BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES TERMINALES ES et L DURÉE 3 HEURES. Coefficients 5, 7 ou 4. Année scolaire

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1 BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES TERMINALES ES et L DURÉE HEURES Coefficients, ou Année scolaire - L usage de la calculatrice est autorisé Il est rappelé aux candidats que la clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l appréciation de la note chiffrée. Les candidats de ES ayant la spécialité mathématiques doivent faire l exercice les concernant sur une copie distincte. Ce sujet comporte pages. et il doit être rendu avec votre copie Numéro de candidat : Durée heures Page sur pages Année

2 EXERCICE. Commun à tous les candidats sur points Un club de remise en forme propose, outre l accès aux salles de musculation, des cours collectifs pour lesquels un supplément est demandé lors de l inscription. Une fiche identifie chaque membre et son type d abonnement : avec ou sans cours collectif. Une étude sur les profils des membres de ce club a montré que : % des membres sont des hommes. % des membres sont inscrits aux cours collectifs. Parmi les femmes, membres de ce club, seulement % ne sont pas inscrites aux cours collectifs. On choisit une fiche au hasard et on considère les évènements suivants : H : «la fiche est celle d un homme», F : «la fiche est celle d une femme», C : «la fiche est celle d un membre inscrit à des cours collectifs».. Donner les probabilités suivantes : p(h), p F (C), p F (C) et les reporter sur un arbre pondéré modélisant la situation qui sera complété au cours de la résolution de l exercice.. a. Déterminer p(f C). b. Montrer que p(h C)=,8. c. On tire la fiche d un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours collectifs? d. Compléter l arbre pondéré de la question.. On choisit au hasard une fiche d un membre non inscrit aux cours collectifs. Quelle est la probabilité que ce soit celle d un homme? (donner la valeur décimale arrondie au centième). EXERCICE. Commun à tous les candidats sur points PARTIE A L objet de cet exercice est l étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique. La courbe ( ) C f donnée en page suivante est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction f définie sur l intervalle [ ; ] par : f (x)=e,x+,. De même, la courbe ( C g ) est la représentation graphique de la fonction g définie sur l intervalle [ ; ] par : g(x)=,x+,.. On appelle h la fonction définie par h(x) = f (x) g(x). a. Calculer h (x) oùh désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l intervalle [ ; ]. b. Étudier le signe de h (x) pour x appartenant à l intervalle [ ; ]. En déduire que la fonction h est strictement monotone sur cet intervalle. c. Justifier que l équation h(x) = admet une solution unique α sur l intervalle [ ; ] et donner à l aide d une calculatrice une valeur approchée de α à près (on ne demande pas de justification sur la méthode d obtention de cette valeur). d. Déduire de l étude précédente les valeurs arrondies à des coordonnées du point d intersection F de ( C f ) et ( C g ).. Dans la suite du problème, on prendra α =, et f (α)=g(α)=,9. a. Soient les points C( ; f (α)) et E(α ; ). Donner une valeur arrondie à de l aire du rectangle OCFE exprimée en unités d aire. b. Interpréter graphiquement le nombre c. Montrer que α f (x) dx=, α f (x) dx. ( f (α) e, ) et en donner la valeur arrondie au centième. Durée heures Page sur pages Année

3 PARTIE B La fonction f définie dans la PARTIE A représente la fonction de demande d un produit ; elle met en correspondance le prix f (x) exprimé en milliers d euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix. La fonction g définie dans la PARTIE A est la fonction d offre de ce produit ; elle met en correspondance le prix g(x) exprimé en milliers d euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs. On appelle prix d équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note p le prix d équilibre et q la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc :f (q )=g(q ).. Déduire des résultats donnés dans la PARTIE A les valeurs deq et de p.. Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer au-dessus du prix p réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition s exprime ici en milliers d euros. a. Sur le graphique ci dessous (à rendre avec la copie) : indiquer les valeurs q et p sur les axes de coordonnées ; hachurer le domaine dont l aire s écrit : q f (x) dx p q b. Calculer, en milliers d euros, le surplus des consommateurs. À rendre avec la copie Numéro de candidat : q f (x) dx p q. Il y prix Figure à compléter C g F C f - x O quantité - Durée heures Page sur pages Année

4 EXERCICE. Commun à tous les candidats sur points Le nombre d arbres d une forêt, en milliers d unités, est modélisé par la suite (u n ) où u n désigne le nombre d arbres, en milliers, au cours de l année ( + n). En, la forêt possède arbres. Afin d entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d entretien des forêts décide d abattre chaque année % des arbres existants et de replanter arbres.. Montrer que la situation peut être modélisée par : u = et pour tout entier naturel n par la relation :u n+ =,9u n +.. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n a. Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison,9. b. Calculer v. Déterminer l expression dev n en fonction de n. c. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n = (,9) n. Déterminer le nombre d arbres de la forêt en. On donnera une valeur approchée arrondie à l unité.. a. Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l égalité b. En déduire la monotonie de la suite.. Déterminer la limite de la suite (u n ). Interpréter. u n+ u n =, (,9) n.. On cherche à déterminer l année à partir de laquelle le nombre d arbres de la forêt aura dépassé de % le nombre d arbres de la forêt en. Pour cela on construit l algorithme suivant. VARIABLES N EST_DU_TYPE NOMBRE U EST_DU_TYPE NOMBRE DEPASSEMENT EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME N PREND_LA_VALEUR U PREND_LA_VALEUR 8 DEPASSEMENT PREND_LA_VALEUR 9 TANT_QUE (U<DEPASSEMENT) FAIRE DEBUT_TANT_QUE N PREND_LA_VALEUR N+ U PREND_LA_VALEUR FIN_TANT_QUE AFFICHER N FIN_ALGORITHME a. Compléter les lignes 8 et de cet algorithme pour pouvoir répondre à la question.(recopier les lignes concernées sur votre copie) b. A l aide de votre calculatrice donner l année cherchée. Durée heures Page sur pages Année

5 EXERCICE. Pour les candidats de ES n ayant pas la spécialité Maths et pour le candidat de L sur points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. [ On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ; ]. Le plan est muni d un repère orthonormal. La courbe ( ) C f représentée ci-contre est celle de la fonction f. ( ) Les points A( ; ), B ( ; e) et C ( ; ) appartiennent à la courbe ( ) Cf C f. Le point de la courbe ( ) C f d abscisse ( ) a une ordonnée strictement positive. La tangente (T ) en A à la courbe ( ) C f passe par le - point D( ; ). La tangente en B à la courbe ( ) (T ) - C f est parallèle à l axe des abscisses. - - Cocher la bonne réponse, aucune justification n est demandée Une réponse exacte rapporte point. Une réponse fausse enlève, point. L absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée est ramenée à zéro.. On note f () le nombre dérivé de la fonction f en. Quelle est sa valeur? a. f ()= b. f ()= c. f ()=. À quel intervalle appartient le réel I = f (x) dx? a. [ ; ] b. [ ; ] c. [ ; 9]. La tangente (T) a pour équation? a. y =x+ b. y = x+ c. y =x. Parmi les trois courbes ci-dessous, l une est la représentation graphique de la fonction dérivée f de la fonction f. Laquelle? a. La courbe (C ) b. La courbe (C ) c. La courbe (C ). Parmi les trois courbes[ ci dessous, l une est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f, F étant définie sur l intervalle ; ]. Laquelle? a. La courbe (C ) b. La courbe (C ) c. La courbe (C ) O C - C - C O O - - Durée heures Page sur pages Année

6 EXERCICE. Pour les candidats de ES ayant la spécialité Maths sur points Partie A On note Γ le graphe représenté ci-dessous et M sa matrice obtenue en prenant les sommets dans l ordre alphabétique. La matrice M est également donnée. B C E G F H M 8 = A D Dire, en justifiant votre réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :. Le graphe Γ est connexe.. Le graphe Γ contient un sous-graphe complet d ordre.. Il est possible de parcourir ce graphe en passant une fois et une seule par chaque arête.. Il existe au moins un chemin de longueur qui relie chaque sommet à chacun des sept autres sommets du graphe.. il y a chemins de longueur qui relient le sommet E à chacun des huit sommets du graphe. Partie B Le graphe précédent représente un réseau de lignes d autobus. Les sommets du graphe désignent les arrêts. Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minutes, entre deux arrêts (correspondances comprises). G C F B E H 9 A D Déterminer, à l aide de l algorithme de Dijkstra, la durée minimum pour aller de l arrêt A à l arrêt H et donner un trajet correspondant.on représentera cela dans un tableau Durée heures Page sur pages Année

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