Angle et parallèles. Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
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- Emmanuelle St-Georges
- il y a 7 ans
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1 Angle et parallèles Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Si 2 droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l une est perpendiculaire à l autre. Si 2 droites sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à l une est parallèle à l autre. Sécantes et angles. Soient (D) et (D ) 2 droites coupées par une droite ( ) respectivement en A et en B. 2 angles sont ALTERNES-INTERNES si : L un a pour sommet A et l autre a pour sommet B. Ils sont réparties de part et d autre de ( ) entre (D) et (D ). 2 angles sont CORRESPONDANTS si : L un a pour sommet A et l autre a pour sommet B. Ils sont situés du même côté de ( ), l un entre (D) et (D ) et l autre à l extérieur.
2 Propriété directe Si 2 droites parallèles sont coupées par une droite sécante, alors les ANGLES ALTERNES-INTERNES sont égaux et les angles CORRESPONDANTS sont égaux. Propriétés réciproques Soient (D) et (D ) 2 droites coupées par une droite ( ) respectivement en A et en B. Si les angles ALTERNES-INTERNES ainsi formées sont égaux, alors (D) et (D ) sont parallèles. Si les angles CORRESPONDANTS sont égaux, alors (D) et (D ) sont parallèles.
3 Triangles Angle : La somme des angles d un triangle est toujours de 180. Un Cercle est inscrit dans un cercle si le cercle est tangent à chaque côté du triangle. On dit qu une droite (D) est tangente à un cercle (C) de centre O en M si la droite (D) est perpendiculaire au rayon [OM] en M. Droites remarquables : Médiatrice : droite perpendiculaire à un côté et passant par le milieu de ce côté. Médiane : droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Hauteur : segment passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Bissectrice : droite qui coupe un angle en 2 angles de même mesure. Les médiatrices d un triangle se coupent en un point O qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Les médianes d un triangle se coupent en un point G, appelé centre de gravité du triangle. Les hauteurs d un triangle se coupent en un point H, appelé Orthocentre.
4 Les bissectrices d un triangle se coupent en un point I qui est le centre du cercle inscrit à ce triangle. Triangle ABC rectangle en A: il a un angle droit en A. Un triangle rectangle a ses 2 angles aigus complémentaires. Il est inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de son hypoténuse. La médiane passant par le milieu de l hypoténuse a pour longueur la moitié de l hypoténuse. Selon Pythagore, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés. BC²=BA²+AC² (égalité de Pythagore) Montrer qu un triangle est rectangle Si un triangle est inscrit est dans un cercle et que l un des côtés est diamètre du cercle, ce triangle est rectangle. Si un triangle a une médiane dont la longueur la moitié de la longueur du côté relatif, alors le triangle est rectangle. Si les côtés d un triangle vérifient l égalité de Pythagore, alors, ce triangle est rectangle.
5 Un triangle est isocèle s il a 2 côtés de même mesure. Un triangle isocèle a ; Un axe de symétrie : la médiatrice de sa base. Les 2 angles à la base de même mesure. Un triangle est équilatéral s il a ses côtés de même mesure. Un triangle équilatéral a ; 3 axes de symétrie : ses médiatrices. Les 3 angles de même mesure : 60.
6 Trigonométrie Soit ABC un triangle rectangle en A. I- Vocabulaire Dans un triangle rectangle, on appelle côté adjacent d un angle aigu, l un des 2 côtés qui le forme mais qui n est pas l hypoténuse. Dans un triangle rectangle, on appelle côté opposé d un angle aigu, le côté du triangle qui ne forme pas l angle. Côté adjacent Côté opposé Angle ABC BA CA Angle ACB CA BA II- Définition cosinus d un angle aigu, le rapport : côté adjacent Hypoténuse sinus d un angle aigu, le rapport côté opposé Hypoténuse tangente d un angle aigu, le rapport côté opposé côté adjacent Exemples d utilisation Soit ABC rectangle en A Exemple 1 : avec ABC = 32 et BC=8 cm. Calculez AC et BA. cos(abc ) = BA et sin(abc ) = CA BC BC BA = 8 cos(32) 6,78cm cos(32) = BA 8 et sin(32) = CA 8 CA = 8 sin(32) 4,24cm Exemple 2 : avec CA = 4cm et BA = 6 cm. Calculez l angle ACB. tan(acb ) = BA = 6 CA 4 ACB = arctan ( 6 ) 56,31 4
7 III- Relations trigonométriques Quelque soit l angle β 0, Propriété 1 : cos(β) 2 + sin(β) 2 = 1 Propriété 2 : tan(β) = sin (β) cos (β)
8 Théorème de Thalés Soient (D) et (D ), 2 droites sécantes au point A. M et B sont 2 points distincts de la droite (D). N et C sont 2 points distincts de la droite (D ). Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors, il y a l égalité des rapports : AM AB = AN AC = MN BC Configuration de Thalés : Configuration TRIANGLE Configuration PAPILLON Exemple de Calcul : OP= 5 cm, OR = 12 cm, OM= 7 cm et RS=14,4 cm. Calculez PM et OS. (PM) est parallèle à (RS). Comme (PM) est parallèle à (RS), selon Thalés, OP OR = OM OS = PM RS 5 12 = 7 OS = PM 14,4 A l aide du produit en croix, je peux calculer OS et PM : OS = 7 12 = 16,8 PM = 5 14,4 =
9 Contraposée de Thalés Soient (D) et (D ), 2 droites sécantes au point A. M et B sont 2 points distincts de la droite (D). N et C sont 2 points distincts de la droite (D ). Si AM AN AN ou MN AB AC AC BC AM ou MN, alors (MN) n est pas parallèle à (BC) AB BC Exemple : OP = 4 cm, OR=10 cm, OM=3 cm et OS=7,2 cm OP OR = 4 10 = 0,4 OM OS = 3 7,2 = 0,416 Donc OP OM OR OS, alors (MP) n est pas paralléle à (RS) Réciproque de Thalés. Soient (D) et (D ), 2 droites sécantes au point A. M et B sont 2 points distincts de la droite (D). N et C sont 2 points distincts de la droite (D ). Si AM = AN AN ou = MN AB AC AC BC AM ou = MN, alors (MN) EST parallèle à (BC) AB BC Exemple : OP = 4 cm, OR=10 cm, OM=3 cm et OS=7,5 cm OP OR = 4 10 = 0,4 OM = 3 = 0,4 OS 7,5 Donc OP = OM OR OS, alors (MP) est parallèle à (RS)
10 Agrandissement Réduction. On parle d agrandissement/ Réduction quand 2 «objets» géométriques ont la même forme et des dimensions proportionnelles. Le rapport de proportionnalité sera noté k. Si k > 1, ce sera un agrandissement. Si 0 < k < 1, ce sera une réduction. Propriété : les mesures d angles ainsi que le parallélisme sont conservés par un agrandissement ou une réduction. Calcul Pour calculer les dimensions, l aire ou le volume, on suit les règles suivantes : k Longueur : Objet d origine Objet «modifié» k k² Aire : Objet d origine Objet «modifié» k² k 3 Volume : Objet d origine Objet «modifié» k 3
11 Exemple : On réalise la maquette à l échelle 1 d une statue de 2,4 m de haut dont 10 la surface au sol occupe 1,3 m² et dont le volume est de 7,2 m 3. Quelle sera la hauteur, la surface au sol et le volume? Hauteur maquette : 2,4 1 = 0,24 m = 24 cm 10 Surface au sol de la maquette : 1,3 ( 1 10 )2 = 1,3 100 = 0,013 m² = 130 cm² Volume de la maquette : 7,2 ( 1 10 )3 = 7, = 0,007 2 m3 = 7200 cm 3
12 Les parallélogrammes Définition : On appelle parallélogramme tout quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Propriété : Un parallélogramme admet un centre de symétrie, l intersection de ses diagonales. Propriétés Propriété 1 : Les côtés opposés d un parallélogramme sont de même longueur. Propriété 2 : les angles opposés d un parallélogramme sont de même mesure. Propriété 3 : 2 angles consécutifs d un parallélogramme sont supplémentaires. Propriétés réciproques : Identifier un parallélogramme. Propriété 4 : Si les côtés opposés d un quadrilatère sont égaux, alors, c est un parallélogramme. Propriété 5 : Si DEUX côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles et égaux, alors, c est un parallélogramme. Propriété 6 : Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme.
13 Propriété 7 : Si les angles opposés d un quadrilatère sont égaux, alors c est un parallélogramme. I- Parallélogrammes particuliers : a) Le rectangle (quadrilatère à 4 angles droits) Propriété 8 : Si un parallélogramme a un de ses angles droit, alors c est un rectangle. Propriété 9 : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c est un rectangle. b) Le losange (quadrilatère à 4 côtés de même mesure) Propriété 10 : Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur, alors c est un losange. Propriété 11 : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un losange. c) Le carré Rappel : le carré est un losange rectangle ou un rectangle-losange.
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