Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE

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1 Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE Exercice 0 page 9 On considère deux évènements E et E Référentiel propre, R : la Terre. Dans ce référentiel, les deux évènements ont lieu au même endroit. La durée propre T 0 qui sépare les deux évènements est mesurée par une horloge liée à la Terre, proche du lieu où se déroulent les deux évènements. Référentiel R : l astronaute. Ce référentiel est en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R. Vitesse de l astronaute dans le référentiel terrestre : 0,80.c.. T '.T 0 T '.T 0 v 0,80. 0,80,7 v v v 4 v 3 4 v 3.c 0,86.c 4 Exercice page 0 Référentiel propre, R : l astronaute. La durée propre T 0 qui sépare deux évènements est mesurée par une horloge liée à l astronaute, proche du lieu où se déroulent les deux évènements. Dans ce référentiel, les deux évènements ont lieu au même endroit. Référentiel R : la Terre. Ce référentiel est en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R. Vitesse de la Terre dans le référentiel de l astronaute : v = 0,90.c Remarque : une année-lumière équivaut à 9, m.. Durée du trajet de l astronaute pour un observateur terrestre : v. Durée du trajet pour l astronaute : d T ' T ' d v 4,0.9, ,90.3,00.0 8,4.08 s T '.T 0 T 0 v c.t ' 0,90..T ' 0,44., ,.0 7 s

2 Exercice page 0 Postulat A = relativité restreinte Postulat B = mécanique classique Exercice 4 page 0. Supposons que l extraterrestre «SamSam» embarque dans sa soucoupe une horloge à photon. Cette horloge est constituée d un cylindre de verre aux extrémités duquel on trouve deux miroirs plans qui réfléchissent le photon l un après l autre. Supposons que lorsque SamSam survole Bordeaux, le photon quitte le miroir du bas (événement ) et que lorsqu il survole Arcachon, le photon revienne sur le miroir du bas après avoir été réfléchi par celui du haut (événement ). Horloge à photons Bordeaux Arcachon L' L' trajectoire du photon dans le référentiel du sol (celui de Nicolas) L L trajectoire du photon dans le référentiel de la soucoupe volante (celui de SamSam). Le référentiel propre est celui dans lequel les deux évènements ont lieu au même endroit. Il s agit donc de la soucoupe de SamSam. C est donc SamSam qui va mesurer la durée propre T Durée du survol mesurée par («le petit») Nicolas : On connaît la vitesse de la soucoupe dans le référentiel du sol : v 3.c D Bor/Arc T ' T ' 3. D Bor/Arc c 4. Durée du survol mesurée par SamSam : ,00.0 8,5.04 s T '.T 0 T 0 c.t ' 3.T ' 0,75.,5.0 4,9.0 4 s v Exercice 5 page 0. Evènement E : émission d un signal lumineux Evènement E : émission d un second signal lumineux. Le référentiel propre est la fusée. En effet, c est dans ce référentiel que les deux évènements E et E ont lieu au même endroit. La durée qui sépare l émission de deux signaux lumineux consécutifs dans ce référentiel est T 0. On a :

3 T 0 f 5,0 0,0s 3. Dans le référentiel «Terre» : Soit T la période mesurée du signal lumineux. On a : T '.T 0 v.t , ,0 0,36s Exercice 6 page. La durée T S est la durée propre, mesurée grâce à une horloge fixe dans le référentiel propre qu est la sonde. On peut en effet imaginer que cette horloge est une horloge à photon. On peut considérer les deux évènements : Evènement E : départ du photon du miroir inférieur de l horloge ; Evènement E : retour du photon sur le miroir inférieur après avoir été réfléchi par le miroir supérieur. Les deux évènements ont lieu au même endroit si on se situe dans le référentiel de la sonde. La sonde est bien le référentiel propre et T S est la durée propre.. T R.T S v.t S 3. Soit v la vitesse de la sonde dans le référentiel héliocentrique. Soit d R la distance parcourue par la sonde dans le même référentiel. Soit T R le temps mis par la sonde pour aller du Soleil à la nébuleuse de la lyre. On a : 4. v d R T R v d R d d R. v R T R.T S T S v.t S d R v. T S v d R.T v. S d R.d R v c.d R.T S d 3, , R 3, v,7.0 8 m.s , ,

4 Gamma Exercice 7 page. v v 0 0,00 0,400 0,600 0,800 0,900 0,995 c,0,09,5,67,9 0,0. Représentation graphique :,00 0,00 8,00 6,00 4,00,00 0,00 0 0, 0,4 0,6 0,8, v/c 3. v = 8 km.h - = 34, m.s - v v c 34, 3,00.0 8,9.0 Le mouvement du Thurst SSC peut parfaitement être étudié dans le cadre de la mécanique classique. Les effets relativistes sont totalement négligeables 4. a. Quelle valeur de correspond à une augmentation de 0% des durées? T '.T 0 T T , 4. b. Pour quelle valeur de la vitesse relative v, en km.s -, observe-t-on une telle dilatation des durées?

5 , v c v c v c,, v c, 0,4 5. Pourquoi les effets de la relativité restreinte n ont-ils été observés par l homme que tardivement dans l histoire des sciences? On observe une dilatation des durées de 0% lorsque la vitesse relative de R par rapport à R est de 0,4.c. Les effets relativistes se font sentir qu aux très grandes vitesses. Lorsque les vitesses sont peu élevées par rapport à la vitesse de la lumière, il faut des horloges extrêmement précises pour mesurer de telles dilatations des durées (horloges atomiques). Exercice 8 page. a. Expression du travail de la force électrique (dans un champ électrostatique uniforme) : uuu r W AB (F élec ) q.uab J Expression de l énergie cinétique : E c.m.v J kg.m.s v c.e.u m.e.u m.e.u m J.kg m.s m.s m.s. b. U(V) v C (m/s) U(V) v C (m/s),00.0 5,93.0 6,00.0 5,93.0 6,00.0 3,87.0 7,00.0 3,87.0 7, ,93.0 7, ,85.0 7,00.0 5,87.0 8,00.0 5,64.0 8, ,93.0 8,00.0 6,8.0 8,00.0 7,87.0 9,00.0 7, Les prévisions de la mécanique classique sont valables pour des tensions qui ne dépassent pas 0 3 volts. La formule donnée par la mécanique de Newton est applicable tant que la vitesse de l électron ne dépasse pas 6 % de la vitesse de la lumière :,87.0 7, ,5.0

6 3. La vitesse limite vers laquelle peut tendre celle d un électron est celle de la lumière. C est une vitesse inatteignable pour l électron car cette particule a une masse non nulle. 4. La mécanique classique est utilisable tant que la vitesse du système étudié ne dépasse pas environ 0 % de celle de la lumière. Exercice page 3 On définit deux évènements : E : passage de l avant de la navette à la verticale de Bill ; E : passage de l arrière de la navette à la verticale de Bill.. Pour Bill, les deux évènements E et E ont lieu au même endroit (à sa verticale). La Terre est donc le référentiel propre et Bill mesure bien la durée propre T 0.. Dans le référentiel terrestre, on peut écrire : v L T 0 3. v L T ' L T 0 L T ' L.T 0 L.L 4. a. Le référentiel propre est la navette. C est par rapport à elle-même que la navette est immobile. C est donc Boule qui calcule la longueur propre. 4. b. L.L v L L Boule, dans la navette, mesure une distance L supérieure à la distance L que Bill va mesurer au niveau du sol. Il y a bien contraction des longueurs pour Bill (au même moment, il y a aussi dilatation du temps).

7 5. On a : Que vaut L? v 0,90.c L 30m L v.l 0, m Exercice 3 page 4. Postulat d Einstein : la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens. A B v B v A v photon ' v photon = c + v A v photon v photon ' = c - v B Observateur. Dans le référentiel du lanceur (le plateau du manège), la balle A est lancée avec une vitesse v A. Dans le référentiel du sol, la loi de composition des vitesses indique qu il faut ajouter à v A la vitesse du lanceur par rapport au sol. En effet, le lanceur lance la balle A dans le même sens que son propre mouvement. Dans le référentiel du lanceur (le plateau du manège), la balle B est lancée avec une vitesse v B. Dans le référentiel du sol, la loi de composition des vitesses indique qu il faut soustraire à v A la vitesse du lanceur par rapport au sol. En effet, le lanceur lance la balle B dans le sens opposé à son propre mouvement. Si v A = v B, on voit que la balle A va parvenir à l observateur avant la balle B. 3. Dans cette situation, on peut sans problèmes appliquer la loi classique de composition des vitesses car la vitesse du lanceur par rapport au sol et celle de la balle par rapport au lanceur sont faibles et du même ordre de grandeur. 4. Dans l expérience de DE SITTER, les deux lanceurs sont remplacés par deux étoiles tournant autour de leur centre de gravité. Les balles sont remplacées par les photons émis par ces deux étoiles en direction de l observateur. Si la loi classique de composition des vitesses s appliquait aux photons émis par chaque étoile en direction de l observateur, ce dernier percevrait des photons «rapides», de vitesse (c + v) et des photons «lents» de vitesse (c v). L image des étoiles doubles apparaîtrait alors brouillée. Le fait que DE SITTER n ait jamais observé d images brouillées malgré de nombreuses observations est en accord avec le postulat d Einstein qui affirme qu un photon, quelque soit le référentiel d étude, se déplace à la vitesse c (dans le vide).

8 Exercice 5 page 5. Si : Alors :. Une particule n est pas relativiste si : Or : d où : v = c ur p.pur pur relat. class. class. p relat. p class. p class. % p relat. p class. 00.p class. p relat. p class. 00,0.p class..m.v,0.m.v,0 v v max,0 v max,0 v max,0 v max c.,0 0,4.c Conclusion : une particule n est pas relativiste tant que sa vitesse ne dépasse pas 4% de celle de la lumière.

9 Gamma Exercice 6 page 5. Dans le vide, l énergie relativiste totale d une particule de masse m s exprime par : p. m.c 4 Or : p.m.v d 'où :.m.v. m.c 4 v v.m.c 4 m.c 4 v v.m.c 4.m.c 4.m..m.v. m.c 4 v v.m.c 4. L énoncé précise que l énergie relativiste totale d une particule est égale à la somme de son énergie cinétique relativiste et de son énergie de masse : c 0 c 0.m. m..m. 3. a. Si la particule n a pas de masse, alors : 3. b. m.c 0,00 0,00 8,00 Pour une telle particule, le coefficient gamma tend vers l infini. 6,00 Cela signifie donc que le rapport v / c tend vers. 4,00,00 0,00 0 0, 0,4 0,6 0,8, v/c 3. c. La valeur de la vitesse dans le vide d une particule de masse nulle est nécessairement égale à celle de la lumière. 4. a. Formule vue en première : photon h. h.c 4. b. Energie du photon en fonction de p et de c : p. m.c 4 or : m photon 0 d 'où : p.c

10 4. c. p.c h.c p h