Corrigé Exercice 1 : PASSERELLE TÉLESCOPIQUE D'AÉROPORT

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1 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae / Corrié Exercice : PASSEREE TÉESCOPIQUE D'AÉROPORT Question : Réaliser le raphe de structure, puis compléter-le en vue d une étude de statique. Rpes Sphérique de centre A 4 (3) Glissière de direction Sphère-clindre de centre B et de direction x () Rpes Pivot d axe ( Cz, ) 3 Pivot d axe ( Ez, ) () Sphère-plan de point de contact D et de normale z Question : Par quel(s) isolement(s) peut-on commencer? Isolement à ne pas faire : - Ne jamais prendre le bâti dans un isolement. - Ne jamais prendre un isolement qui a plus de 6 inconnues de liaison (exemple {} où on a inconnues) car le PFS nous donne dans l'espace que 6 équations. - Ne pas prendre un isolement qui n'inclue pas les données du sujet (ici Rpes et Rpes ) dans son calcul (exemple {3}). On peut donc débuter par : Isoler {,, 3} Isoler {,, 3, 4} Question 3 : Parmi ces isolements, lequel donnera moins de calcul? Isoler {,, 3, 4} 4 AME : AM 4, AM 3, AMpes et AMpes A B Isoler {,, 3} 5 AME : AM4, AM4, AM 3, AMpes et AMpes Ainsi, pour effectuer moins de calcul, il est préférable d'isoler le sstème qui comporte le moins d'ame, c'està-dire ici {,, 3, 4}. Question 4 : Donner la suite d isolement à effectuer pour pouvoir déterminer complètement toutes les actions transmissibles dans les liaisons. Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Isoler {,, 3, 4} AM 4 et AM 3 Isoler {4} A B AM 4 et AM 4 Isoler {, 4} AM (NB : pour déterminer cette action, nous aurions pu aussi isoler {, 3}) Isoler {3} AM 3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

2 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae / Question 5 : Résoudre vos différents isolements. ) Isolons {,, 3, 4}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {,, 3, 4}. - Action mécanique de sur 4 (pivot d axe ( Ez), ) - Action mécanique de sur 3 (sphère-plan de point de contact D et de normale z ) - Action mécanique de la pesanteur sur - Action mécanique de la pesanteur sur X4 P, 4 4 Y4 MP,4 Z 4 T T 3 P( E, z) Tpes T pes P( G, z) m. Z P( D, z) 3 m. P( G, z) On détermine les moments au point E des 3 torseurs à transporter : ME,3 MC, 3 EC R3 ME, pes MG, pes EG Rpes ME,3 ( h. z. ) ( Z3. z) ME, pes ( h. z d. ) ( m.. z) ME,3. Z3. x ME, pes d. m.. x ME, pes MG, pes EG Rpes ME, pes ( h. z. e. x) ( m.. z) ME, pes. m.. x e. m.. Donc :. Z 3 T 3 Tpes T pes E Z 3 E d. m. m.. m. e. m. m. E T Puis, on applique le PFS : SS X4 Y 4 Z4 Z3 m. m. E, 4. Z3 d. m.. m. M E,4 e. m. X4 Y4 Z4 Z3 m. m. E, 4. Z3 d. m.. m. ME,4 e. m. On remarque que l'on ne peut pas tout résoudre car équation a donné = MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

3 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae 3/ ) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4}. - Action mécanique de sur 4 (pivot d axe ( Ez), ) - Action mécanique de sur 4 en A (sphérique de centre A) - Action mécanique de sur 4 en B (sphère-clindre de centre B et de direction x ) E,4 A A B T 4 e. m. T 4 Y 4 T E Z 4 A X 4 A Z 4 A B 4 Y 4 B B Z 4 On détermine les moments au point A des torseurs à transporter : B B B MA, 4 ME,4 AE R4 MA, 4 MB, 4 AB R 4 B B B MA, 4 ( E, 4. x e. m.. ) ( a. x h. z) ( Z4. z) A, M (. a. x) ( Y. Z. z) B B B MA, 4 E, 4. x e. m.. a. Z4. A, M. ay.. z. a. Z. Donc : E,4 T 4 e. m. a. Z4 T A Z 4 B B B 4 Y 4. a. Z 4 B B Z 4. ay. A 4 T Puis, on applique le PFS : A X 4 A B Y 4 Y 4 A B Z 4 Z4 Z 4 E, 4 B e. m.. a. Z4 a. Z4 B. ay. 4 SS A A B X 4 Y 4 Y 4 E, 4 A B Z 4 Z4 Z 4 B e. m.. a. Z4 a. Z4 On remarque que l'on ne peut pas tout résoudre car il nous manque toujours l inconnue Z 4 de l'isolement précédent. Mais maintenant que l'on connait E, 4, nous pouvons reprendre notre er sstème d'équations déterminées à la question précédente : X4 Y4 Z4 Z3 m. m. E, 4. Z3 d. m.. m. ME,4 e. m. X4 Y4 E, 4 d. m.. m. ( d). m. Z4 m. m. d. m.. m. Z3 ME,4 e. m. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

4 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae 4/ Connaisant Z 4 A A B X 4 Y 4 Y 4 E, 4 A B Z 4 Z4 Z 4 B e. m.. a. Z4 a. Z4 ( d). m., nous pouvons reprendre cette fois-ci notre ème sstème d'équations : A A B X 4 Y 4 Y 4 E, 4 A ( d). m. B Z4 Z4 B e. m. ( d). m. Z 4. a. A A B X 4 Y 4 Y 4 E, 4 A ( d). m. B Z4 Z4 B e. m. ( d). m. Z 4. a. A A B X 4 Y 4 Y 4 E, 4 A ( d). m. e. m. ( d). m. Z 4. a. B e. m. ( d). m. Z 4. a. A A B X 4 Y 4 Y 4 E, 4 A e. m. ( d). m. Z 4. a. B e. m. ( d). m. Z 4. a. ) Isolons {, 4}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {, 4}. - Action mécanique de sur 4 (pivot d axe ( Ez), ) - Action mécanique de sur (lissière de direction ) - Action mécanique de la pesanteur sur 4 e. m. ( d). m. E P, T T MP, T pes P X Z N P, ( x,, z ) m. P( G, z) On détermine les moments au point M des torseurs à transporter : MM,4 ME,4 ME R4 MM, pes MG, pes MG Rpes ( d). m. MM,4 ( e. m.. ) ( l. h. z) (. z) MM, pes ( l d). ( m.. z) ( d). m. MM,4 e. m.. l.. x MM, pes ( l d). m.. x MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

5 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae 5/ Donc : ( d). m. l. ( l d). m. T 4 e. m. T pes ( d). m. m. M M T Puis, on applique le PFS : SS X ( d). m. Z m. ( d). m. M, l. ( l d). m. MM, e. m. NM, X d. m. Z d. m. d.( l). m. M, l. d. m. MM, e. m. NM, ) Isolons {3}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {3}. - Action mécanique de sur 3 (pivot d axe ( Cz, ) ) - Action mécanique de sur 3 (sphère-plan de point de contact D et de normale z ) X 3 P,3 T 3 Y3 MP,3 T 3 Z P( C, z) 3 d. m.. m. P( D, z) es torseurs sont déjà écrits au point C. T Donc, on applique le PFS : SS X3 Y 3 d. m.. m. Z3 C,3 MC, 3 X3 Y 3 d. m.. m. Z3 C,3 MC, 3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

6 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae 6/ Ainsi, en récapitulant tous les résultats, les actions mécaniques au niveau des liaisons sont modélisables par : A T 4 T 4 e. m. T 3 A e. m. ( d). m.. a. E ( d). m. B T 4 T e. m. T B e. m. ( d). m.. a. d.( l). m. d. m. M d. m.. m. C 3 d. m.. m. P( D, z) Question 6 : Faire l application numérique. A T 4 T 4 5 T 3 A 875 E 65 B T 4 T 5 T 3 B 85 M C 875 P( D, z) MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

7 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae 7/ Corrié Exercice : MACHINE DE TRACTION Question : Établir le raphe de structure de la partie du sstème étudiée : solides, et. Pivot d axe ( A, ) Glissière de direction T 4 4. A M e respect de la condition de Hélicoïdale d axe smétrie impose de diviser par ( B, ) et de pas p l effort F. F. T ep O Question : Déterminer, en appliquant le Principe Fondamental de la Statique à au point B, les six équations scalaires liant les composantes d actions mécaniques et les dimensions du sstème. ) Isolons {}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {}. - Action mécanique de sur (lissière de direction ) - Action mécanique de l éprouvette sur - Action mécanique de sur (hélicoïdale d axe ( B, ) et de pas p) P, F T MP, T ep T P X Z N P, ( x,, z ) O X P, p Y Y Z N P( B, ) P, (sine «-» car pas à droite) On détermine le moment au point B du torseur à transporter : F F MB, ep MO, ep BO Rep D x ( ) d z Donc : T ep F B F d T Puis, on applique le PFS : X,, B B X F p MB, Y Y Z N B, F Z (,, ) B x z d NB, B B B MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

8 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae 8/ Ce qui permet d obtenir les six équations scalaires : () X X (4) B, B, F p () Y M B, Y (3) Z Z F (6) NB, d NB, Question 3 : Déterminer, en appliquant le Principe Fondamental de la Statique à au point B, les six équations scalaires liant les composantes d actions mécaniques et les dimensions du sstème. ) Isolons {}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {}. - Action mécanique de sur (pivot d axe ( A, ) ) - Action mécanique de 4 sur - Action mécanique de sur (hélicoïdale d axe ( B, ) et de pas p) X P, Y Z N T P( A, ) P, T4 X P, p Y Y Z N P( B, ) P, C un torseur couple est invariant P T T Théorème des actions réciproques es 3 torseurs sont déjà écrits au point B. T Donc, on applique le PFS : X,, B B X C p Donc : Y Y Y Z N B, Z (,, ) B x z N B B B B, Ce qui permet d obtenir les six équations scalaires : (),, (7) B X X B C p (8) Y Y () Y (9) Z Z () NB, NB, Question 4 : En déduire une relation entre F, C et les dimensions du sstème. C F p En utilisant les équations () et () : p soit C F Question 5 : Conclure quant au respect du critère de la fonction FS. F 4888 N N e critère du CdCF est donc respecté. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

9 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae 9/ Corrié Exercice 3 : BRIDE HYDRAUIQUE Question : Repérer et colorier chaque classe d équivalence cinématique (CEC) : Question : Réaliser le raphe de structure, puis compléter le en vue d une étude de statique. Pièce (F=4N) Sphère-plan de point de contact I et de normale 7, 8, 9 () 4 Pivot d axe ( z, ) Pivot lissant d axe ( I, ) (4) Fluide () Ressort 5 (connue),, 6, 3, 4, 5,, Pivot d axe (, ) NB : Rioureusement, il ne faudrait pas faire ce raphe dans la position particulière du dessin. Ainsi les sphères-plans en I et J ne seraient plus suivant Question 3 : Déterminer, en appliquant le Principe Fondamental de la Statique à {7, 8, 9} au point, les six équations scalaires liant les composantes d actions mécaniques et les dimensions du sstème. En déduire l expression de Y4 7 en fonction de l effort presseur F et des dimensions du sstème. ) Isolons {7, 8, 9}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {7, 8, 9}. - Action mécanique de la pièce sur 8 (sphère-plan de point de contact J et de normale ) - Action mécanique de sur 7 (pivot d axe ( z, ) ) - Action mécanique de 4 sur 7 (sphère-plan de point de contact I et de normale ) 8 F 7 P, 7 Tpièce T 7 Y 7 MP, 7 T P( J, ) X Z P(, z) 7 Y P( I, ) On détermine les moments au point des torseurs à transporter : M, pièce8 MJ, pièce8 J Rpièce8 M,47 MI,47 I R47 M, pièce8 ( a. x?. ) F. M,47 ( b. x?. ) Y47. M, pièce8 a. F. z M,47 by. 47. z Donc : 7,7 Tpièce8 F T7 Y7 M,7 T af. X Z 7 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/ Y by

10 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae / T Puis, on applique le PFS : SS X7 F Y 7 Y47 X7 Z7,7 M,7 Z7 af. Y4 7, 7 b M, 7 af. ( a b) Y7 F. F b b a. F by. 47 Question 4 : Déterminer, en appliquant le Principe Fondamental de la Statique à {4} au point I, les six équations scalaires liant les composantes d actions mécaniques et les dimensions du sstème. En déduire l expression de p en fonction de l effort presseur F, de la raideur k et des dimensions du sstème. ) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4}. - Action mécanique du fluide sur 4 - Action mécanique du ressort sur 4 - Action mécanique de sur 4 (pivot lissant d axe ( I, ) ) - Action mécanique de 7 sur 4 (sphère-plan de point de contact I et de normale ) T fluide4 ps. T ressort P( I, ) X 4 I,4 T 4 T 74 Z P( I, ) 4 I,4 N k.( ) 4 P( I, ) af. b P( I, ) On peut appliquer directement le PFS : X4 af. p. S k.( ) b Z4 I,4 NI,4 T car les torseurs sont déjà tous écrits au même point I. SS X4 Z4 I, 4 NI,4 af. k.( ) p b S Question 5 : En déduire la valeur minimale de la pression p permettant le respect du critère de la fonction FP. 3.4.( 6) 33 p,4 N / mm,4 MPa 4 bar.3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

11 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae / Corrié Exercice 4 : BRIDE HYDRAUIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBÈME PAN Question : Réaliser le raphe de structure, puis compléter le en vue d une étude de statique. Pièce (F=4N) Sphère-plan de point de contact I et de normale Pivot d axe ( z, ) () 7, 8, 9 4 (),, 6, 3, 4, 5 Pivot lissant d axe ( I, ) () Fluide () Ressort 5 (connu),, Pivot d axe (, ) () NB : Rioureusement, il ne faudrait pas faire ce raphe dans la position particulière du dessin. Ainsi les ponctuelles en I et J ne seraient plus suivant. Question 3 : Déterminer, en appliquant le Principe Fondamental de la Statique à {7, 8, 9} au point, les six équations scalaires liant les composantes d actions mécaniques et les dimensions du sstème. En déduire l expression de Y4 7 en fonction de l effort presseur F et des dimensions du sstème. ) Isolons {7, 8, 9}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {7, 8, 9}. - Action mécanique de la pièce sur 8 (sphère-plan de point de contact J et de normale ) - Action mécanique de sur 7 (pivot d axe ( z, ) ) - Action mécanique de 4 sur 7 (sphère-plan de point de contact I et de normale ) 3) Modélisables avec l hpothèse problème plan ( J, x, ) par : _ 7 Tpièce8 F _ T7 Y7 _ T _ P( J, ) X _ Y P( I, ) NB : Avec l'hpothèse problème plan ( J, x, ), la forme des différents torseurs n est valable uniquement pour des points du plan de smétrie. C est pourquoi le torseur de la pivot n est valable qu au point et non pas P (, z). On détermine les moments au point des torseurs à transporter : M, pièce8 MJ, pièce8 J Rpièce8 M,47 MI,47 I R47 M, pièce8 ( a. x?. ) F. M,47 ( b. x?. ) Y47. M, pièce8 a. F. z M,47 by. 47. z MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/

12 TD 5 corrié - PFS Résolution analtique + AM dans les liaisons parfaites Pae / Donc : 7 Tpièce8 F _ T7 Y7 _ T af. X _ Y by T Puis, on applique le PFS : SS X 7 X 7 af. F Y7 Y47 Y4 7 b a. F by. 47 af. ( a b) Y7 F. F b b Question 4 : Déterminer, en appliquant le Principe Fondamental de la Statique à {4} au point I, les six équations scalaires liant les composantes d actions mécaniques et les dimensions du sstème. En déduire l expression de p en fonction de l effort presseur F, de la raideur k et des dimensions du sstème. ) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4}. - Action mécanique du fluide sur 4 - Action mécanique du ressort sur 4 - Action mécanique de sur 4 (pivot lissant d axe ( I, ) ) - Action mécanique de 7 sur 4 (sphère-plan de point de contact I et de normale ) 3) Modélisables avec l hpothèse problème plan ( J, x, ) par : _ T fluide4 ps. _ T ressort _ P( I, ) X 4 T 4 _ T 74 _ N P( I, ) I,4 k.( ) 4 P( I, ) _ af. _ b _ P( I, ) On peut appliquer directement le PFS : T car les torseurs sont déjà tous écrits au même point I. SS X4 X4 N I,4 af. p. S k.( ) af. k.( b ) p b NI,4 S Question 5 : Faire l application numérique. 3.4.( 6) 33 p,4 N / mm,4 MPa 4 bar.3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël /5/