporté à un repère ( O;i, j,k ) Théorème 3 : Les théorèmes suivants sont admis Tout plan de l espace admet une équation de la forme : ax + by + cz + d = 0 avec l un au moins des réels a, b ou c non nul Réciproquement, si a, b et c sont des réels tels que l un au moins des réels a, b ou c est non nul, l ensemble des points M ( x; y; z ) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan Attention : dans l espace, une équation de la forme ax + by + d = 0 est l équation d un plan et pas d une droite!! Théorème 4 : Soient un point M et un plan P M P Les coordonnées de M vérifient une équation de P Exemple : Soient les points A ( ; ; 2), ( 0; 2; ) et C ( ; 0; 4) Les vecteurs A ( ; ; ) et AC ( 2; ; 2) ne sont pas colinéaires donc les points ne sont pas alignés Ils définissent un plan d équation ax + by + cz + d = 0 que l on peut déterminer en résolvant le système (que l on obtient en remplaçant x, y et z par les coordonnées des points dans l équation) : a = d a b + 2c + d = 0 a b + 2c = d a b + 2c = d a b + 2c = d 4 2b + c + d = 0 2b + c = d 2b + c = d 2b + c = d b = d a + 4c + d = 0 a + 4c = d b + 6c = 2d ( l + l3 ) 3 l2 2l 3 c = d 3 c = d AC : x + 4y 3z + = 0 En fixant d =, on obtient : a =, b = 4 et c = 3 D où une équation du plan ( ) Théorème 5 : ( P) : ax by cz d = et ( ) P ' : a ' x b ' y c ' z d ' = sont parallèles si et seulement si ( a; b; c ) et ( '; '; ') a b c sont proportionnels Page 2

3 3 Droites de l espace Théorème 6 : a Représentations paramétriques d une droite α β γ Soit D la droite de l espace passant par le point A de coordonnées ( x A; x ; x C ) et de vecteur directeur u de coordonnées ( ; ; ) Un point M de coordonnées ( ) x; y; z appartient à D si, et seulement si, il existe un réel k tel que : y = ya z = za + kγ et u sont colinéaires, soit, s il existe un réel k Démonstration : M de coordonnées ( x; y; z ) appartient à D si, et seulement si, AM x xa = kα tel que AM = ku M D y ya = kβ z za = kγ y = ya Définition : Soit D la droite de l espace passant par le point A de coordonnées ( x A; x ; x C ) et de vecteur directeur u de coordonnées ( α; β ; γ ) Le système : y = ya avec k R est une représentation paramétrique de la droite D Exemple : Soient A ; 2; 3 et ; 0 ; 4 2 A ; 2; est un vecteur directeur de la droite ( A ) 2 3 A si, et seulement si, il existe un réel k tel que : AM = k A M ( x; y; z ) appartient à ( ) x + = k 2 Donc M ( x; y; z ) appartient à ( A ) si, et seulement si, il existe un réel k tel que : x = + k 2 y 2 = Le système : y = 2 z = k z = + k avec k R est une représentation paramétrique de la droite D x = a Remarque : Si α, β et γ sont trois réels non simultanément nuls, le système : y = b avec k R est une représentation z = c u α; β ; γ paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées ( a;b;c ) et de vecteur directeur ( ) Remarque : Il n y a pas unicité de la représentation paramétrique d une droite de l espace Attention : Une droite de l espace ne peut pas être représentée par une équation cartésienne (de la forme ax + by + cz + d = 0 ) Soient P et P deux plans sécants d équations respectives : ax + by + cz + d = 0 et a' x + b' y + c' z + d ' = 0 Leur intersection est ax + by + cz + d = 0 la droite D admettant pour système d équations cartésiennes : a' x + b' y + c' z + d' = 0 En résolvant ce système d inconnues x et y en fonction de z, on obtient une représentation paramétrique de D Exemple : Soit D la droite définie comme l intersection des deux plans sécants P et P d équations respectives : 2x y + z 2 = 0 et x + 2y z + = 0 On résout le système : 2x y + z 2 = 0 x + 2y z + = 0 2x y = z + 2 x + 2y = z 3z 4 2l2 l Les coordonnées ( x; y; z ) des points de D, intersection de P et P, vérifient donc le système : est une représentation paramétrique de la droite D 3 z 2x y = z + 2 x = 5 y = 5 5 3z 4 y = 5 3 x = k y = + k, avec k R, qui 5 5 z = k Page 3

4 3 4 On peut alors préciser un point et un vecteur directeur de D : A ; ; et 3 u ; ; 5 5 Remarque : En choisissant d exprimer x et z en fonction de y, on obtient une autre représentation paramétrique de la droite D b Positions de deux droites de l espace Deux droites D et D de vecteurs directeurs respectifs u et v sont parallèles si u et v sont colinéaires (elles peuvent alors être confondues ou bien strictement parallèles) Deux droites sont sécantes si elles ont un unique point d intersection Deux droites de l espace sont coplanaires si elles appartiennent à un même plan Théorème 7 : Deux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes (et donc : deux droites ne sont pas coplanaires si et seulement si elles ne sont ni parallèles, ni sécantes) c Positions d une droite et d un plan de l espace Une droite D est parallèle à un plan P s il existe une droite D du plan P telle que D est parallèle à D (D peut alors être incluse dans P ou bien strictement parallèle à P) Si une droite n est pas parallèle à un plan elle est sécante à ce plan (en un unique point) d Intersection d une droite et d un plan Soient P un plan d équation ax + by + cz + d = 0 et D une droite de représentation paramétrique : ax + by + cz + d = 0 x = xa Pour étudier l intersection de P et D, on résout le système y = ya y = ya avec k R avec k R, d inconnues x, y et z x = k Exemple : Soit P le plan d équation 2x 3y + z 2 = 0 et D la droite admettant pour représentation paramétrique : y = 3+ z = + k 2 avec k R Les coordonnées des points d intersection de P et D sont les solutions du système : 4 4 k = 2x 3y + z 2 = 0 2( k ) 3( 3+ ) + + k 2 = 0 k = 3 2 x = k 3 7 x = x = k x = k 3 y = 3 + y = 3 + y = 3+ z = + k y = 3 2 z = + k z = + k z = Ainsi la droite D et le plan P sont sécants en A de coordonnées ; ; x = Exemple : Soient P le plan d équation 2x 3y + z 2 = 0 et D la droite admettant pour représentation paramétrique : y = 3 k z = + k avec k R Les coordonnées des points d intersection de P et D sont les solutions du système : 2x 3y + z 2 = 0 0 k = 0 x = x = Ainsi la droite D et le plan P ne sont pas sécants, ils sont donc strictement parallèles y = 3 k y = 3 k z = + k z = + k Page 4

5 4 Géométrie dans un repère orthonormé a Définitions Orthogonalité est orthonormé si : Le repère ( O;OI,OJ,OK ) Les droites ( OI ), ( OJ ) et ( ) perpendiculaires OI = OJ = OK = Théorème 8 : Dans un repère orthonormé ( O;i, j,k ) Soit le vecteur u de coordonnées ( ) u = a + b + c Soient A( x A ; y A; z A ) et ( ) OK sont deux à deux : a;b;c Alors : x ; y ; z Alors : ( ) ( ) ( ) A A A A = x x + y y + z z Le produit scalaire de deux vecteurs u ( x, y, z) v x y z ( ', ', ') dans un repère ( O;i, j,k ) et orthonormé est le nombre xx ' + yy ' + zz ' On le note u v Les propriétés du produit scalaire dans l espace sont les mêmes que dans le plan (voir livre pages 302 à 305) Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul Deux droites de l espace sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux Théorème 9 : Deux vecteurs A et AC non nuls sont orthogonaux si et seulement si les droites ( A ) et ( AC ) perpendiculaires sont Attention! Ne pas confondre droites orthogonales et droites perpendiculaires : deux droites de l espace sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes Deux droites de l espace peuvent donc être orthogonales et ne pas être sécantes (elles ne sont alors pas coplanaires) Un vecteur non nul est normal à un plan s il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan Théorème 0 : Un vecteur est normal à un plan si et seulement s il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan Théorème 0 bis : Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan b Détermination d un vecteur normal à un plan Dans un RON, on considère 3 points non alignés A,, C et on souhaite déterminer les coordonnées ( a; b; c) ( 0;0;0) d un vecteur normal n au plan ( AC ) On procède en démarrant ainsi : a n b c est normal à ( AC ) M ( AC), AM n = 0 n A = 0 n AC = 0 La première équivalence résulte de la définition : n est normal à ( AC ) s il est orthogonal à tout vecteur du plan ( AC ) La deuxième équivalence résulte du théorème 0 6 C trois points dans un RON Les vecteurs A + 3 et 5 Exemple Soient A( 3; 2;4), ( 3;; ), ( 2;;3 ) pas colinéaires donc les points A, et C déterminent un plan Soit n un vecteur normal à ( AC ) 5 AC + 3 ne sont a n n b est normal à ( AC ) A = 0 c n AC = 0 6 a + 3 b 5 c = a + b = c 6a + 3b = 5c b = c 3 5a + 3b c = 0 5a + 3b = c a = 4c ( l l ) 2 a = 4c Il n y a pas de condition sur «c», le système a donc une infinité de triplets solutions, ce qui n est pas surprenant car il y a une infinité de vecteurs normaux à un plan (qui sont tous colinéaires) Si on «prend» c = 3, on a alors b = 9 et a = 2 (ici on peut prendre n importe quelle valeur pour c, excepté 0 car sinon a = b = c = 0 ) MNP avec Comme d habitude, on fera attention de ne pas choisir c au début (exercice : chercher un vecteur n normal à ( ) MN ( 2;3;) et MP ( 2;3;5 ) ; aurait-on pu choisir c = au début? ) Page 5

6 Théorème : Dans ( O;i, j,k ) c Vecteur normal et équation cartésienne d un plan orthonormé, le vecteur n de coordonnées ( a;b;c ) est un vecteur normal au plan ( P ) si et seulement si ( P ) a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0 où d est un réel quelconque Voir dans le livre page 308 pour la démonstration ou l admettre Retour sur l exemple ( AC ) admet pour vecteur normal 2 n 9 3 Une équation de ( AC ) est donc de la forme 2x 9y + 3z + d = 0 et on détermine d en remplaçant dans cette équation par les coordonnées du point A ( d = 4) Remarque : ce théorème donne une équivalence, on peut donc l utiliser dans les deux sens (on connaît un vecteur normal, on en déduit la forme d une équation du plan ; on connaît une équation du plan, on en déduit un vecteur normal) Exemple 2 Soit P : 2x + y 3z + 5 = 0 Donner une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire à P et passant par A( ; 3;0) 2 Solution n est un vecteur normal à P donc n est un vecteur directeur de toute droite perpendiculaire à P (faire un 3 x = + 2t dessin) On a donc comme représentation paramétrique de : y = 3 + t, t R z = 0 3t x = 5 t Exemple 3 Soit ( A ) la droite de représentation paramétrique y = 3 + 2t, t R Donner une équation du plan P z = C ;2;4 perpendiculaire à ( A ) passant par ( ) Solution u 2 0 est un vecteur directeur de ( A ) donc un vecteur normal à tout plan perpendiculaire à ( A ) (faire un dessin) Une équation du plan P est donc de la forme x 2y d 0 d Plans parallèles + + = et on détermine d à l aide des coordonnées du point C ( 3) Théorème 2 : Deux plans P et P sont parallèles si, et seulement si, un vecteur normal de P est colinéaire à un vecteur normal de P Remarque : penser au plan du sol, au plan du plafond et à leurs vecteurs normaux Exemple 4 Soient P : 2x + y 3z + 5 = 0 et P : x + y 3z = 0 2 P et P 2 sont-ils sécants? d = 2 Solution n et n2 ne sont pas colinéaires donc les plans ne sont pas parallèles (donc ils sont sécants en une droite D) = et A ( 2;;4 ) Exemple 5 Soient P: 2x y 3z 5 0 P ' parallèle à P et passant par A Vérifier que A n appartient pas à P puis déterminer une équation du plan Solution = 2 0 Les coordonnées de A ne vérifient pas l équation de P donc A n appartient pas à P 2 n est normal à P, donc à P ' puisque les plans sont parallèles, donc P ' a une équation de la forme 2x + y 3z + d = 0 et 3 on détermine d avec les coordonnées du point A ( d = 7) e Plans perpendiculaires Par définition, deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux Attention! Ne pas confondre plans sécants et plans perpendiculaires (si deux plans sont perpendiculaires alors ils sont sécants ; la réciproque est évidemment fausse ; faire un dessin) Page 6