Résolution approchée de problèmes de dynamique en régime transitoire par superposition modale F. Louf

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1 Résoluion approchée de problèmes de dynamique en régime ransioire par superposiion modale F. Louf Dans cee fiche, on monre commen calculer une soluion approchée à un problème de dynamique ransioire par une echnique de superposiion modale e à l aide de la méhode des élémens finis. L éude sera menée sur une barre en racion puis on monrera commen faire cela dans CATIA.

2 Démarche générale La démarche ressemble foremen à celle proposée au chapire??. Puisque, dans le cas général, il n es pas possible de calculer les modes propres e fréquences propres eaces, nous commençons par calculer une base modale approchée par la méhode des élémens finis. On obien alors, conrairemen au modèle coninu, un nombre fini N ddl de modes propres. En praique, pour une srucure complee, on se limie à nombre de modes bien inférieur au nombre de degrés de liberé. Le calcul de la soluion par superposiion modale, consise donc à chercher la soluion sous la forme (dans le cas unidimensionel) : N ddl u(, ) = φ n ()g n () n= Cela nécessie ensuie de résoudre des équaions différenielles découplées en g n (), ici en nombre fini, où apparaissen au second membre les effors imposés projeés dans la base modale. Nous verrons qu il es possible de résoudre eacemen ces équaions différenielles sous l hypohèse, peu conraignane en praique, d effors imposés linéaires par morceau. Dans la suie, nous illusrons cee méhode sur l eemple de la barre en racion, soumise à un effor en bou, de ype «échelon». Rappel du problème coninu = = L FIG. La barre e les condiions au limies La srucure éudiée dans ce chapire es unidimensionnelle. Il s agi d une barre soumise à un chargemen de racion compression. Ses caracérisiques géomériques e maériau son noées : L : longueur ; S : secion ; E : module d Young ; ρ : masse volumique. On noe u(, ) le déplacemen d un poin d abscisse de la barre à l insan. La figure présene la srucure dans son environnemen. Le déplacemen, en =, es imposé nul : u(, ) = [, T] où [, T] représene l inervalle emporel d éude. Le chargemen es appliqué en bou de Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf

3 poure. On le noe F(). On obien alors : ES u u ρs = [, L] [, T] () u(, ) = e ES u (L, ) = F() [, T] () u(, ) = e u (, ) = [, L] (3) 3 Formulaion variaionnelle On sui la démarche classique. Pour évier oue confusion avec le champ de viesse, on noe le champ es u. Le problème posé es alors équivalen à : ES L u u d = ρs L u u d u (4) u(, ) = e ES u (L, ) = F() [, T] (5) u(, ) = e u (, ) = [, L] (6) En inégran par parie, e en uilisan la relaion enre déplacemen e effor imposé en = L, on obien la formulaion variaionnelle suivane : u /u (, ) = F()u (L) = ES L u u L u d + ρs u d (7) u(, ) = [, T] (8) u(, ) = e u (, ) = [, L] (9) 4 Discréisaion par élémens finis 4. Choi du maillage On divise le domaine [, L] en N segmens à deu nœuds de aille idenique. On eprime alors le champ de déplacemen recherché à l aide des foncions de base élémens finis : u(, ) = [N()]{u()} () Le veceur {u()} représene les valeurs au nœuds du champ de déplacemen à l insan. On choisi u (, ) de la même forme : u (, ) = [N()]{u ()} () 4. Discréisaion des équaions d équilibre En poursuivan la démarche classiquemen uilisée pour des problèmes ne faisan pas inervenir le emps, on inrodui u(, ) e u (, ) de la forme choisie dans la formulaion variaionnelle. Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 3

4 Avan oue chose, il fau définir : L équaion (7) devien alors : u (, ) = [N ()]{u()} e u (, ) = [N ()]{u ()} () u (, ) = [N()]{ü()} (3) F(){u ()} T [N(L)] T ={u ()} T ES + {u ()} T ρs L L [N ()] T [N ()]d{u()} [N()] T [N()]d{ü()} (4) On nomme respecivemen K, M, {F()}, les marices de raideurs, de masse, e le veceur des forces généralisées définis par : K = ES M = ρs L L [N ()] T [N ()]d {F()} = [N(L)] T F() (5) [N()] T [N()]d (6) Le problème es donc de rouver le veceur {u()} avec [N()]{u()} =, vérifian, {u ()} : ] {u ()} [K{u()} T + M{ü()} {F()} = (7) [N()]{u()} = [, T] (8) {u()} = {} e { u()} = {} (9) En conséquence, cela nous perme de nous ramener à la résoluion de N + équaions différenielles couplées, sur ou l inervalle d éude : M{ü()} + K{u()} = {F()} u(, ) = [N()]{u()} = [, T] {u()} = {} e { u()} = {} 5 Calcul des modes approchés 5. Recherche de soluions synchrones On recherche ou d abord les soluions de l équaion d équilibre élémens finis homogène de ype : u(, ) = g()[n()]{φ} () soi encore : {u()} = g(){φ} () En injecan cee forme de soluion dans l équaion d équilibre élémens finis homogène on obien : M{φ}g () + K{φ}g() = () Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 4

5 5. Obenion des pulsaions propres e des modes propres soi encore Monrons que la consane λ définie par : g () M{φ} = K{φ} (3) g() λ = g () g() (4) es réelle e négaive. Dans le cas général où le mode propre {φ} es complee, {φ} = {a} + i{b}, on obien : ( ) ( ) λm {a} + i({b} = K {a} + i{b} (5) En pré-muliplian cee dernière équaion par {φ} = {a} i{b}, on rouve : ) ( ) ) ( ) λ ({a} T i{b} T M {a} + i{b} = ({a} T i{b} T K {a} + i{b} λ = {a}t K{a} + {b} T K{b} {a} T M{a} + {b} T M{b} (6) (7) Les marices K e M son symériques e posiives. Par conséquen l epression précédene implique que la consane λ es réelle e négaive. On pose donc λ = ω. 5. Obenion des pulsaions propres e des modes propres Les pulsaions propres son les ω n elles que les soluions du sysème linéaire suivan soien non-riviales : (K ω M){φ} = {} (8) où {φ} doi oujours vérifier des condiions au limies. En effe, celles-ci n on pas encore éé prises en compe. Dans le cas où elles son homogènes, il suffi d éliminer dans les marices K e M les lignes e colonnes associées au degrés de liberé bloqués. Dans le cas présen, on éliminera la première ligne e la première colonne. Les marices K e M de dimensions (N + ) (N + ) deviennen donc les marices K e M de dimensions N N. Les pulsaions propres ω n son alors elles que les soluions du sysème linéaire suivan soien non-riviales : ( K ωn M){ φ} = {} (9) e donc elles que : K ω n M) = (3) Les pulsaions propres ω n du modèle élémens finis son donc les N racines réelles e posiives d un polynôme de degré N en ω. Comme dans le cas coninu, on les range dans un ordre croissan. Une fois que les ω n son calculées, il rese à calculer les veceurs { φ n } els que : ( K ωn M){ φ n } = {} (3) Le veceur {φ} s obien alors sans difficulé à parir de { φ n } en enan compe de la condiion en =. Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 5

6 5.3 Orhogonalié 5.3 Orhogonalié Comme pour un sysème coninu, deu modes disincs son orhogonau. Soien deu modes disincs {φ n } e {φ p }. Par définiion, ils vérifien : (K ωn M){φ n} = {} (3) (K ωp M){φ p} = {} (33) En pré-muliplian (3) par {φ p } T e (33) par {φ n } T, e en faisan la différence des équaions obenues on obien : {φ p } T K{φ n } {φ n } T K{φ p } = ωn {φ p} T M{φ n } ωp {φ n} T M{φ p } (34) La ransposée d une marice éan cee même marice, on a : {φ p } T K{φ n } = {φ n } T K T {φ p } (35) {φ p } T M{φ n } = {φ n } T M T {φ p } (36) Enfin, puisque les marices de raideur e de masse son symériques : = (ωn ωp){φ n } T M{φ p } (37) Les modes n e p éan par hypohèse disincs, l équaion précédene condui à : {φ n } T M{φ p } = pour n p (38) ce qui monre que les modes n e p son orhogonau. On en dédui immédiaemen que : {φ n } T K{φ p } = pour n p (39) 5.4 Masse modale e raideur modale On défini la masse modale M n e la raideur modale K n par : Le mode {φ n } vérifie : e donc : On obien immédiaemen la relaion : M n = {φ n } T M{φ n } (4) K n = {φ n } T K{φ n } (4) (K ω nm){φ n } = {} (4) {φ n } T K{φ n } = ω n{φ n } T M{φ n } (43) ω n = K n M n (44) Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 6

7 5.5 Normalisaion 5.5 Normalisaion Comme dans le problème coninu, on peu choisir φ n els que : le veceur propre {φ n } soi de norme uniaire ; la masse modale associée M n soi uniaire ; la raideur modale associée K n soi uniaire. 5.6 Mise en œuvre On considère un maillage simple consiué de 3 segmens à deu nœuds. Le nombre de degré de liberé es donc égal à Calcul des marices K e M On commence par calculer les marices élémenaires K e e M e qui valen : K e = ES [ ] L e [N ()] T [N ()]d = ES L e L e [ ] Le M e = ρsl e [N()] T [N()]d = ρsl e /3 /6 /6 /3 (45) (46) Par assemblage, on obien les marices K e M de dimensions 4 4, avec L e = L/N = L/3 : K = 3ES L M = ρsl Prise en compe des condiions au limies /3 /6 /6 /3 /6 /6 /3 /6 /6 /3 La condiion au limies, en = éan homogène, il suffi d éliminer la première ligne e la première colonne des marices de masse e de raideur : K = 3ES (49) L M = ρsl /3 /6 /6 /3 /6 (5) 3 /6 /3 (47) (48) Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 7

8 5.6 Mise en œuvre Calcul des pulsaions propres Calculons le déerminan de K ω M : K ω M = On obien donc l équaion : en ayan posé : 6c L ω 9 3c L ω 3c ω L 8 8 6c L ω 9 3c 3c ω L 8 ω L 8 3c ω L 9 = (5) a 3 ab = a(a 3b ) = a(a 3b)(a + 3b) = (5) a = 6c L ω 9 b = 3c L ω 8 Les pulsaions propres son donc les soluions posiives de : (53) (54) a = 6c L ω 9 = (55) a 3b = (6 3 3)c (4 + 3)ω = (56) L 8 a + 3b = ( )c (4 3)ω = (57) L 8 On obien finalemen les rois pulsaions propres données dans le ableau rangées par ordre croissan. La comparaison avec les pulsaions eaces calculées via le modèle coninu perme de calculer les pourcenages d erreur commises. Pulsaion Esimée Eace Erreur c ω L c π, % 3 L c ω L 3 c 3π 3 9, 3% L c ω 3 L c 5π 6, 7% 3 L TAB. Pulsaions esimées par élémens finis, à l aide d un maillage à 3 élémens, comparées au pulsaions eaces obenues Calcul des modes propres Le mode propre { φ n } associé à la valeur propre ω n vérifie : ( K ω n M){ φ n } = {} (58) Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 8

9 5.6 Mise en œuvre Calcul de {φ } Eplicions les ermes a e b : a = 6c L ω 9 = 6c L 8c L = c 8 3 L b = 3c L ω 8 = 3c L c L = c 8 L Le sysème à résoudre devien alors : φ φ 3 φ 4 = Bien-enendu, les équaions du sysème ne son pas indépendanes. On peu, par eemple fier φ 4 =. Rappelons que φ =. On obien alors : {φ } = 3 Calcul de {φ } Eplicions les ermes a e b : a = 6c L ω 9 = 6c L 7c = 9 L (63) b = 3c L ω 8 = 3c L c 7 L 8 = c 9 L (64) Le sysème à résoudre devien alors : φ φ (65) φ 4 (59) (6) (6) (6) On peu, par eemple fier φ 4 =. Rappelons que φ =. On obien alors : {φ } = (66) Calcul de {φ 3 } Eplicions les ermes a e b : a = 6c L ω 3 9 = 6c L 8c L 4 3 = c 8 3 L 4 3 b = 3c L ω 3 8 = 3c L c L 4 3 = c 8 L 4 3 Le sysème à résoudre devien alors : φ 3 φ 3 3 φ 4 3 = (67) (68) (69) Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 9

10 5.6 Mise en œuvre Bien-enendu, les équaions du sysème ne son pas indépendanes. On peu, par eemple fier φ 4 3 =. Rappelons que φ 3 =. On obien alors : {φ 3 } = (7) 3 Tracé des modes On a représené les rois modes calculés précédemmen sur la figure. Ces modes son à comparer au modes eacs racés sur la figure Mode Mode Mode 3 - FIG. Les rois modes calculés par élémens finis Mode Mode Mode 3 -. FIG. 3 Les quare premiers modes pour une barre de longueur uniaire Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf

11 6 Calcul de la réponse ransioire par superposiion modale 6. Equaion d équilibre élémens finis Nous avons monré que l équaion d équilibre élémens finis éai de la forme : M{ü()} + K{u()} = {F()} (7) 6. Forme de la soluion recherchée On cherche une soluion vérifian les équaions d équilibre élémens finis de la forme : {u()} = N g n (){φ n } (7) n= où N es le nombre de degrés de liberé du modèle élémens finis. Il correspond ici au nombre d élémens dans le cas unidimensionnel puisque un degré de liberé es bloqué par l encasremen. Les veceurs {φ n } son les modes propres du modèle élémens finis. En dérivan deu fois, on obien le veceur des valeurs nodales de l accéléraion : {ü()} = N n= g n (){φ n} (73) 6.3 Equaions différenielles vérifiées par g n En injecan cee forme de soluion dans l équaion d équilibre élémens finis, on obien : M N n= g n (){φ n} + K N g n (){φ n } = {F()} (74) n= En muliplian à gauche par un mode propre {φ p } T on obien, du fai de l orhogonalié des modes : {φ n } T M{φ n }g n () + {φ n} T K{φ n }g n () = {φ n } T {F()} (75) Il fau donc mainenan résoudre N équaions différenielles découplée du second ordre en g n : M n g n() + K n g n () = F n () (76) où M n e K n son les respecivemen les masses modales e raideurs modales associées au mode n avec : ce qui condui enfin à : ω n = K n M n (77) g n () + ω n g n() = f n () (78) Le erme f n es appelé faceur de paricipaion du mode n à l eciaion. Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf

12 6.4 Résoluion des équaions différenielles 6.4 Résoluion des équaions différenielles On fai ici l hypohèse que l effor imposé varie linéairemen par morceau, ce qui en praique n es pas rès conraignan. On inrodui donc une discréisaion emporelle permean de représener les effors eérieurs. On noe le pas de emps, r les piques de emps. On écri la linéarié du faceur de paricipaion f n : f n () = fn r r+ + fn r+ r L équaion différenielle à résoudre sur un pas devien alors : (79) g n n g n() = fn r r+ + f r+ r n (8) g n ( r ) = gn r (8) g n ( r) = ġ r n (8) où les deu dernières équaions représenen la coninuié de g n e de sa dérivée emporelle g n. Puisque les condiions iniiales à = son connues, il suffi d inégrer epliciemen le problème (8, 8, 8) sur un pas, e par récurrence, oues les valeurs gn r e ġr n seron connues. Soluion de l équaion homogène associée à (8) La soluion générale de l équaion homogène associée à (8) es du ype : g n () = Acos(ω n ( r )) + Bsin(ω n ( r )) (83) Soluion pariculière de (8) pas de emps : Une soluion pariculière de l équaion (8) es linéaire sur le g n () = ωn(f r r+ n Soluion complèe du problème (8, 8, 8) + fn r+ r ) (84) La soluion complèe es la somme de la soluion pariculière e de la soluion homogène. Il rese mainenan à prendre en compe les condiions iniiales. g n ( r ) = g r n = A + ω nf r n (85) g n ( r) = ġ r n = Bω n + ω n f r+ n fn r (86) On en dédui : A = g r n ω nf r n (87) B = ġr n ω n ω 3 n f r+ n fn r (88) Eplicions mainenan les relaions donnan gn r+ e ġn r+ en foncion des effors connus sur le pas fn r e fr+ n, e des condiions iniiales gn r e ġr n. Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf

13 6.5 Cas d un chargemen en déplacemen On rouve, en posan θ n = ω n : g r+ n =cos(θ n )gn r + sin(θ n) ġn r θ n ( sin(θn ) ) + cos(θ n ) fn r θ + ( sin(θ n) )f n ωn n r+ (89) θ n ġ r+ n = θ n sin(θ n )g r n + cos(θ n) ġ r n + (θ ωn n sin(θ n ) + cos(θ n ) )fn r + ( cos(θ n ))fn r+ (9) La relaion de récurrence donnan le veceur {gn r+, ġn r+ } T en foncion des veceurs connus {gn r, ġr n }T e {fn r, fr+ n } T es donc : { } [ ]{ } gn r+ sin(θ cos(θ n ) n) θ = n gn r ġn r+ θ n sin(θn) cos(θn) ġn r [ ] { } + sin(θ n) θ n cos(θ n ) sin(θn) θ n fn r (9) ωn θ n sin(θn) + cos(θ n ) cos(θn) fn r+ On peu donc conclure que, sous l hypohèse d effors imposés linéaires par morceau, l inégraion des équaions différenielles es eace e ne nécessie aucune résoluion complee. 6.5 Cas d un chargemen en déplacemen Dans le cas où es aucun effor n es imposé e où un déplacemen sur une zone donnée es imposé variable dans le emps, par eemple ici en = L, on obien comme précédemmen des équaions différenielles (homogènes cee fois) du second ordre en g n à résoudre. Par conre, elles son couplées par la condiion au limies. On a en effe la relaion en = L : [N(L)] T {u()} = N n= g n ()φ N+ n = u d () (9) où φ N+ n désigne la valeur du mode n au dernier noeud de la barre. On ne pourra rouver de soluions à ces équaions que si la forme emporelle du déplacemen peu êre représenée par une base de foncions oscillanes de dimensions finie. Dans le cas général, il faudrai donc faire une approimaion en imposan le bon déplacemen au piques de emps, mais par les valeurs inermédiaires. Les soluions générales de chacune des équaions différenielles son donc : elles que : g n () = A n cos(ω n ( r )) + B n sin(ω n ( r )) (93) N n= N n= g n ( r )φ N+ n = u r d (94) g n ( r+ )φ N+ n = u r+ d (95) Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 3

14 6.6 Troncaure de la base modale En remplaçan g n par sa forme générale, on obien le sysème d équaions : N n= N n= A n φ N+ n = u r d (96) A n cos(ω n ) + B n sin(ω n )φ N+ n = u r+ d (97) Les équaions de coninuié enre deu pas de emps imposan déjà un nombre d équaions suffisan pour rouver ous les A n e B n, on ne pourra pas rouver de soluion. 6.6 Troncaure de la base modale Souven, le nombre de degré de liberé es rop imporan e on limie le nombre de mode pris en compe dans la base modale, c es à dire que l on écri : 6.7 Mise en œuvre {u()} = en n= g n (){φ n } avec Ñ < N (98) Le maillage que nous uiliserons dans cee parie compore rois segmens. Les élémens son linéaires de sore que les résulas éablis au paragraphe 5.6 peuven êre uilisés. On connaî donc déjà : ω, ω, ω 3 e {φ }, {φ }, {φ 3 } (99) Le chargemen ici considéré es un effor de ype échelon en bou de poure. Nous connaissons donc la soluion eace du problème posé Calcul des masses modales Puisque les paricipaions modales f n () son définies par : il nous fau ou d abord calculer les rois masses modales : f n () = {φ n} T {F()} M n () M n = {φ n } T M{φ n } () Rappelons que la marice de masse M e les veceurs {φ n } vallen dans nore cas : M = ρsl 4 4 {φ } = 3 8 {φ } = {φ 3} = 3 () Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 4

15 6.7 Mise en œuvre On obien alors : M = {φ } T M{φ } = ρsl 8 M = {φ } T M{φ } = ρsl 8 M 3 = {φ 3 } T M{φ 3 } = ρsl 8 [ ] ] 4 4 ] [ [ 3 (3) (4) (5) Les masses modales obenues son alors : M = ρsl 3 (4 + 3) (6) M = ρsl Calcul des paricipaions modales à l eciaion (7) M 3 = ρsl 3 (4 3) (8) Les paricipaions modales son mainenan données par l équaion (). En enan compe du fai que l effor imposé es de ype échelon e donc égal à F pour, on rouve : f () = {φ } T {F()} = 3F [ ] 3 M ρsl = 6F ρsl(4 + 3) f () = {φ } T {F()} = 3F [ ] M ρsl = 3F ρsl f 3 () = {φ 3 } T {F()} = 3F [ ] 3 M 3 ρsl = 6F ρsl(4 3) (9) () () Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 5

16 6.7 Mise en œuvre Préliminaires Définir une discréisaion emporelle permean de représener les effors imposés Boucle sur les modes Calculer le veceur {G r n } = { g n () ġ n () Calculer θ n = ω n [ ] sin(θ cos(θ n ) n) θ Former la marice A n = n θ n sin(θn) cos(θn) [ ] sin(θ n) θ Former la marice B n = n cos(θ n ) sin(θn) θ n θ n sin(θn) + cos(θ n ) cos(θn) Boucle sur les piques de emps Calculer le veceur {F r,r+ n } = Calculer le veceur {G r+ n Décaler les indices {G r+ n } {Gr n } Incrémener r Incrémener n { } } fn r fn r+ } = A n{g r n } + B n{f r,r+ n } TAB. Algorihme associé à l inégraion eplicie des équaions de mouvemen Inégraion des équaions différenielles Les paricipaions modales f n () son ici consanes du fai que l effor imposé es un échelon. On pourrai donc se conener d un pas de emps pour calculer la soluion finale g n (T) e ġ n (T) à parir des condiions iniiales. Touefois, comme on s inéresse à l évoluion des déplacemens e viesses dans la srucure au cours du emps, on choisi de diminuer ce pas de emps pour obenir plus d informaions inermédiaires. Le programme permean de calculer les rois veceurs {gn, r ġn} r T à chaque pique de emps es donné dans le ableau Epression de la réponse Les veceurs des valeurs nodales des champs de déplacemen e de viesse son obenus via la relaion (7) : {u( r )} = { u( r )} = 3 gn{φ r n } () n= 3 ġn{φ r n } (3) n= Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 6

17 6.7 Mise en œuvre u(, ) u(, ) (a) N = 3, N = u(, ) u(, ) (b) N =, N = 3 u(, ) u(, ) (c) N =, N = 6 u(, ) u(, ) (d) N = 4, N = FIG. 4 Effe d un raffinemen du maillage Les champs de déplacemen e viesse son obenus à l aide des veceurs des valeurs nodales Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 7

18 6.7 Mise en œuvre e des foncions de formes élémens finis : Tracé des résulas u(, r ) = [N()] u (, r) = [N()] 3 gn r {φ n} (4) n= 3 ġn r {φ n} (5) A ire d eemple on considère un chargemen de ype «échelon». Dans un premier emps on éudie l effe d un raffinemen du maillage. Ensuie on s inéresse à l effe d une roncaure de la base modale sur la qualié de la soluion approchée, en déplacemen e en viesse. Pour cela on défini deu erreurs mesuran un écar avec la soluion de référence connue. n= Eude de convergence Sur la figure 4, on a racé les champs de déplacemen e de viesse obenus pour différenes discréisaions spaiales e emporelles. Nous avons choisi de conserver le rappor enre le nombre d élémens e le nombre de piques de emps, pour racer les différenes figures. Le premier cas correspond à l éude mené au paragraphe précéden. Effe d une roncaure modale Sur la figure 5, on éudie l influence d une roncaure de la base modale élémens finis. On considère un maillage à 4 élémens, e on race les champs de déplacemen e de viesse sur le domaine [, L] [, T] pour différens nombres de modes pris en compe. L allure générale du champ de déplacemen ne semble que peu affecée. Par conre lorsque le nombre de mode pris en compe augmene, des oscillaions de haues fréquences son visibles au niveau du champ de viesse. Il semble donc que ne pas prendre en compe la oalié des modes pourrai améliorer la qualié de la soluion approchée en viesse. Pour conforer cee impression, on défini une erreur absolue en déplacemen e une erreur absolue en viesse mesuran l écar enre la soluion eace (u e, u e ) e la soluion approchée (un e, u en ) : avec : N e u (Ñ) = N i= j= N e u (Ñ) = N i= j= [ u e ( il N, jt N ) u en ( il N, jt N )] (6) [ u e ( il N, jt N ) u en ( il N, jt N )] (7) u( i, j ) = [N( i )] en N n= g j n{φ n } (8) en N u ( i, j ) = [N( i )] ġn j {φ n} (9) n= Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 8

19 6.7 Mise en œuvre u(, ) u(, ) (a) Ñ = u(, ) u(, ) (b) Ñ = u(, ) u(, ) (c) Ñ = 3 u(, ) u(, ) (d) Ñ = 4 FIG. 5 Effe d une roncaure de la base modale élémens finis On consae ou d abord que la qualié du champ de déplacemen augmene régulièremen lorsque Ñ croî. Ainsi le minimum de l erreur e u es aein pour Ñ = N = 4. Par conre, en ce qui concerne le champ de viesses, le résula n es pas si clair. La perurbaion de la réponse en viesse par les modes à haue fréquence se radui par une foncion e u don le minimum n es Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 9

20 pas aein pour Ñ = N = 4, mais pour, dans ce cas Ñ = 4. Ce résula peu s epliquer par le fai que pour un maillage donné, les premières pulsaions son rès correcemen esimés. Il en es d ailleurs de même pour les modes. Par conre la qualié des pulsaions suivanes se dégrade progressivemen. La figure 7 illusre ce poin pour un maillage à 4 élémens. Ainsi, enir compe de ous les modes dans la base modale revien à enir compe de modes de rès médiocre qualié e peu donc, finalemen dégrader la soluion..5 Erreur en déplacemen Ñ 5 (a) Evoluion de l erreur en déplacemen Erreur en viesse Ñ (b) Evoluion de l erreur en viesse FIG. 6 Evoluion des erreurs en déplacemen e u (Ñ) e viesse e u(ñ) en foncion du nombre de modes pris en compe dans la base modale élémens finis 7 En praique dans Caia On suppose ici que le maillage, les propriéés e maériau de la srucure éudiée son déjà définis. 7. Calcul de la base modale Pour commencer, il fau calculer la base modale : Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf

21 7. Définiion du chargemen Pulsaions ω n Pulsaions approchées Pulsaions eaces Numéro du mode 3 4 FIG. 7 Evoluions des pulsaions eaces e esimées en foncion du numéro du mode Insérer un Cas de fréquence à parir du menu Inserion e laisser cochée la case Condiions au limies ; Préciser les condiions au limies ; En double cliquan sur la Soluion Modale conenue dans le Cas de fréquences, préciser le nombre de modes à calculer, c es-à-dire la aille de la base dans laquelle on cherchera la réponse dynamique dans la suie ; bien évidemmen, ce nombre de modes ne peu ecéder le nombre de degrés de liberé du problème élémens finis. 7. Définiion du chargemen Ensuie, il fau définir la zone e la variaion emporelle du chargemen. La zone es définie dans un Cas saique qu il n es pas nécessaire de calculer, la dépendance emporelle es définie dans un fichier à deu colonnes à imporer. Insérer un Cas saique à parir du menu Inserion ; si l on veu, on peu faire poiner les condiions au limies vers celles du Cas de fréquences ; Créer le chargemen du ype souhaié : force surfacique, disribuée, ou aure, selon le ype de modèle uilisé ; les déplacemens imposés ne son pas accepées dans la suie de la démarche ; ce poin es ou à fai logique éan donné la méhode uilisée (cf paragraphe 6.5). 7.3 Calcul de la réponse en régime ransioire Enfin, il fau définir le calcul de dynamique ransioire : base modale uilisée, chargemen (direcion, zone d applicaion, ype, e dépendance au emps), amorissemen. Insérer un Cas de réponse dynamique en emps à parir du menu Inserion ; préciser que la base modale uilisée es celle conenue dans le Cas de fréquences ; Imporer le fichier décrivan la dépendance emporelle de l effor à l aide de l ouil Modulaion en emps ; ce fichier doi avoir l aspec proposé dans le ableau 3 ; les insans repérés ne son pas forcémen régulièremen espacés ; l insan iniial es donné = s ; l insan final de l éude souhaiée doi correspondre au dernier insan donné. Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf

22 7.4 Pos raiemen En double cliquan sur Eciaion des charges, dans la fenêre qui apparaî : préciser le chargemen à ecier en cliquan dans l arbre sur le chargemen défini dans le cas saique ; préciser la modulaion en emps en cliquan sur la modulaion en emps insérée précédemmen (elle se rouve sous le noeud Modulaions de l arbre. En double cliquan sur Amorissemen dans l arbre, on peu préciser le ype d amorissemen e le coefficien d amorissemen reenu ; par défau l amorissemen es modal e la valeur donnée es idenique pour chaque mode : %. Remarque. On aurai pu insérer plusieurs chargemens dans un cas saique e définir plusieurs modulaions associées. (s) F E-6 5E-6 6E-6 E-5 TAB. 3 Eemple de fichier donnan la modulaion emporelle de l effor imposé : cas d un effor injecé de ype carré 7.4 Pos raiemen Le pos raiemen peu se faire de différenes façons : il es oujours possible de générer une image (cliquer droi sur Soluion de réponse dynamique ransioire puis Généraion d images) présenan les déplacemens, viesses, accéléraions, conraines, ec e de spécifier dans la fenêre ouvere l Occurence, c es à dire l insan auquel on souhaie représener le champ choisi ; il es ensuie possible de jouer un film en cliquan sur l icône Animaion ; dans ce cas, pour voir l évoluion emporelle d un champ spaial préalablemen racé, il fau spécifier (bouon Plus) que ce son oues les occurences qui doiven êre racées ; il es égalemen possible de racer l évoluion emporelle d une quanié de ype déplacemen locale ; pour cela, cliquer droi sur Soluion de réponse dynamique ransioire e choisir Générer un affichage D ; dans la fenêre qui s ouvre : cliquer sur fin puis dans la fenêre Sélecion de données, choisir le(s) degré(s) de liberé à racer : sélecionner le noeud souhaié sur le maillage qui s affiche dans la fenêre de calcul (fichier.catanalysis) e préciser la ou les direcions à racer ; dans l ongle configuraion, préciser si l on souhaie racer le déplacemen, la viesse ou l accéléraion ; Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf

23 7.5 Comparaison dans la fenêre d affichage D, un graphique es racé : il es possible de modifier les aes (échelles, ires, ec) en double cliquan dessus ; on peu ensuie eporer la courbe au forma ee (cliquer droi, puis choisir eporer). 7.5 Comparaison Une comparaison a éé effecuée enre différens calculs élémens finis e une soluion de référence obenue via un modèle coninu non amori. Les différens calculs élémens finis corresponden à : un maillage à rois élémens e une base modale conenan les rois premiers modes ; un maillage à 5 élémens e une base modale conenan les rois premiers modes ; un maillage à 5 élémens e une base modale conenan les di premiers modes. La figure 8 monre la convergence des déplacemens élémens finis vers la soluion issue du modèle coninu. FIG. 8 Evoluions du déplacemen en bou en foncion du emps : soluion eace e soluions approchées obenues avec différens maillages e ailles de base modale Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 3

24 7.5 Comparaison Icône Nom de l ouil Descripion sommaire Force disribuée Pression Encasremen Glissemen surfacique Conraines avancées Modulaion en emps Calcul Animaion Appliquer une force en N de façon disribuée sur un suppor Appliquer une pression en N/m sur une surface Bloquer ous les ddl d un suppor Bloquer ous les ddl selon la normale à un suppor Bloquer les ddl choisis d un suppor Préciser la dépendance au emps de l effor appliqué via un fichier Lancer le calcul de oues ou d une parie des analyses Animer le racé d un champ dépendan du emps TAB. 4 Ouils uilisés dans Caia e icônes correspondanes dans les aeliers uilisés Calcul dynamique dans Caia Elémens de héorie - F. Louf 4