GELE2112 Chapitre 5 : Circuits RL et RC

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1 GELE2112 Chapitre 5 : Circuits RL et RC Gabriel Cormier, Ph.D. Université de Moncton Hiver 2009 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

2 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

3 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

4 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

5 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

6 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

7 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

8 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Tension et courant Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

9 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

10 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Circuits RL et RC Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

11 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

12 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse échelon d un circuit RL Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

13 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse échelon d un circuit RL Réponse naturelle d un circuit RC Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

14 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse échelon d un circuit RL Réponse naturelle d un circuit RC Réponse échelon d un circuit RC Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

15 Introduction Contenu Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits électriques : inductances et condensateurs. Inductance Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Condensateur Caractéristiques Tension et courant Puissance et énergie Circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse échelon d un circuit RL Réponse naturelle d un circuit RC Réponse échelon d un circuit RC Procédure générale Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

16 Inductance Inductance S oppose aux variations de courant Composée de boucles de fil enroulée autour d un noyau Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

17 Inductance Inductance Symbole : L Unité : Henry [H] + v i Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

18 Inductance Inductance La relation qui relie la tension au courant pour une inductance est : v = L di dt Selon cette équation : Si le courant est constant, la dérivée di dt la tension v = 0. (1) = 0, alors Caractéristique importante : L inductance se comporte comme un court-circuit en présence d un courant constant (DC). Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

19 Inductance Inductance Autre constatation importante : Il ne peut pas y avoir de variation instantanée de courant dans une inductance. On peut approximer : di dt = i t Si t = 0, alors v =, ce qui est impossible. Caractéristique importante : Il ne peut pas y avoir de variation instantanée de courant dans une inductance. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

20 Inductance Inductance Conséquence de cette caractéristique : Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

21 Inductance Inductance Conséquence de cette caractéristique : i Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

22 Inductance Inductance Conséquence de cette caractéristique : i i Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

23 Inductance Inductance Conséquence de cette caractéristique : i i Un arc électrique se produit : danger! Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

24 Inductance La source de courant du circuit suivant ne produit pas de courant pour t < 0 et un pulse 10te 5t A pour t > 0. + i v 100mH 1 Tracer le graphe du courant. 2 À quel instant le courant est-il maximum? 3 Tracer la courbe de la tension. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

25 Inductance Le graphe du courant : Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

26 Inductance Pour trouver le point où le courant est maximum, il faut dériver l équation du courant et mettre égal à zéro. di dt = 10( 5te 5t + e 5t ) = 10e 5t (1 5t) = 0 On solutionne pour trouver t = 0.2s. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

27 Inductance La tension : Le graphe : v = L di dt = 0.1 ( 10e 5t (1 5t) ) = e 5t (1 5t) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

28 Inductance La tension : Le graphe : v = L di dt = 0.1 ( 10e 5t (1 5t) ) = e 5t (1 5t) Variation instantanée de tension Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

29 Inductance Courant dans une inductance en fonction de la tension Courant en fonction de la tension Si la tension est donnée : v dt = L di L di = v dt ce qui donne : i L (t) = 1 L t t 0 v dτ + i(t 0 ) Le plus souvent, t 0 = 0, et on peut simplifier : i L (t) = 1 L t 0 v dτ + i(0) (2) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

30 Inductance Courant dans une inductance en fonction de la tension La source de tension du circuit suivant ne produit pas de tension pour t < 0 et une tension 20te 10t V pour t > 0. On suppose i = 0 pour t < 0. v i 100mH 1 Tracer le graphe de la tension. 2 Calculer l expression du courant dans l inductance. 3 Tracer la courbe du courant. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

31 Inductance Courant dans une inductance en fonction de la tension 1. Le graphe de la tension : v(t) Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

32 Inductance Courant dans une inductance en fonction de la tension 2. Pour calculer le courant, il faut appliquer l équation 2. Le courant initial i(0) = 0. t i = 1 20τe 10τ dτ [ ] e 10τ t = 200 (10τ + 1) = 2(1 10te 10t e 10t ) A Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

33 Inductance Courant dans une inductance en fonction de la tension 3. Le graphe du courant est le suivant : i(t) Temps (s) Le courant tend vers une valeur finale de 2A. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

34 Inductance Puissance et énergie dans une inductance Puissance On obtient la puissance à l aide de l équation 1, p = vi = Li di dt ou, si on remplace le courant, ( 1 t ) p = v v dτ + i(t 0 ) L t 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

35 Inductance Puissance et énergie dans une inductance Énergie Pour le calcul de l énergie, on peut obtenir l équation correspondante selon : p = dw dt = Lidi dw = Li di dt En faisant l intégrale, on obtient : w = 1 2 Li2 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

36 Inductance Puissance et énergie dans une inductance Pour le circuit de l exemple 1, 1 Tracer la courbe de p et w. 2 Pendant quel intervalle l inductance emmagasine-t elle de l énergie? 3 Pendant quel intervalle l inductance fournit-elle de l énergie? 4 Quelle est l énergie maximale emmagasinée dans l inductance? Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

37 Inductance Puissance et énergie dans une inductance 1. Pour obtenir la puissance, il suffit de multiplier les équations de tension et de courant. Le graphe est : p(t) = vi = (e 5t (1 5t))(10te 5t ) = 10te 10t (1 5t) p(t) Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

38 Inductance Puissance et énergie dans une inductance On calcule l énergie : w(t) = 1 2 Li2 = 0.5(0.1)(10te 5t ) 2 = 5t 2 e 10t ce qui donne le graphe suivant : w(t) Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

39 Inductance Puissance et énergie dans une inductance 2. L inductance emmagasine de l énergie si l énergie augmente. D après le graphe, l énergie augmente de 0 à 0.2s. C est aussi l intervalle pendant lequel p > L inductance fournit de l énergie si l énergie diminue. D après le graphe, c est la période où t > 0.2s. C est aussi l intervalle pendant lequel p < Pour trouver l énergie maximale, il faut dériver l équation de l énergie. dw dt = 10te 10t 50t 2 e 10t On solutionne pour trouver t = 0.2s. À cet instant, l énergie est w(0.2) = 27.07mW. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

40 Condensateur Définitions Condensateur Composant électrique qui permet d emmagasiner de l énergie électrique. Possède une capacitance C, et son unité est le Farad [F]. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

41 Condensateur Définitions Condensateur Composant électrique qui permet d emmagasiner de l énergie électrique. Possède une capacitance C, et son unité est le Farad [F]. 1000µF, max 10V Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

42 Condensateur Définitions Condensateur Condensateurs typiques dans des circuits électriques sont de l ordre du µf. Cependant, dans certaines voitures électriques, on utilise des condensateurs ayant des capacités de l ordre du kf. Peut fournir un énorme pulse d énergie au décollage. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

43 Condensateur Définitions Condensateur La relation entre le courant et la tension d un condensateur est : i = C dv dt (3) Deux observations importantes : 1 La tension ne peut pas varier de façon instantanée. 2 Si la tension est constante, le courant est nul. Caractéristique importante : Un condensateur se comporte comme un circuit ouvert en présence d une tension constante (DC). Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

44 Condensateur Définitions Tension, puissance et énergie La tension en fonction du courant est : v(t) = 1 C t La puissance dans un condensateur est : p(t) = vi = Cv dv ( 1 dt = i C 0 i dτ + v(0) (4) t 0 ) i dτ + v(0) (5) Et l énergie est : w(t) = 1 2 Cv2 (6) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

45 Condensateur La tension aux bornes d un condensateur de 0.5µF est : 0 t 0 v(t) = 4t 0 t 1 4e (t 1) 1 t 1 Donner l expression du courant, de la puissance et de l énergie du condensateur. 2 Tracer le graphe de la tension, du courant, de la puissance et de l énergie. 3 Donner l intervalle de temps pendant lequel de l énergie est emmagasinée dans le condensateur. 4 Donner l intervalle de temps pendant lequel le condensateur fournit de l énergie. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

46 Condensateur On utilise l équation 3 pour calculer le courant : ( )(0) = 0 t 0 i(t) = ( )(4) = 2µA 0 t 1 ( )( 4e (t 1) ) = 2e (t 1) µa 1 t Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

47 Condensateur La puissance : 0 t 0 p(t) = v(t)i(t) = (4t)(2) = 8tµW 0 t 1 (4e (t 1) )( 2e (t 1) ) = 8e 2(t 1) µw 1 t Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

48 Condensateur L énergie : 0 t 0 w(t) = 0.5(0.5)(4t) 2 = 4t 2 µj 0 t 1 0.5(0.5)(4e (t 1) ) 2 = 4e 2(t 1) µj 1 t Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

49 Condensateur Les graphes : 4 v(t) Temps (s) 2 x 10 6 i(t) Temps (s) 1 x 10 5 p(t) Temps (s) 4 x 10 6 w(t) 2 0 Gabriel Cormier 0 (UdeM) GELE2112 Chapitre Hiver / 95

50 Condensateur 3. L énergie est emmagasinée dans le condensateur si la puissance est positive. Il s agit de l intervalle 0 à 1s. 4. L énergie est fournie par le condensateur pendant la période de puissance négative, pour t >. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

51 Combinaisons série-parallèle Combinaisons série-parallèle Inductances On additionne des inductances en série : L eq = L 1 + L 2 + L 3 + (7) En parallèle, la relation est : L eq = ( ) 1 + (8) L 1 L 2 L 3 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

52 Combinaisons série-parallèle Combinaisons série-parallèle Capacitances La relation pour des capacitances en série est : C eq = ( ) 1 + (9) C 1 C 2 C 3 Pour des capacitances en parallèle : C eq = C 1 + C 2 + C 3 + (10) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

53 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle des circuits RL et RC On analyse ici les circuits composés de sources, résistances et une inductance ou une capacitance. Il y deux étapes principales d analyse : 1 Réponse naturelle : des circuits où l énergie emmagasinée dans une inductance ou une capacitance est soudainement dissipée dans une résistance (ou un circuit résistif). 2 Réponse forcée : des circuits où on applique soudainement une source DC (tension ou courant) à une inductance ou une capacitance. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

54 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL La source de courant produit un courant constant, et avant l analyse (t < 0), l interrupteur est fermé depuis longtemps. Ceci veut dire que les tensions et courants ont atteint des valeurs constantes. t = 0 i + I s R 0 L v R Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

55 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL Rappel : une inductance qui est traversée par un courant constant aura une tension nulle à ses bornes : court-circuit. Pour t < 0 : L inductance se comporte comme un court-circuit : i L (0 ) = I s. v L (0 ) = 0 (court-circuit). Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

56 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL À t = 0, on ouvre l interrupteur. Le circuit est le suivant : i + L v R Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

57 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL Pour calculer l équation du courant, on applique la loi de Kirchhoff des tensions à la boucle. On obtient : v L + v R = 0 L di dt + Ri = 0 ce qui est une équation différentielle de premier ordre. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

58 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL On réarrange l équation pour solutionner : On intègre de chaque côté, L di di = Ri dt i = R L dt i(t) i(t 0 ) di t i = R t 0 L dt ce qui donne : et finalement, ln ( ) i(t) = R i(0) L t i(t) = i(0)e (R/L)t (11) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

59 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL Rappel : le courant dans une inductance ne peut pas changer instantanément. Alors, i(0 + ) = i(0 ) = I s Donc, l équation du courant devient : i(t) = I s e (R/L)t (12) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

60 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL Le graphe du courant est : I s i(t) 0 0 Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

61 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL La tension aux bornes de l inductance est : { 0 t < 0 v(t) = I s Re (R/L)t t > 0 À t = 0, il y a un changement instantané de tension aux bornes de l inductance. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

62 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RL Réponse naturelle : circuit RL La puissance dissipée dans la résistance est : p = vi = Ri 2 = I 2 s Re 2(R/L)t, t 0 + L énergie dissipée dans la résistance est : w = t 0 p dx = 1 2 LI2 s ( 1 e 2(R/L)t), t 0 + Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

63 Réponse naturelle des circuits RL et RC Constante de temps Constante de temps On peut réécrire l équation du courant sous une autre forme : I s e (R/L)t I s e t/τ où τ = constante de temps = L R Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

64 Réponse naturelle des circuits RL et RC Constante de temps Constante de temps Paramètre important : Permet de déterminer si un circuit a atteint le régime permanent. Après 1 constante de temps, les valeurs sont à e 1 du max, ou 37%. Après 5 constantes de temps, les valeurs sont à e 5 du max, 0.7% : régime permanent. Régime permanent Un circuit est en régime permanent après 5 constantes de temps. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

65 Réponse naturelle des circuits RL et RC Constante de temps Régime transitoire En régime transitoire, les valeurs de tensions et courants varient encore. Régime transitoire Un circuit est en régime transitoire si moins de 5 constantes de temps se sont écoulées. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

66 Réponse naturelle des circuits RL et RC Pour le circuit suivant, l interrupteur est à la position fermée depuis longtemps. À t = 0, on ouvre l interrupteur. t = 0 2Ω i o + 20A 0.1Ω i L 2H 10Ω v o 40Ω 1 Calculer i L (t), pour t 0. 2 Calculer i o (t), pour t Calculer v o (t), pour t Le pourcentage de l énergie totale emmagasinée dans l inductance qui est dissipée dans la résistance de 10Ω. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

67 Réponse naturelle des circuits RL et RC 1. Le circuit à t = 0 : 2Ω i o + 20A 0.1Ω i L 2H 10Ω v o 40Ω Tout le courant de la source traverse l inductance : i L (0 ) = 20A Et puisque dans une inductance, il ne peut pas y avoir de changement instantané de courant, i L (0 + ) = i L (0 ) = 20A. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

68 Réponse naturelle des circuits RL et RC 2. Le circuit à t = 0 + : 2Ω i o + i L 2H 10Ω v o 40Ω R eq Pour calculer la constante de temps, il faut remplacer le réseau de résistances par une résistance équivalente : R eq = 2 + (40 10) = 10Ω Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

69 Réponse naturelle des circuits RL et RC La constante de temps est : τ = L R eq = 0.2s Puisqu il s agit d un circuit RL, on obtient : i L (t) = 20e 5t A, t 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

70 Réponse naturelle des circuits RL et RC 3. Pour calculer i o, on utilise un diviseur de courant : i o = i L(t) = 4e 5t A, t 0 + Seulement valide pour t 0 + : changement instantané de courant dans la résistance. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

71 Réponse naturelle des circuits RL et RC 3. On obtient la tension v 0 en appliquant la loi d Ohm : v o = 40i o = 160e 5t V, t 0 + Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

72 Réponse naturelle des circuits RL et RC 4. La puissance dissipée dans la résistance de 10Ω est : p 10Ω (t) = v2 o 10 = 2560e 10t W, t 0 + Ce qui veut dire que l énergie totale dissipée dans la résistance est : w 10Ω = L énergie initiale dans l inductance est : e 10t dt = 256 J w L (0) = 1 2 Li2 L(0) = 1 2 (2)(20)2 = 400 J Et donc le rapport est : 256 = 0.64 = 64% 400 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

73 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RC Réponse naturelle d un circuit RC La réponse naturelle d un circuit RC est semblable à celle d un circuit RL. Le circuit RC de base est donné à la figure suivante. R 1 V g + v c t = 0 C i R Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

74 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RC Réponse naturelle d un circuit RC Rappel : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert si une tension constante est appliquée à ses bornes. Pour t = 0 : i C = 0 v C = V g Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

75 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RC Réponse naturelle d un circuit RC À t = 0, l interrupteur change de position. Le circuit est : + i v c C R Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

76 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RC Réponse naturelle d un circuit RC On fait la somme des courants au noeud supérieur : C dv dt + v R = 0 On utilise la même technique que celle utilisée pour le circuit RL, et on obtient : v(t) = v(0)e t/rc, t 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

77 Réponse naturelle des circuits RL et RC Réponse naturelle d un circuit RC Réponse naturelle d un circuit RC On peut simplifier cette équation à l aide de deux observations : v(0) = v(0 + ) = v(0 ) = V g = V 0 τ = RC et donc, v(t) = V 0 e t/τ, t 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

78 Réponse naturelle des circuits RL et RC Pour le circuit suivant, l interrupteur est à la position initiale depuis longtemps. À t = 0, on commute l interrupteur. 20kΩ 32kΩ i o + t = V v c 0.5µF v o 240kΩ 60kΩ 1 Calculer v C (t), pour t 0. 2 Calculer v o (t), pour t Calculer i o (t), pour t L énergie dissipée dans la résistance de 60kΩ. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

79 Réponse naturelle des circuits RL et RC 1. Le circuit à t = 0 : 20kΩ + 100V v c La tension aux bornes du condensateur à t = 0 est v C (0 ) = 100V. Pour une capacitance, c est aussi la tension à t = 0 +. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

80 Réponse naturelle des circuits RL et RC 2. Le circuit à t = 0 + : 32kΩ i o + + v c 0.5µF v o 240kΩ 60kΩ Pour calculer la constante de temps, il faut trouver la résistance équivalente. R eq = 32 + (240 60) = 80kΩ Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

81 Réponse naturelle des circuits RL et RC La constante de temps est : L équation de la tension est : τ = RC = ( )( ) = 0.04s v C (t) = 100e 25t V, t 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

82 Réponse naturelle des circuits RL et RC 2. Pour calculer v o (t), on utilise un diviseur de tension. v o (t) = v C(t) = 60e 25t V, t 0 + Seulement valide pour t 0 +, puisque la tension aux bornes de la résistance à t = 0 est 0 : changement instantané dans la tension. 32kΩ i o + + v c 0.5µF v o 240kΩ 60kΩ Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

83 Réponse naturelle des circuits RL et RC 3. On calcule le courant à l aide de la loi d Ohm. i o (t) = v o(t) = e 25t ma, t kΩ i o + + v c 0.5µF v o 240kΩ 60kΩ Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

84 Réponse naturelle des circuits RL et RC 4. La puissance dissipée dans la résistance de 60kΩ est : p 60k (t) = Ri 2 = ( )i 2 = 60e 50t mw, t 0 + et l énergie totale : w 60k = 0 p(t) dt = 1.2 mj Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

85 Réponse échelon des circuits RL et RC Réponse échelon Représente le comportement des circuits RL ou RC lorsqu on applique soudainement une source de tension ou de courant au circuit. Comportement lorsqu on allume des sources. Très importante dans le calcul du délai des circuits intégrés. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

86 Réponse échelon des circuits RL et RC Réponse échelon d un circuit RL Réponse échelon d un circuit RL Circuit utilisé pour illustrer le comportement d un circuit RL lorsqu on applique soudainement une source de tension : R t = 0 + V s i v L L L inductance pourrait avoir un courant initial I 0 non nul, qui proviendrait d un autre circuit. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

87 Réponse échelon des circuits RL et RC Réponse échelon d un circuit RL Réponse échelon d un circuit RL L équation de la tension dans l inductance et le courant du circuit pour t > 0 (LKT) : V s = Ri + L di dt La solution est : i(t) = V ( s R + I 0 V ) s e (R/L)t R Cette équation indique que le courant initial à t = 0 est I 0, et que le courant final est V s /R, ce qui fait du sens, puisque l inductance se comportera alors comme un court-circuit. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

88 Réponse échelon des circuits RL et RC Réponse échelon d un circuit RL Réponse échelon d un circuit RL La tension aux bornes de l inductance est L di dt : v L (t) = L di dt = (V s I 0 R)e t/τ, t 0 + Est-ce que la valeur de v L à t = 0 + fait du sens? À t = 0+, le courant dans le circuit est I 0. En appliquant la LKT, on obtient : V s + RI 0 + v L = 0 ou v L = V s RI 0 ce qui est la même chose que ce qu on obtient par l équation précédente si t = 0. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

89 Réponse échelon des circuits RL et RC Pour le circuit suivant, l interrupteur est à la position initiale depuis longtemps. À t = 0, on commute l interrupteur. 2Ω + t = 0 24V i L v L 200mH 10Ω 8A 1 Calculer i L (t), pour t 0. 2 Calculer v L (0 + ). 3 Est-ce que cette tension fait du sens? 4 À quel temps la tension de l inductance sera-t-elle 24V? Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

90 Réponse échelon des circuits RL et RC 1. Le circuit pour t = 0 : + i L v L 10Ω 8A Pour t = 0, l inductance se comporte comme un court-circuit, et donc I 0 = 8A. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

91 Réponse échelon des circuits RL et RC Le circuit pour t = 0 + : 2Ω + 24V i L v L 200mH La constante de temps est : τ = L R = = 0.1 s Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

92 Réponse échelon des circuits RL et RC En appliquant l équation du courant, on obtient : i(t) = V ( s R + I 0 V ) s e (R/L)t R = 12 + ( 8 12)e 10t = 12 20e 10t A, t 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

93 Réponse échelon des circuits RL et RC 2. La tension v L est : Donc v L (0 + ) = 40V. v L (t) = L di dt = 40e 10t V, t 0 + Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

94 Réponse échelon des circuits RL et RC 3. À t = 0+, l inductance fournit un courant de 8A dans le sens anti-horaire. Il y a donc une chute de tension de (8)(2) = 16V dans la résistance. Si on additionne la chute de tension dans la source, on obtient v L (0 + ) = = 40V. 2Ω + 24V i L v L 200mH Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

95 Réponse échelon des circuits RL et RC 4. On cherche le temps où v L = 24V. On a : 24 = 40e 10t t = 1 ( ) ln = ms 24 À ce moment-là, la tension aux bornes de l inductance est égale à la tension aux bornes de la source. Le courant est donc nul (on peut vérifier en plaçant cette valeur de t dans l équation de i L (t)). Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

96 Réponse échelon des circuits RL et RC Réponse échelon d un circuit RC Réponse échelon d un circuit RC Circuit pour analyser la réponse échelon d un circuit RC. t = 0 + I s R v c C i La tension initiale v(0 ) aux bornes du condensateur peut être non nulle. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

97 Réponse échelon des circuits RL et RC Réponse échelon d un circuit RC Réponse échelon d un circuit RC Somme des courants au noeud supérieur, après avoir fermé l interrupteur : C dv C dt + v c R = I s On peut résoudre cette équation différentielle pour obtenir : v C (t) = RI s + (V 0 RI s )e t/(rc), t 0 où V 0 = v(0 + ) = v(0 ). Le courant dans la capacitance est : i C = C dv C(t) dt = ( I s V ) 0 e t/rc, t 0 + R Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

98 Réponse échelon des circuits RL et RC Pour le circuit suivant, l interrupteur est à la position initiale depuis longtemps. À t = 0, on commute l interrupteur. 20kΩ 8kΩ 40kΩ + t = 0 i o 40V 60kΩ v o 0.25µF 160kΩ 75V 1 Calculer v o (t), pour t 0. 2 Calculer i o (t), pour t 0 +. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

99 Réponse échelon des circuits RL et RC 1. On analyse en premier le circuit à t = 0. La tension initiale du condensateur est : v C (0 ) = (40) = 30 V = v C(0 + ) 20kΩ + 40V 60kΩ v o Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

100 Réponse échelon des circuits RL et RC Circuit pour t 0 + : circuit équivalent Norton. 8kΩ 40kΩ i o 160kΩ 75V 40kΩ 1.5mA Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

101 Réponse échelon des circuits RL et RC La tension v T H de circuit ouvert est donnée par : v T H = 160 ( 75) = 60 V La résistance Thévenin (Norton) est : Le courant Norton est donc : R T H = = 40 kω i N = v T H R T H = 1.5 ma Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

102 Réponse échelon des circuits RL et RC Après cette simplification du circuit, on peut appliquer les équations développées auparavant. La constante de temps est τ = RC = 0.01s. v C (t) = RI s + (V 0 RI s )e t/(rc) = ( )( ) + (30 ( )( ))e 100t = e 100t V, t 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

103 Réponse échelon des circuits RL et RC 2. L équation du courant est obtenue en appliquant directement l équation. i o (t) = i C (t) = 2.25e 100t ma, t 0 + Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

104 Réponse générale des circuits RL et RC Réponse générale des circuits RL et RC Si on analyse de plus près les équations du courant du circuit RL et de la tension du circuit RC, on s aperçoit que les équations sont de la même forme : x(t) = x f + [x(t 0 ) x f ]e t/τ (13) où x est la variable d intérêt, x f est la valeur finale (t > 5τ) et x(t 0 ) est la valeur initiale. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

105 Réponse générale des circuits RL et RC Réponse générale des circuits RL et RC La procédure générale de résolution des circuits RL et RC est la suivante : 1 Identifier la variable d intérêt du circuit. Pour un circuit RL, le plus facile est le courant dans l inductance ; pour un circuit RC, le plus facile est la tension aux bornes de la capacitance. 2 Déterminer la valeur initiale de la variable d intérêt. 3 Calculer la valeur finale de la variable d intérêt. 4 Déterminer la constante de temps du circuit. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

106 Réponse générale des circuits RL et RC Pour le circuit suivant, l interrupteur est à la position initiale depuis longtemps. À t = 0, on commute l interrupteur. 400kΩ 20Ω + t = 0 90V i C v C 0.5µF 60Ω 40V 1 Calculer la valeur initiale de v C. 2 Calculer la valeur finale de v C. 3 Calculer la constante de temps du circuit (t > 0). 4 Donner l expression de v C (t) pour t 0. 5 Donner l expression de i C (t) pour t À quel temps v C (t) devient-il 0? 7 Tracer le graphe de v C (t) et i C (t). Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

107 Réponse générale des circuits RL et RC 1. Pour t < 0, la capacitance se comporte comme un circuit ouvert. + 20Ω v C 60Ω 40V La tension aux bornes du condensateur est la même tension que celle aux bornes de la résistance de 60Ω. v C (0 ) = ( 40) = 30 V = v C(0 + ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

108 Réponse générale des circuits RL et RC 2. La valeur finale de la tension aux bornes du condensateur est la tension de la source de 90V, puisque le condensateur se comportera comme un circuit ouvert. v C ( ) = 90 V = v f 400kΩ + 90V v C Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

109 Réponse générale des circuits RL et RC 3. La constante de temps est : τ = RC = 0.2 s 4. On a toutes les données nécessaires pour obtenir l expression de v C (t) : v C (t) = v f + [v(t 0 ) v f ]e t/τ = 90 + [ 30 90]e t/0.2 = e 5t V, t 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

110 Réponse générale des circuits RL et RC 5. Méthode générale pour calculer i C (t) : i C ( ) = 0 (capacitance est un circuit ouvert à t = ). i C (0 + ) = i R, à t = 0 +. Il ne faut pas oublier que la tension initiale aux bornes du condensateur est 30V. 400kΩ 90V i C + v C 0.5µF 30 + Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

111 Réponse générale des circuits RL et RC La tension aux bornes de la résistance est 90 ( 30) = 120V. Le courant est donc : i(0 + ) = 120 = 0.3 ma On applique la même équation générale (équation 13) : i C (t) = i f + [i(t 0 ) i f ]e t/τ = 0 + [0.3 0]e t/0.2 = 0.3e 5t ma, t 0 + On obtiendrait la même solution en appliquant la dérivée i = C dv dt. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

112 Réponse générale des circuits RL et RC 6. Pour calculer le temps où v C (t) = 0, on utilise l équation de v C (t) : v C (t) = e 5t = 0 qu on solutionne pour trouver t = 57.45ms. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95

113 Réponse générale des circuits RL et RC 7. Les graphes sont les suivants : 100 v(t) (V) Temps (s) i(t) (ma) Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 5 Hiver / 95