2(xex ) = 2 0 = 0 ( croissances comparées ) x x lim. f 3
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- Josephine Chagnon
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1 Corrigé - Baccalauréat blanc TS - 03 EX : (4poi nt s Commun à tous les candidats ( 6 points Partie A - Étude d une fonction. On considère la fonction f définie sur R par f (x = (x + e x.. Déterminer la limite de f en puis en +. pts + { lim lim f (x = lim e x + e x x = par somme de limites, avec (xex = 0 = 0 ( croissances comparées x x lim x ex = lim f (x = lim (x + x + x + ex = + { lim en effet, lim (x + x + = + x + ex x + = + par produit de limites, avec lim x + ex = +. Calculer f (x et étudier son signe.dresser alors le tableau de variations de f sur R. f = uv est dérivable sur R avec u(x = x + et v(x = e x dérivables sur R f = u v + uv 0 avec u (x = et v (x = e x f (x = e x + (x + e x = (x + 3e x Comme x R, e x > 0, f (x est du signe de x + 3 sur R. D où le tableau de signes de f (x et le tableau de variations de f sur R : pts pts + x f (x 3 α f (x ( f 3, Démontrer que l équation f (x = 0 admet une unique solution sur [0 ; ]. pts En donner un encadrement à 0 3 près. D après le tableau de variation de f, l équation f (x = 0 admet sur ] 3 ; + [ une unique solution α. f est strictement croissante sur [0 ; ] et on a de plus f (0 = ( 0 + e 0 = et f ( = 3e 6,5 > 0. En conclusion : sur [0 ; ] f est strictement croissante, continue car dérivable, d intervalle image [ f (0 ; f ( ] auquel 0 appartient car f (0 < 0 et f ( > 0, donc l équation f (x = 0 admet une unique solution α [0 ; ] par le théorème de la bijection. À l aide de la calculatrice, on trouve 0,66 < α < 0,67 à 0 3 près Partie B - Étude d un algorithme. On considère l algorithme ci-contre : utilisant la fonction f de la partie A précédente.. Quel est le rôle de cet algorithme? pts Quelle valeur va afficher cet algorithme? Cet algorithme est un algorithme de recherche de solution pour l équation f (x = 0 par balayage. Algorithme : Variables : x est un nombre réel Traitement : x PREND LA VALEUR 0 TANT QUE f (x < 0 x PREND LA VALEUR x + 0,00 FIN TANT QUE Sortie : AFFICHER x Corrigé BAC BLANC Février 03 Lycée Beaussier
2 On part de x = 0 et on cherche, en incrémentant la variable x d un pas de 0,00 à chaque nouvelle entrée dans la boucle «tant que», la première valeur de x pour laquelle on aura f (x 0. C est cette valeur de la variable x qui sera affichée en sortie. D après l encadrement obtenu en 3. de la partie A, le résultat affiché sera x = 0,67. Combien de fois va-t-on rentrer dans la boucle «tant que» avant l affichage du résultat? Justifier. pts Pour l initialisation à x = 0, on rentre dans la boucle pour la première fois puisque la condition f (x = f (0 = < 0 est vérifiée. Ensuite x prendra la valeur 0 + 0,00 = 0,00 et on rentrera pour la deuxième fois dans la boucle puisque f (0,00 < 0 et ainsi de suite... Lorsque l on aura x = 0,66, on rentrera pour la 67 ième fois dans la boucle puisque f (0,66 < 0 et pour x = 0, , 00 = 0, 67, on aura f (0, 67 > 0. Fin de la boucle et le résultat s affiche. On rentre donc 67 fois dans la boucle «tant que» avant l affichage du résultat EX : (6poi nt s Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ( 4 points Dans un zoo, l unique activité d un manchot est l utilisation d un bassin aquatique équipé d un toboggan et d un plongeoir. On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu il le reprenne est 0,3. Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu il le reprenne est 0,8. Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d être choisis. Pour tout entier naturel n non nul, on considère les évènements : T n : «le manchot utilise le toboggan lors de son n ième passage» P n : «le manchot utilise le plongeoir lors de son n ième passage» On considère alors la suite ( u n définie pour tout entier naturel n par : un = p (T n où p (T n est la probabilité de l évènement T n.. a. Donner les valeurs des probabilités p (T, p (P, p T (T et p P (T. pts + Des données de l énoncé, on tire : u n u n p (T = p (P = p T (T = 0,3 p P (T = p P (P = 0,8 = 0, b. Montrer que p (T = pts 4 Puisque {T ; P } réalise : une partition de l univers, alors par la formule des probabilités totales : p (T = p (T T + p (P T T n 0,3 0,7 T n+ P n+ P n 0, 0,8 T n+ P n+ p (T = p (T p T (T + p (P p P (T = 0,5 = 4 =0,5 =0,3 =0,5 =0, c. Recopier et compléter l arbre ci-contre : pts d. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : u n+ = 0,u n + 0, pts Puisque {T n ; P n } réalise une partition de l univers, par la formule des probabilités totales : u n+ = p (T n+ = p (T n+ T n + p (T n+ P n = p (T n Donc : u n+ = 0,3 u n + 0, ( u n = 0, u n + 0, p Tn (T n+ =u n =0,3 + p (P n p Pn (T n+ = u n =0, Corrigé BAC BLANC Février 03 Lycée Beaussier
3 e. À l aide de votre calculatrice, conjecturer la limite de la suite ( u n. pts Il y a plusieurs méthodes : On peut calculer les termes successifs de la suite un à un et constater une stabilisation progressive des termes de la suite. On peut programmer la calculatrice en mode séquence : On peut aussi tracer simultanément la fonction f : x 0,x + 0, et la droite d équation y = x et faire une représentation en chemin en activant le mode trace pour visualiser la limite conjecturée. La suite ( u n semble converger vers 9 = 0,.... On considère la suite ( v n définie pour tout entier naturel n par : vn = u n 9 a. Démontrer que la suite ( v n est géométrique de raison q = n N, v n+ = u n+ 9 = 0,u n + 0, 9 = 0 u n = Préciser v. 3 pts + = ( u n 0 = ( u n =v n n N, v n+ = 0 v n par suite ( v n est géométrique de raison q = 0 et v = u 9 = 9 = 5 8 b. Exprimer v n en fonction de n. En déduire l expression de u n en fonction de n. pts + pts ( vn est géométrique de raison q = 0 alors n N, v n = v q n = 5 ( n 8 0 n N, u n = v n + 9 alors n N, u n = 5 ( n c. Calculer la limite de la suite ( u n. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en.e.? pts + ( lim u 5 n n = lim n + n = 9 en effet, < ( n ( 5 n < donc lim = 0 ainsi lim 0 n + 0 n = = 9 On avait conjecturé en.e. une limite d environ 0, or = 0,... ce qui est cohérent. 9 Corrigé BAC BLANC Février 03 3 Lycée Beaussier
4 EX 3 : (6poi nt s Commun à tous les candidats - «Étude d une suite définie par une fonction trigonométrique» ( 4 points Partie I - Signe d une fonction. a. Montrer que pour tout réel x, x sin x x. x R, sin x R, x sin x x b. En déduire lim sin x et lim x sin x. x + x + x Limite en : On exploite la partie de l inégalité précédente : x sin Comme lim x = +, alors lim sin x = + par comparaison. x x Limite en + : On exploite la partie de l inégalité précédente : sin x x Comme lim x = par comparaison. x =, alors lim sin x + x.. a. On pose pour tout réel x, f (x = sin + Montrer que f est dérivable sur R et que pour tout réel x, f (x. pts + ( x f est dérivable sur R comme somme de la fonction x sin dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables sur R et de la fonction x x dérivable sur R. f = sin u v avec u(x = x et v(x = x f = cos u u v avec u (x = et v (x = f (x = cos x R, cos alors en multipliant par > 0 puis en soustrayant à chaque membre de l inégalité : x R, f (x + et finalement : pour tout réel x, f (x }{{ }}{{ } = 3 = b. En déduire le sens de variation de f sur R. D après la question précédente, x R, f (x < 0 et par suite f est strictement décroissante sur R c. Calculer f (0. ( 0 f (0 = sin 0 = 0 d. En déduire le signe de f (x sur R. Des deux questions précédentes on déduit le tableau de variations et de signes pour f : x 0 + f + 0 f (x + 0 Partie II - Étude d une suite On considère la suite ( { u0 [0 ; π] ( u n définie pour tout entier naturel n par un n N, u n+ = sin. Que dire de la suite (u n si u 0 = 0? ( u0 ( u Si u 0 = 0, u = sin = sin(0 = 0, de même u = sin = sin(0 = 0 etc... Si u 0 = 0, la suite (u n est une suite constante dont tous les termes sont nuls Corrigé BAC BLANC Février 03 4 Lycée Beaussier
5 . a. Montrer que pour tout entier naturel n, u n [0 ; π]. 3 pts Montrons par récurrence que n N, u n [0 ; π] Initialisation : Pour n = 0, u 0 [0 ; π] est vraie (Donnée de l énoncé Hérédité : supposons qu il existe un entier n tel que u n [0 ; π]. je suppose la proposition vraie au rang n Alors en partant de notre hypothèse : 0 u n π 0 u n π [ Comme le sinus est compris entre 0 et sur l intervalle 0 ; π ], on déduit : ( un 0 sin π }{{ } =u n+ finalement u n+ [0 ; π]. alors la proposition est vraie au rang n + Conclusion : la proposition est vraie pour n = 0, elle est héréditaire donc par récurrence on a, n N, u n [0 ; π] b. Montrer que pour tout entier naturel n, u n+ u n = f (u n où f est la fonction définie et étudiée dans la partie I. ( un n N, u n+ u n = sin u n = f (u n } {{} f (x=sin ( x x c. En exploitant les résultats de la partie I, déduire des deux questions précédentes que la suite ( u n est décroissante. On a vu en.a. partie B que n N, u n [0 ; π] et donc que n N, u n 0 ( En utilisant la question.d. de la partie A, on sait que si x 0 alors f (x 0 ( En combinant ( et ( on déduit que n N, f (u n 0 ce qui, en utilisant la question précédente démontre que n N, u n+ u n 0 n N, u n+ u n La suite ( u n est décroissante. d. En déduire que la suite ( u n est convergente et déterminer sa limite. + La suite (u n est décroissante et minorée par 0 d après.a. de la partie II. La suite ( u n est par conséquent convergente vers une limite l par le théorème de convergence monotone. La fonction x sin définissant la suite récurrente ( u n étant continue sur R, ( ( l l la limite l vérifie la relation l = sin l sin = 0 f (l = 0 Or l étude effectuée en.d. de la partie I démontre que l équation f (l = 0 admet une unique solution sur R qui est l = 0. la suite ( u n converge vers 0 3. On travaille maintenant dans le cas où u 0 = a. Pourquoi peut-on affirmer qu il existe un rang entier N 0 tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à N 0, on a 0, < u n < 0,? Comme u 0 = [0 ; π], l étude conduite précédemment démontre que ( u n converge vers 0. On a donc par définition d une suite convergeant vers une limite l : pts pts ε > 0, il existe un rang entier N 0 tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à N 0, l ε < u n < l + ε. Or, l = 0 et en prenant ε = 0, on obtient : Il existe un rang N 0 tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à N 0, on a 0, < u n < 0, Corrigé BAC BLANC Février 03 5 Lycée Beaussier
6 b. Écrire un algorithme qui détermine le plus petit rang N tel que 0, < u N < 0,. Pourquoi peut-on affirmer que N 0 = N? pts + u 0 = et on sait de des résultats de la partie précédente que ( u n est décroissante minorée par 0 et convergente vers 0. Donc pour le premier rang entier N tel que : u N < 0, on aura : n N, n N = 0 u n < 0, par décroissance de ( u n et minoration par 0, n N, n N = 0, < u n < 0, ce qui justifie que N 0 = N Algorithme : Algorithme de détermination de N Variables : n est un nombre entier u est un nombre réel Traitement : n PREND LA VALEUR 0 u PREND LA VALEUR TANT QUE u 0, ( u u PREND LA VALEUR sin n PREND LA VALEUR n + FIN TANT QUE Sortie : AFFICHER n c. En utilisant votre calculatrice, déterminer N 0. Aucune justification n est demandée. À l aide de la calculatrice en mode séquence (on peut aussi calculer les termes les uns après les autres, on obtient N 0 = N = 5 EX 4 : (4poi nt s Commun à tous les candidats- «Les trois questions de l exercice sont indépendantes.» ( 6 points ( Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O, u, v, on considère f l application du plan dans lui-même, qui à tout point M d affixe z, associe le point M d affixe z telle que : z = z 4z. Soit A et B les points d affixes z A = i et z B = 3 + i (faire une figure. a. Calculer les affixes A et B images de A et B par f. + z A = z A 4z A = ( i = i+i 4( i = 4 + i et z B = z B 4z B = (3 + i 4(3 + i = 4 + i =9+6i+i b. On suppose maintenant que les affixes z et z de deux points M et M vérifient z + z = 4. Déterminer l affixe du milieu de [M M ]. L affixe du milieu de [M M ] est égale à z + z = 4 = c. Montrer que M et M ont la même image par f. pts Soit M l image de M par f, on a z M = z M 4z M (* Soit M l image de M par f, on a z M = z M 4z M = ( ( 4 z M 4 4 zm avec z M = 4 z M = 6 8z M + z M 6 + 4z M = z M 4z M = z Voir (* M M = M par égalité de leurs affixes. On en conclut que M et M ont la même image par f. Soit I le point d affixe 3. a. Résoudre dans C, l équation z 3z + 3 = 0. 3 pts Soit l équation du second degré z 3z + 3 = 0, = ( = 3 = 3i. Il y a donc deux solutions complexes et conjuguées : z 3 = 3 i 3 et z 4 = z 3 = 3 + i 3 { 3 i 3 S = ; 3 + i 3 } Corrigé BAC BLANC Février 03 6 Lycée Beaussier
7 b. Exprimer en fonction de z, l affixe du vecteur M I. z M I = z I z = 3 ( z 4z = z + 4z 3 c. Démontrer que OMIM est un parallélogramme si, et seulement si : z 3z + 3 = 0 et en déduire les points M du plan tels que OMIM soit un parallélogramme. pts OMIM est un parallélogramme M I = OM z = M I z OM z + 4z 3 = z 0 z 3z + 3 = 0 Cette dernière équation est résolue en.a. et par suite les points M tels que OMIM est un parallélogramme sont les points d affixes z 3 et z 4 obtenus dans la question.a. 3. On pose z = x + iy la forme algébrique de z. a. Calculer Re ( z et Im ( z en fonction de x et y. + z = z 4z = + iy ( ( 4 x + iy = x 4x y + i y 4y =x +ix y y Re ( z = x 4x y et Im ( z = x y 4y b. Montrer que z est réel si, et seulement si y (x = 0. z R Im ( z = 0 x y 4y = 0 y (x = 0 y (x = 0 c. Quel est l ensemble des points M(z tels que M ( z ( appartient à l axe O, u? pts M ( z ( appartient à l axe O, u z R y (x = 0 y = 0 ou x = L ensemble des points M(z tels que M ( z ( appartienne à l axe O, u est la réunion des deux droites d équations respectives y = 0 et x = x = 4i 3i A = B i z 3 i z 4 B z v y = 0 I O u 3 z 4 i z A z 3 i voir l animation GeoGebra Corrigé BAC BLANC Février 03 7 Lycée Beaussier
8 Exercice (4 points Partie A. a. Ce résultat est très général. Soit S, on écrit S en base 0 sous la forme : 0 S a 0 a 0 a 0... a 0 n avec i, ai et 0 ai 9 et a0 est le chiffre des 0 a0 unités de S. On a donc n S a a a an n, il existe donc un entier relatif K K tel que S a0 0K d où S a0 est divisible par 0, ce qui équivaut encore à : S a S a et comme a0 0 9 on conclut que : Le reste de la division euclidienne de S par 0 est le chiffre des unités de S 3 b. Si r = 0 : Alors S 0 0 S C 00 donc S Cest divisible par 0. C 0 Si r 0 : C0 r où r est le reste de la division euclidienne de S par 0 donc d après la question précédente C0 a0 où a0 est le chiffre des unités de S avec r a0 0 S C a 0 a Comme d après la question précédente S a 0 0 donc S Cest divisible par 0. alors 0a0 0 0 On en déduit que S Cest divisible par 0 quel que soit le cas de figure c. Pour le code barre C, S = ( ( = 08. Le reste r dans la division de S par 0 est le chiffre des unités de S donc r = 8. La clé est donc égale à C0 r0 8. a. Compte du fait qu une seule erreur est commise de manière aléatoire sur l un des 7 premiers chiffres du code (situation d équiprobabilité pour l un des 7 rangs possibles pour l erreur, et 4 3 comme il y a 4 rangs impairs et 3 rangs pairs, on déduit : pi et pp 7 7 b. Table de multiplication par modulo 0 : N ou N Multiplication par réduite modulo Si l erreur intervient sur un chiffre de rang impair et si la caissière tape la bonne clé, S va être calculé comme suit en notant N le chiffre mal tapé et N le même chiffre sans erreur de frappe : S = (somme des chiffres bien tapés de rang impair + 5(somme des chiffres bien tapés de rang pair + ( N BAC BLANC Février 03 Terminale S Spécialité Lycée Beaussier 9
9 Comme la clé est bien tapée, l erreur ne sera pas détectée si et seulement si S a le même reste dans la division euclidienne par 0 que la valeur de S si tous les chiffres avaient été bien tapés On en déduit que l erreur n est pas détectée si et seulement si ( N a le même reste dans la division par 0 que ( N. D après la table de multiplication précédente et l encadré précédent, on peut créer le tableau de contrôle : (N.D. = erreur non détectée, D = erreur détectée 4 Il y a donc 0 cas d erreurs de frappe non détectée sur 90 cas d erreurs possibles. 0 Comme on est en situation d équiprobabilité, on a pi D pi D pi D d'où : pi D 9 c. On dresse la table de multiplication par 5 modulo 0 : N ou N Multiplication par réduite modulo Par un raisonnement analogue à celui conduit lors de la question précédente et avec les mêmes notations : Si l erreur intervient sur un chiffre de rang pair et si la caissière tape la bonne clé : l erreur n est pas détectée si et seulement si 5( N a le même reste dans la division par 0 que 5( N D après la table de multiplication précédente et l encadré précédent : Il y a 50 cas d erreurs détectées sur 90 cas d erreurs 50 5 possibles donc pp D BAC BLANC Février 03 Terminale S Spécialité Lycée Beaussier 0
10 d. e. Par la formule des probabilités totales : pd pi D pp D pi pi D pp ppd La probabilité que l erreur soit détectée est égale à f. p P D 3 4 pp D pp pp D pd pd Si la caissière fait une erreur et si celle-ci n est pas détectée, il y a 3 chances sur 4 pour qu elle provienne d un chiffre mal tapé de rang pair.. S Partie B r 0 (le reste dans la division euclidienne de 60 par 0 est nul donc C 0. On est exactement dans le même contexte que celui de la première partie précédente où la non détection de l erreur provenait uniquement des «doublons» présents dans les tables de multiplications. Pour les chiffres de rangs impairs : La table de multiplication par réduite modulo 0 ne contient bien évidemment aucun doublon. Pour les chiffres de rangs pairs : La table de multiplication par 3 réduite modulo 0 ne contient aucun doublon. N ou N Multiplication par 3 réduite modulo L erreur est par conséquent systématiquement détectée 3 BAC BLANC Février 03 Terminale S Spécialité Lycée Beaussier
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