Correction du bac blanc de mathématiques

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1 Corrction du bac blanc d mathématiqus Exrcic (commun à tous ls candidats, point) Rstitution organisé d connaissancs :. Démontrr par récurrnc l inégalité d Brnoulli : pour tout x >, pour n N, (+x) n +nx. 2. En déduir la démonstration d la propriété suivant : Pour tout rél q >, lim n + qn = +. Pour ct xrcic, voir l cahir d cours ou l livr pags 2 t 8. Exrcic 2 (commun à tous ls candidats, 4, points) L objctif d l xrcic st d approchr l intégral I = x2 dx. Parti. Justifir qu pour tout x [;], x 2 + x2. Indication : étudir la fonction g défini par g(x) = x2 x 2 sur [;]. La fonction carré st dérivabl sur R, donc x x2 aussi. La fonction g st dérivabl sur R par somm d fonctions dérivabls. g (x) = 2x x2 2x = 2x( x2 ). Sur l intrvall [;], 2x. Comm la fonction xponntill st croissant sur [;], t x 2, on n déduit qu x2 =, soit x2 sur [;]. Donc pour tout x [;], g (x). La fonction g st croissant sur [;]. g() = =. Donc pour tout x [;], g(x), c st-à-dir x2 x 2. Pour tout x [;], x 2 + x2. 2. Comparr x t x 2 sur [;]. Pour tout x [;], x 2 x = x(x ) car x t x. Donc pour tout x [;], x 2 x (avc égalité pour x = t x = ). 3. En déduir qu pour tout x [;], x2 x. En appliquant la fonction xponntill croissant sur R dans l inégalité précédnt, on a : pour tout x [;], x2 x. 4. Déduir ds qustions précédnts un ncadrmnt d I = Pour tout x [;] x 2 + x2 x x2 dx x 2 + dx x2 dx x dx [ ] 3 x3 +x I [ x ] 4 I 3

2 Donc I 3 Parti 2 On souhait obtnir un ncadrmnt d I à partir d la méthod ds rctangls. Pour tout x [;], on not f(x) = x2.. Justifir qu f st croissant sur [; ]. f st d (rivabl sur [;] t f (x) = 2x x2. x2 >, t 2x lorsqu x [;]. Donc f (x) pour tout x [;]. f st croissant sur [;]. 2. Pour tout ntir n, on pos u n = n k= n f ( ) k n = n f()+ n f ( n t v n = n k= n f ( ) k n On admt qu pour tout n ; u n I v n. (a) Justifir qu pour tout n, v n u n = n. Par télscopag on a : v n u n = ) + ( ) 2 n f + + ( ) n n n f n n k= n f ( ) n k n n f k= = n f() n f() ( ) k n = n n = n (b) En déduir l sns d variation t la limit d la suit (v n u n ). > donc (v n u n ) st décroissant t tnd vrs. (c) On rappll l algorithm d la méthod ds rctangls avc l ntir n n ntré. i. Soit p un ntir, p. On chrch à obtnir n sorti un ncadrmnt d I d amplitud infériur à p. Rcopir t modifir l algorithm pour qu, l ntir p étant donné n ntré, il détrmin la plus ptit valur d n pour laqull v n u n < p puis appliqu la méthod ds rctangls avc ctt valur d n t affich n sorti n, u n t v n. Indication : ls instructions à modifir ou complétr sont marqués par l symbol (*).

3 Début Entrr la fonction f. Entrr a, b. Entrr p. n prnd la valur. Tant qu n p, fair n prnd la valur n+ Fin Tant qu U prnd la valur. V prnd la valur. x prnd la valur a. Pour k allant d à (n ), fair U prnd la valur U + b a n f(x). x prnd la valur x+ b a n. V prnd la valur V + b a n f(x). Fin pour. Affichr n, U t V. Fin ii. Programmr ct algorithm à la calculatric t l tstr avc p = 2. Donnr la valur d n t l ncadrmnt d I obtnu. On trouv n = 72, t n arrondissant,,476 I,4677.

4 Exrcic 3 (commun à tous ls candidats, ( 4, points) L plan st rapporté à un rpèr orthonormal O ; i ; ) j. ( ) On considèr ls points B (; ) t C ; t la droit (D) d équation y = x. Onnot f la fonction défini surrdont la courbrprésntativ, noté Γ, st donné n annx. On suppos d plus qu il xist dux réls a t b tls qu : pour tout x rél, f(x) = x ax+b. ls points B t C appartinnnt à la courb Γ.. (a) Montrr qu l coupl (a ; b) st solution du systèm : a+b = a+b = 2 B(;) Γ = f() = a+b = a+b = a+b ( ) C ; = f() = a+b 2 = a+b a+b = 2 L coupl (a ; b) st donc solution du systm : a+b = a+b = 2 (b) En déduir qu, pour tout x rél, f(x) = x,x. { { a+b = a+b = a+b = a+b = a+2b = b = { 2 a =, b = Donc, pour tout x rél, f(x) = x,x. 2. Détrminr la limit d f n +. lim,x = + t lim x + X + X = + d où par composé lim x +,x = +. D plus, lim x = + donc, par produit, lim f(x) = +. x + x + 3. (a) Montrr qu pour tout x rél, f(x) =,x,x. Pour tout x rél, f(x) = x,x =,x,x =,x,x. (b) En déduir la limit d f n. lim,x = t lim x X XX =. D où, par composé t produit, lim f(x) =. x { a = b = 4. Étudir ls variations d la fonction f. On donnra l tablau d variations complt. La fonction x,x st dérivabl sur R. Par composé avc la fonction xponntill, x,x st dérivabl sur R. D plus, x x st dérivabl sur R. Par produit, f st dérivabl sur R t pour tout x rél on a : f (x) =,x + x,,x = (+,x),x. Comm un xponntill st toujours strictmnt positiv,,x >.

5 Donc f (x) st du sign d +,x.,x+ = lorsqu x =. f( ) = 2 = 2 3,. x + f (x) + f(x) 2 +. Étudir la position rlativ d la courb Γ t d la droit (D). Pour tout x rél on a : f(x) x = x (,x ). Avc,x,x,x,x x. On put donc établir l tablau d signs suivant : x + x + +,x + f(x) x + + La courb Γ st donc au-dssus d la droit (D) sur ] ;[ ] ; + [ t n-dssous sur l intrvall ] ; +[. 6. (a) Vérifir qu la fonction F défini par F(x) =,x (x ) st un primitiv d f sur R. On a vu qu x,x st dérivabl sur R. Par produit d fonctions dérivabls, F st dérivabl sur R. Pour tout x R, F (x) = [,,x (x )+,x ] =,x (x +) = x,x = f(x) (b) Calculr l intégral f(t) dt. f(t) dt = F( F() = ( ) ( ) = + = (c) On désign par A l air, n unités d air, du domain du plan délimité par ls droits d équations x = t x =, la droit (D) t la courb Γ. Calculr A. On a vu qu sur l intrvall [;], x f(x) (D st au-dssus d Γ).

6 Donc l air A compris ntr D t Γ s obtint par soustraction d intégrals. A = = = [ 2 t2 = 2 (t f(t)) dt t dt ] = A =, soit nviron 32. f(t) dt 6 4 Γ 2 B C

7 Exrcic 4 (commun à tous ls candidats, points) Ls partis A t B sont indépndants Un sit intrnt propos ds jux n lign. Parti A : Pour un prmir ju : si l intrnaut gagn un parti, la probabilité qu il gagn la parti suivant st égal à 2. si l intrnaut prd un parti, la probabilité qu il prd la parti suivant st égal à 4. Pour tout ntir naturl non nul n, on désign par G n l évènmnt l intrnaut gagn la n-ièm parti t on not p n la probabilité d l évènmnt G n. L intrnaut gagn toujours la prmièr parti t donc p =.. Rcopir t complétr l arbr pondéré suivant : 2 G n+ p n G n 3 G n+ G n+ p n G n 4 G n+ 2. Montrr qu, pour tout n ntir naturl non nul, p n+ = p n +. Il st clair qu G n tg n formnt un partition d l univrs. D après la loi ds probabilités totals : p n+ = p(g n+ ) = p(g n G n+ )+p ( G n G n+ ) = 2 p n + ( p n) = p n + Donc pour tout n, p n+ = p n Pour tout n ntir naturl non nul, on pos u n = p n 4. (a) Montrr qu (u n ) n N st un suit géométriqu d raison t d prmir trm u à précisr. Pour tout n ntir naturl non nul, u n+ = p n+ 4 = p n + 4 = p n 2 = ( p n ) = 4 u n. L égalité u n+ = u n montr qu la suit (u n ) n N st un suit géométriqu d raison. Son prmir trm st u = p 4 = 4 = 3 4.

8 (b) Montrr qu, pour tout n ntir naturl non nul, p n = 3 ( ) n On sait qu pour tout naturl supériur ou égal à : ( ) n u n = u = 3 ( ) n 4. Comm u n = p n 4, soit p n = u n +, on a finalmnt : 4 Pour tout n, p n = 3 ( ) n (c) Détrminr la limit d p n. ( Comm <, lim n + Il n résult qu lim n + p n = 4. ) n 3 = t lim n + 4 ( ) n =. (d) Détrminr par l calcul la plus ptit valur d n tll qu p n 4 < 6. p n 4 < 6 Parti B : ( ) 3 n 4 < 6 ( ) n < ( ) n ( ) 4 ln < ln 3 6 ( ) ( ) 4 (n )ln < ln 3 6 ( ) 4 ln 3 6 n > ( ) + 9,4 ln ( ) Attntion, ln < car <. On a changé l sns d l inégalité. L plus ptit ntir n tl qu p n 4 < 6 st n =. Rmarqu : on montrrait facilmnt qu (p n ) st décroissant. L inégalité p n 4 < 6 donc st vrai pour tout ntir n. Dans un scond ju, l jouur doit ffctur partis. On suppos qu touts ls partis sont indépndants. La probabilité d gagnr chaqu parti st égal à 4. Soit X la variabl aléatoir égal au nombr d partis gagnés par l jouur.. Qull st la loi d probabilité suivi par la variabl aléatoir X? Justifir. Ls épruvs étant idntiqus t indépndants, t X étant la variabl aléatoir comptant l nombr d succès, la variabl aléatoir X suit la loi binomial d paramètrs n = t p = 4.

9 2. Qull st la probabilité qu l jouur gagn au moins un parti? L résultat sra arrondi à 2 près. ( ) ( ) ( ) 3 p(x ) = p(x = ) = = 3,943,94, à près. Exrcic (pour ls candidats n ayant pas choisi la spécialité mathématiqus, points) On considèr la fonction f défini sur l intrvall ] ; + [ par : f(x) = x ln(+x) +x. La courb C rprésntativ d f st donné sur l documnt annx 2 qu l on complétra t qu l on rndra avc la copi. Parti A : Étud d crtains propriétés d la courb C. On not f la fonction dérivé d f. Calculr f (x) pour tout x d l intrvall ] ; + [. f st dérivabl comm composé, quotint t somm d fonctions dérivabls sur] ; + [. f = u lnv n posant u(x) = x t v(x) = +x. u (x) = t v (x) =. v ( ) lnv f = u = u v Par conséqunt, pour tout x d ] ; + [, f (x) = ln(+x) (+x) 2 v v v v lnv v 2 = u v lnv v 2. = (+x)2 +ln(+x) (+x) Pour tout x d l intrvall ] ; + [, on pos N(x) = (+x) 2 +ln(+x). Vérifir qu l on définit ainsi un fonction strictmnt croissant sur ] ; + [. Calculr N(). En déduir ls variations d f. N st dérivabl comm somm t composé d fonctions dérivabls. Pour tout x >, N (x) = 2 (+x)+ +x = 2(+x)2 +. +x Comm x appartint à ]+ ; + [, +x >. L numératur st positif comm somm d nombrs strictmnt positifs. Par conséqunt, N (x) > pour tout x >. On n déduit qu N st croissant sur ] ; + [. N() = donc N(x) < pour tout x d ] ; [ t N(x) > pour tout x >. Or, f (x) = N(x) (+x) 2 st du sign du numératur N(x) car (+x)2 > pour tout x. Par conséqunt, f (x) < sur ] ; [, f () = t f (x) > pour x >. On n déduit l tablau d variations d f : x + f (x) + f(x) ց ր 3. Soit D la droit d équation y = x. Calculr ls coordonnés du point d intrsction d la courb C t d la droit D. Pour avoir ls coordonnés du point d intrsction d D t d C, on résout l équation f(x) = x.

10 f(x) = x ln(+x) = ln(+x) = +x = x =. +x Comm f() =, D t C s coupnt à l origin. Parti B : Étud d un suit récurrnt défini à partir d la fonctionf. Démontrr qu si x [ ; 4], alors f(x) [ ; 4]. Sur l intrvall [ ; 4], f st croissant donc pour tout x d [ ; 4], f() f(x) f(4). Or f() = t f(4) = 4 ln < 4. Donc pour tout x [;4], f(x) [ ; 4]. 2. On considèr la suit (u n ) défini par : { u = 4 t u n+ = f (u n ) pour tout n d N. (a) Surl graphiqud l annx 2, n utilisant la courbc t la droit D, placr ls points d C d abscisss u,u, u 2 t u 3. Voir graphiqu. (b) Démontrr qu pour tout n d N on a : u n [ ; 4]. Montrons par récurrnc sur n, qu, pour tout n N, u n [ ; 4]. Initialisation : u = 4. Donc u [ ; 4]. Hérédité : Soit k. Supposons qu u k [ ; 4]. Alors u k+ = f(u k ) [ ; 4] d après. Conclusion Par conséqunt, pour tout n, u n [ ; 4]. (c) Étudir la monotoni d la suit (u n). Pour tout n, u n+ u n = f(u n ) u n = u n ln(+u n) u n = ln(+u n) car +u n +u n +u n d où ln(+u n ). Par conséqunt, la suit (u n ) st décroissant. On put aussi raisonnr par récurrnc n utilisant l fait qu f st croissant sur [;4] t u < u. (d) Démontrr qu la suit (u n ) st convrgnt. On désign par l sa limit. La suit (u n ) st décroissant t minoré par : ll st convrgnt vrs un rél l. () Utilisr la parti A pour donnr la valur d l. Comm f st continu sur R, on sait qu l st solution d l équation f(x) = x. On n déduit qu l =.

11 y D C O u 3 u 2 u u x

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