Correction du Bac Blanc de janvier 2014

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1 Terminale S orrigé du Bac Blanc de janvier 04 orrection du Bac Blanc de janvier 04 Exercice : Restitution organisée de connaissances On suppose connus les résultats suivants : on dit que deux évènements A et B sont indépendants si P(A B) P(A)P(B); si A et B sont deux évènements, alors P(B) P(A B)+P(A B). Supposons que les évènements A et B soient indépendants. On a P(B) P(A B)+P(A B) P(B) P(A)P(B)+P(A B) car A et B sont indépendants P(B)( P(A)) P(A B) P(B)P(A) P(A B) Ainsi, les évènements A et B sont indépendants. D où, Si A et B sont deux évènements indépendants, alors les évènements A et B le sont aussi. Exercice : Le plan est muni d un repère orthonormé (O ; # ı, # j). On considère une fonction f dérivable sur l intervalle [ ; ]. On dispose des informations suivantes : f(0) ; la dérivée f de la fonction f admet la courbe représentative ci-dessous. Vrai. En effet, pour tout réel x de l intervalle [ ; ], la courbe est située au-dessous de l axe des abscisses. On en déduit que f (x) 0, x [ ; ]. # j O # i. Vrai. En effet, pour tout réel x de l intervalle [ ; ], la courbe est située au-dessus de l axe des abscisses. On en déduit que f (x) 0, x [ ; ]. Ainsi, la fonction f est croissante sur l intervalle [ ; ]. 3. Faux. En effet, pour tout réel x de l intervalle ] ; 0], la courbe est située strictement au-dessus de l axe des abscisses. On en déduit que f (x) > 0, x ] ; 0]. Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur l intervalle ] ; 0]. Pour tout réel x de l intervalle ] ; 0[, on a f(x) < f(0). Puisque f(0),f(x) < x ] ; 0[. 4. Soit la courbe représentative de la fonction f. Vrai. En effet, f(0) et f (0) donc une équation de la tangente à en 0 est y f (0)(x 0)+f(0), c est-à-dire y x. La tangente à la courbe au point d abscisse 0 passe effectivement par le point de coordonnées ( ; 0). Il suffit de remplacer... Exercice 3 : Pré-requis : Pour tout nombre complexe Z, Z ZZ R, ( ) ( ) Dans une base orthonormale, deux vecteurs e # x et e # x y y si e # e # xx +yy 0. sont orthogonaux si, et seulement /7 janvier 04

2 Terminale S orrigé du Bac Blanc de janvier 04 Dans le plan muni d un repère (O ; # u, # v), on considère les points A et B d affixes respectives et et on définit l application f qui à tout point M d affixe z et différent de A associe le point M d affixe z z(z ) z.. a. L affixe du point P image par f du point P d affixe +i est : f(+i) (+i)(+i) (+i) ( i)( +i) i +i+i+ i i i i( +i) ( i)( +i) i + i Ainsi, l affixe du point P est i. b. Pour montrer que les droites (AP) et (BP ) sont parallèles, il suffit de prouver que les vecteurs AP et BP sont colinéaires. On a A( ; 0),B( ; 0),P ( ; ) et P ( ; ). Donc, AP ( ) et ( ) BP. D où, ( ) ( ) 0. On en déduit que les vecteurs AP et BP sont colinéaires et par conséquent, les droites (AP) et (BP ) sont parallèles. c. Pour montrer que les droites (AP) et (PP ) sont perpendiculaires il suffit de prouver que les vecteurs AP et BP sont orthogonaux. On a AP ( ) et ( ) PP. En utilisant le pré-requis, AP PP ( )()+() 0. On en déduit que les vecteurs AP et PP sont orthogonaux et par conséquent, les droites (AP) et (PP ) sont perpendiculaires.. Pour déterminer l ensemble des points invariants par f, on résout z z z z z(z ) z z z(z ) z(z ) et z zz z zz z et z z z et z z R et z M est un point de l axe des réels et M A Ainsi, l ensemble des points invariants par f est l axe des réels privé du point A. 3. a. Soit z (z )(z ) (z )(z ) z R, d après le pré-requis. Ainsi, pour tout nombre complexe z, le nombre (z )(z ) est un nombre réel. b. Soit z, /7 janvier 04

3 Terminale S orrigé du Bac Blanc de janvier 04 z z(z) + z z z + z(z)+(z) z z zzz+z z z zz (z )(z ) Mais, d après le pré-requis et la question précédente, on a zz z R et (z )(z ) R d après la question précédente. Ainsi, zz (z )(z ) R. Donc, pour tout nombre complexe z, le nombre complexe z + z est réel. c. D après la question précédente, pour tout z, il existe un réel k tel que z + z k, soit z + k(z ) z M z B k(z M z A ) BM k AM. Les vecteurs AM et BM sont donc colinéaires. 4. Soit M un point quelconque non situé sur l axe des réels. Prouvons que les vecteurs AM et MM sont orthogonaux. Soit z x+iy la forme algébrique de l affixe de M (z R) : L affixe du vecteur AM est z M z A z (x)+iy. d où, AM ( ) x. y L affixe du vecteur MM est z M z M z z. z z z(z ) z z z(z ) z(z ) z zz z zz +z z z +z z (x+iy)+(x+iy) x+iy x+iy +x+iy (x) iy 4iy (x) iy AM MM (x ) ( ) 4iy (x)+iy ( )( ) (x) iy (x)+iy 4iy(x)y (x) +y y (x) +y +i 4y(x) (x) +y y D où, MM (x) +y 4y(x) (x) +y y (x) +y + y 4y(x) (x) +y y (x) (x) +y + 4y (x) (x) +y 0. On en déduit que les vecteurs AM et MM sont orthogonaux. Ainsi, les droites (AM) et (MM ) sont perpendiculaires.. Soit M un point distinct de A. Il faut distinguer ici deux cas : Si M est un point de l axe des réels alors M M d après les invariants par f. SiM n appartientpasàl axedesréels.d aprèslaquestion3.c, lesvecteurs AM et BM sontcolinéaires. D après la question précédente, (AM) (MM ). On en déduit que le point M est l intersection de la parallèle à la droite (AM) passant par B avec la perpendiculaire à la droite (AM) passant par M. 3/7 janvier 04

4 Terminale S orrigé du Bac Blanc de janvier 04 # v B O # u A 3 4 Q Q Exercice 4 : Les résultats seront donnés en fractions irréductibles. Un club de tennis comporte 00 adhérents dont 300 hommes. Le tennis, en compétition, est pratiqué par 30% des hommes et 0% des femmes. Les autres adhérents pratiquent ce sport uniquement pour le loisir. On choisit, au hasard, un adhérent. On note les évènements : F : «l adhérent est une femme»; : «l adhérent pratique la compétition».. a) Sachant qu il y a 00 femmes dans le club et que le choix d un adhérent suit une loi équirépartie, on a P(F) b) Sachant que la personne choisie est une femme, la probabilité qu elle pratique le tennis en compétition est P F (). En effet, 0% des femmes pratiquent la compétition. c) F 4 3 F 3 0 car 30 % des hommes pratiquent la compétition 7 0 La probabilité d un chemin est égale au produit des poids situés sur les branches de ce chemin. 4/7 janvier 04

5 Terminale S orrigé du Bac Blanc de janvier 04 d) Les évènements F et F forment une partition de l univers. D après la formule des probabilités totales, P() P( F)+P( F) P F ()P(F)+P F ()P(F) La probabilité que la personne choisie pratique le tennis en compétition est L adhérent choisit la compétition. La probabilité que ce soit une femme est P (F). P (F) P( F) P() P F()P(F) P() Sachant que l adhérent a choisi la compétition, la probabilité qu il s agisse d une femme est La probabilité que l adhérent soit une femme qui pratique la compétition est P( F) P F ()P(F). 4. Le secrétaire de ce club doit choisir un certain nombre d adhérents. Il les choisit parfaitement au hasard, sans se préoccuper de savoir s il les a déjà choisis ou non. a) La phrase «il les choisit parfaitement au hasard, sans se préoccuper s il les a déjà choisis ou non» signifie qu il y a indépendance dans le choix des adhérents. b) Il choisit 4 adhérents. La probabilité de choisir une femme qui pratique la compétition est. On calcule dans un premier temps la probabilité qu aucun des 4 adhérents ne soit une femme qui pratique la compétition. La probabilité qu un adhérent ne soit pas une femme qui pratique la compétition est 3. Le choix des adhérents à contacter se fait de manière indépendante. Donc, la probabilité qu aucun des 4 adhérents ne soit une femme qui pratique la compétition est ( 3 n. ) Ainsi, par passage à l évènement contraire, la probabilité pour que le secrétaire contacte au moins une femme qui pratique la compétition est ( 3 c) L algorithme ci-contre donne n 8. On note n le nombre d adhérents que le secrétaire contacte (n 0). En raisonnant comme dans la question précédente, la probabilité pour que le secrétaire contacte au moins une femme qui pratique la compétition parmi n adhérents, est ( 3 ) n. On a : ( 3 ) n 0,9 ( 3 ) n 0, ( 3 ) n 0, ) Début Variables : n est un entier Initialisation : n prend la valeur 0 Traitement : Tantque ( 3 ) n > 0, Faire n prend la valeur n+ FinTantque Sortie : Afficher(n) Fin Le secrétaire doit contacter au minimum 8 adhérents pour que la probabilité de contacter au moins une femme qui pratique la compétition soit supérieure à 0,9. /7 janvier 04

6 Terminale S orrigé du Bac Blanc de janvier 04 Exercice : Partie A - Soit g la fonction définie sur R par g(x) xe x +.. lim x g(x) : On sait que lim x xex 0 donc lim g(x) par produit et somme x lim g(x) : lim x + lim ex + } lim xex + par produit Ainsi, lim g(x) par produit et somme. g est dérivable sur R comme produit et somme de fonctions dérivables. g (x) (e x +xe x )+0 (x+)e x, x R. e x > 0 sur R donc le signe de g (x) sur R dépend du signe de (x+). (x+) 0 x (x+) > 0 x < On en déduit que g (x) 0 sur ] ; ] et g (x) 0 sur [ ; + [ donc g est croissante sur ] ; ] et décroissante sur [ ; + [. Tableau de variation de g : x 0 α + g( ) ( )e + e + g (x) 3. g est continue sur R car elle est dérivable sur R. g + 0 e + Le minimum de g sur ] ; ] est. Donc, l équation g(x) 0 n admet pas de soultion sur ] ; ]. f est continue et strictement décroissante sur [ ; + [. L image de l intervalle [ ; + [ par f est l intervalle ] ; e + ]. Or, 0 ] ; e + ]. D après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation g(x) 0 admet une unique soultion α sur [ ; + [. On en déduit que l équation g(x) 0 admet une unique solution α sur R. À la calculatrice g(0,6) 0,096 > 0 g(α) 0 0,6 < α < 0,7 g(0,7) 0,0079< 0 4. On déduit du tableau de variation de la fonction g : g(x) > 0 sur ] ; α[ g(x) 0 pour x α g(x) < 0 sur ]α ; + [ Partie B - Soit f la fonction définie par f(x) x+ e x +. On appelle sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; # ı, # j)(unité : cm).. f est définie si e x + 0. Mais e x > 0 sur R donc e x + > 0 sur R. La fonction f est donc définie sur R /7 janvier 04

7 Terminale S orrigé du Bac Blanc de janvier 04. lim x f(x) : lim x+ x lim x ex + car lim x ex 0 lim f(x) : Au voisinage de +, f(x) x( + x e x( + ) e x e x x e x lim x + lim + x lim + car lim ex ex + } ) lim f(x) par quotient x + x + e x lim f(x) 0 par quotient et produit On déduit de cette dernière limite, l existence d une asymptote horizontale d équation y 0 au voisinage de a) f est dérivable sur R comme quotient de fonctions dérivables. Soit x R, f (x) (ex +) (x+)e x (e x +) xex (e x +) f (x) g(x) (e x +) Puisque (e x +) > 0 sur R, le signe de f (x) dépend du signe de g(x) sur R. b) D après le signe de la fonction g obtenue à la question A4., on en déduit que la fonction f est croissante sur ] ; α] puis décroissante sur [α ; + [. 4. T : y f (0)(x 0)+f(0) T : y 4 (x 0)+ car f (0) 4 et f(0) T : y 4 x+. x,,,, 0, 0 α,, 3 3, 4 4, y,9,,9,4,9,4 0,9 0,4 0 0,3 0, 0,6 0, 0,4 0,3 0, 0, 0, 0,09 0,06 0,04 test # j T O # i α 3 4 f 7/7 janvier 04