Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel. 1. Vecteurs
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- Alphonse Bastien
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1 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs
2 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs.
3 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs.
4 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés
5 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés
6 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés,.
7 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés., e 1 1.,
8 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés 1, e 1, e 2..
9 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés., e 1 1., e 2 1.,
10 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés., e 1 1., e 2 1., e 3.,, e n..
11 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés., e 1 1., e 2 1., e 3.,, e n.. Les e 1,, e n constituent les vecteurs de la base canonique de R n.
12 Exemple. En dimension 2 : e 1 1, e 2, 1
13 Exemple. En dimension 2 : e 1 1, e 2, et en dimension 3 : 1
14 Exemple. 1 En dimension 2 : e 1, e 2, et en dimension 3 : 1 1 e 1, e 2, e 3. Si on liste en colonne les notes d un élève au Bac, c est un vecteur en quelle dimension?
15 Exemple. 1 En dimension 2 : e 1, e 2, et en dimension 3 : 1 1 e 1, e 2, e 3. Si on liste en colonne les notes d un élève au Bac, c est un vecteur en quelle dimension? matière Note maths Physique Chimie SVT Histoire Géo Français Réponse : en dimension 9 Philosophie LV 1 LV 2 EPS
16 Opérations permises dans R n addition, soustraction ou multiplication par un scalaire, ou une combinaison de ces opérations, appelée combinaison linéaire Exemples : 3, 3, a e e 2.
17 Opérations permises dans R n addition, soustraction ou multiplication par un scalaire, ou une combinaison de ces opérations, appelée combinaison linéaire Exemples : 3, 3, a 3 a e e 2. 11
18 Opérations permises dans R n addition, soustraction ou multiplication par un scalaire, ou une combinaison de ces opérations, appelée combinaison linéaire Exemples : 3, 3, a 3 a e e On peut aussi décomposer en combinaison linéaire : 7 2 a 5 3 e 5 1 1, a e b 1 + b e 2.
19 Opérations permises dans R n addition, soustraction ou multiplication par un scalaire, ou une combinaison de ces opérations, appelée combinaison linéaire Exemples : 3, 3, a 3 a e e On peut aussi décomposer en combinaison linéaire : 7 2 a 5 3 e 5 1 1, a e b 1 + b e Décomposer en combinaison linéaire de et revient à chercher des coefficients x et y tels que x + y { 7x + 2y 3 Ceci revient à résoudre le système 3x + y 2 x 1, y 5
20 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices.
21 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices.
22 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles :
23 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison :
24 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 2 + s c d
25 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd
26 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd Réciproquement, on peut factoriser :
27 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd Réciproquement, on peut factoriser : 2 1 2, 4 2
28 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd Réciproquement, on peut factoriser : ,
29 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd Réciproquement, on peut factoriser : ,
30 Ecriture indicielle d une matrice Comment indexer chaque entrée position dans une matrice? v 1 Facile pour un vecteur v : v v 2. v 3 Comme faire pour une matrice a? a? A
31 Ecriture indicielle d une matrice Comment indexer chaque entrée position dans une matrice? v 1 Facile pour un vecteur v : v v 2. v 3 Comme faire pour une matrice a? a? a 11 a 12 A double indice a 21 a 22???? a ij l entrée sur la i-ème ligne et la j-ième colonne. Exo. 1. Déterminer le vecteur v en dimension 3 tel que v i i + 1, i 1, 2, 3 ainsi que la matrice A de taille 3x3 telle que a 23 1 et les autres a ij.
32 Ecriture indicielle d une matrice Comment indexer chaque entrée position dans une matrice? v 1 Facile pour un vecteur v : v v 2. v 3 Comme faire pour une matrice a? a? a 11 a 12 A double indice a 21 a 22???? a ij l entrée sur la i-ème ligne et la j-ième colonne. Exo. 1. Déterminer le vecteur v en dimension 3 tel que v i i + 1, i 1, 2, 3 ainsi que la matrice A de taille 3x3 telle que a 23 1 et 2 les autres a ij. Solution : v 3, A 1. 4
33 Ecriture indicielle d une matrice Comment indexer chaque entrée position dans une matrice? v 1 Facile pour un vecteur v : v v 2. v 3 Comme faire pour une matrice a? a? a 11 a 12 A double indice a 21 a 22???? a ij l entrée sur la i-ème ligne et la j-ième colonne. Exo. 1. Déterminer le vecteur v en dimension 3 tel que v i i + 1, i 1, 2, 3 ainsi que la matrice A de taille 3x3 telle que a 23 1 et 2 les autres a ij. Solution : v 3, A Expliciter d ij 2,2 avec d ij i + j à faire à la maison. 4
34 Matrices spéciales La matrice d identité de taille n est toujours notée par la lettre I, Id ou bien I n, Id n : 1 1 I 1 1, I 2, I 1 3 1, I 4 1
35 Matrices spéciales La matrice d identité de taille n est toujours notée par la lettre I, Id ou bien I n, Id n : 1 1 I 1 1, I 2, I 1 3 1, I 4 1 On peut aussi représenter une matrice comme une liste de vecteurs colonnes A 4 u v e 3 avec u 2 et v 2 e 2. 1 A
36 Matrices spéciales La matrice d identité de taille n est toujours notée par la lettre I, Id ou bien I n, Id n : 1 1 I 1 1, I 2, I 1 3 1, I 4 1 On peut aussi représenter une matrice comme une liste de vecteurs colonnes A 4 u v e 3 avec u 2 et v 2 e A
37 Matrices spéciales La matrice d identité de taille n est toujours notée par la lettre I, Id ou bien I n, Id n : 1 1 I 1 1, I 2, I 1 3 1, I 4 1 On peut aussi représenter une matrice comme une liste de vecteurs colonnes A 4 u v e 3 avec u 2 et v 2 e A Quels sont les vecteurs colonnes de Id n?
38 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA.
39 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA. Pour pouvoir effectuer AB, il faut la longueur d une ligne de A la longueur d une colonne de B
40 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA. Pour pouvoir effectuer AB, il faut la longueur d une ligne de A la longueur d une colonne de B B On pose A et B de telle façon : A, puis on calcule A 3 2 B 1 1 en suivant l exemple : 4 2, A 2 AB 1 1 B AB
41 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA. Pour pouvoir effectuer AB, il faut la longueur d une ligne de A la longueur d une colonne de B B On pose A et B de telle façon : A, puis on calcule A 3 2 B 1 1 en suivant l exemple : 4 2, A 2 AB 1 1 où B AB
42 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA. Pour pouvoir effectuer AB, il faut la longueur d une ligne de A la longueur d une colonne de B B On pose A et B de telle façon : A, puis on calcule A 3 2 B 1 1 en suivant l exemple : 4 2, A 2 AB 1 1 où C est comme le calcul de la note finale de deux matières avec 4 2 comme coefficients c est aussi le produit scalaire de deux vecteurs. B AB
43 , où B A Calculer toutes les cases de AB de la même manière en commençant par * :
44 , où B Calculer toutes les cases 1 1 de AB de la même manière en commençant par * : A Donc
45 , où B Calculer toutes les cases 1 1 de AB de la même manière en commençant par * : A Donc Remarque. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B : c est la première colonne de AB
46 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que?? et??. 2. a b a b 3. a b a b a a 4. b b a b 5. c d x y 6. Réécrire le système matriciel. { 7x + 2y 3 3x + y 2 sous forme de produit
47 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b a b x 5. c d y { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y 2 matriciel.
48 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b aa ab ba bb bizarre...? a b x 5. c d y { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y 2 matriciel.
49 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b aa ab ba bb bizarre...? a b x ax + by 5. c d y cx + dy { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y 2 matriciel.
50 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b aa ab ba bb bizarre...? a b x ax + by 5. c d y cx + dy { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y x 3 matriciel y 2
51 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b aa ab ba bb bizarre...? a b x ax + by 5. c d y cx + dy { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y x 3 matriciel y 2 C est l une des raisons de multiplier deux matrices de telle façon!.
52 Définition formelle Rappel. Pour une matrice quelconque A, on utilise une double indice a ij indiquant la valeur de A dans la i-ème ligne et j-ème colonne. Définition Etant données deux matrices A de taille m n et B de taille n p NB : le même nombre n on définit le produit des deux matrices AB M m,p R, par n AB ik A ij B jk j1
53 Définition formelle Rappel. Pour une matrice quelconque A, on utilise une double indice a ij indiquant la valeur de A dans la i-ème ligne et j-ème colonne. Définition Etant données deux matrices A de taille m n et B de taille n p NB : le même nombre n on définit le produit des deux matrices AB M m,p R, par n AB ik A ij B jk A i1 B 1k + A i2 B 2k + A i3 B 3k + + A in B nk. j1
54 Définition formelle Rappel. Pour une matrice quelconque A, on utilise une double indice a ij indiquant la valeur de A dans la i-ème ligne et j-ème colonne. Définition Etant données deux matrices A de taille m n et B de taille n p NB : le même nombre n on définit le produit des deux matrices AB M m,p R, par n AB ik A ij B jk A i1 B 1k + A i2 B 2k + A i3 B 3k + + A in B nk. j1 l élément ik est formé à partir de la i-ème ligne de A : A i1 A i2 A in et la k-ème colonne de B : scalaire. B 1k B 2k. B nk par un produit
55 Retrouver une ligne ou colonne On peut récupérer la j-ème colonne d une matrice A M m,n R. par A e j où e j 1 R n, avec 1 à la j-ème ligne et ailleurs. Le. n-tuple de vecteurs, e 1,..., e n s appelle la base canonique de R n.
56 Retrouver une ligne ou colonne On peut récupérer la j-ème colonne d une matrice A M m,n R. par A e j où e j 1 R n, avec 1 à la j-ème ligne et ailleurs. Le. n-tuple de vecteurs, e 1,..., e n s appelle la base canonique de R n. Question : Comment récupérer la i-ème line d une matrice?
57 Retrouver une ligne ou colonne On peut récupérer la j-ème colonne d une matrice A M m,n R. par A e j où e j 1 R n, avec 1 à la j-ème ligne et ailleurs. Le. n-tuple de vecteurs, e 1,..., e n s appelle la base canonique de R n. Question : Comment récupérer la i-ème line d une matrice? réponse : la multiplier à gauche par un vecteur spécial!
58 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices.
59 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B
60 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B 2. Si les produits AB et BC sont définis, alors on peut effectuer les produits ABC et ABC, de plus : ABC A BC On écrit simplement ABC pour ce produit c est la lois associative.
61 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B 2. Si les produits AB et BC sont définis, alors on peut effectuer les produits ABC et ABC, de plus : ABC A BC On écrit simplement ABC pour ce produit c est la lois associative. 3. Si B et C ont la même taille, et AB est défini, on peut factoriser AB+ACAB+C, AB+kC AB + kac c est la lois distributive.
62 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B 2. Si les produits AB et BC sont définis, alors on peut effectuer les produits ABC et ABC, de plus : ABC A BC On écrit simplement ABC pour ce produit c est la lois associative. 3. Si B et C ont la même taille, et AB est défini, on peut factoriser AB+ACAB+C, AB+kC AB + kac c est la lois distributive. 4. AC + BC A + BC sous quelle condition?
63 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B 2. Si les produits AB et BC sont définis, alors on peut effectuer les produits ABC et ABC, de plus : ABC A BC On écrit simplement ABC pour ce produit c est la lois associative. 3. Si B et C ont la même taille, et AB est défini, on peut factoriser AB+ACAB+C, AB+kC AB + kac c est la lois distributive. 4. AC + BC A + BC sous quelle condition? Question piège : Est-ce qu on peut factoriser AB + BC?
64 1 x x Exemples. 1 y y et
65 1 x x Exemples.. et 1 y y matrice identité Question de quelle taille? 1 3 2? 1 1 2
66 Preuve de ABC ABC Prenons B M n,p R. Alors : p p n ABC il AB ik C kl A ij B jk C kl j1 k1 k1 k1 j1 n p n n A ij B jk C kl B jk C kl A ij BC jl ABC il. j1 A ij p k1 j1 commutativité de l addition des nombres réels.
67 Preuve de ABC ABC Prenons B M n,p R. Alors : n j1 k1 ABC il p A ij B jk C kl p AB ik C kl k1 n j1 A ij p k1 p n A ij B jk C kl k1 B jk C kl j1 n A ij BC jl ABC il. j1 commutativité de l addition des nombres réels Ex Ex Il serait stupide 2 2 de calculer ce produit différemment.
68 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite.
69 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1.
70 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc
71 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse!
72 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe?
73 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 :
74 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 : X
75 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 : X Id X
76 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 : X Id X A 1 AX
77 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 : X Id X A 1 AX A 1 AX.
78 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX
79 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y
80 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX
81 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y
82 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y
83 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y Une autre façon de poser la question, résoudre avec x, y comme 7 2 x 3 inconnues. 3 1 y 2
84 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y Une autre façon de poser la question, résoudre avec x, y comme 7 2 x 3 inconnues. Ou encore : résoudre le système 3 1 y 2 { 7x + 2y 3. 3x + y 2
85 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y Une autre façon de poser la question, résoudre avec x, y comme 7 2 x 3 inconnues. Ou encore : résoudre le système 3 1 y 2 { 7x + 2y 3. Solution : x 1 et y 5. 3x + y 2
86 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y Une autre façon de poser la question, résoudre avec x, y comme 7 2 x 3 inconnues. Ou encore : résoudre le système 3 1 y 2 { 7x + 2y 3. Solution : x 1 et y 5. 3x + y 2 Donc ça sert à résoudre les systèmes entre autres.
87 Comment trouver l inverse d une matrice? Méthode brutale : on considère les coefficients comme des inconnus et on essaye de résoudre le problème :?A I. 1 1 a b Exemple. Soit. A. On cherche telle que c d a b c d 1
88 Comment trouver l inverse d une matrice? Méthode brutale : on considère les coefficients comme des inconnus et on essaye de résoudre le problème :?A I. 1 1 a b Exemple. Soit. A. On cherche telle que c d a b Réponse? c d 1
89 Comment trouver l inverse d une matrice? Méthode brutale : on considère les coefficients comme des inconnus et on essaye de résoudre le problème :?A I. 1 1 a b Exemple. Soit. A. On cherche telle que c d a b Réponse? c d 1 Plus tard nous allons apprendre : des tests simples sur la possibilité ou non d inverser une matrice donnée. des méthodes systématiques de calculer cette matrice inverse lorsqu elle existe. résoudre des systèmes A x c : si A admet une matrice inverse B, alors la solution du système est B c. tirer des info lorsque A n est pas inversible.
90 6. Matrices particulières et d autres opérations matricielles Définition Si A M m,n R on définit sa matrice transposée t A M n,m R qui échange les lignes et les colonnes : t A ji A ij. 2 3 Ex. 1. t Ex. 2. a et 2 b On a 2 produit scalaire a b t a b Questions : Lorsqu on combine la transposée avec +, k. et la multiplication AB, qu obtient-on?
91 Théorème AC 1 C 1 A 1. Si BA I alors AB I. Preuve : Pour que C 1 A 1 soit la matrice inverse de AC, il faut les multiplier : C 1 A 1 AC C 1 A 1 AC C 1 IC C 1 C I. Pour le deuxième, BA I pour tout v, le système A x v admet comme solution x B v. Du coup AB v AB v A x v pour tout v. En particulier AB e j e j pour tout e j de la base standard. Or AB e j est la j-ième colonne de AB. Cette colonne est donc e j. Ainsi AB I. Questions pièges : Comment procéder lorsqu on combine l inversion avec la transposition, la multiplication avec un scalaire, et l addition?
92 Définition Une matrice carrée est dite symétrique si t A A, ou encore A ij A ji anti-symétrique si t A A, A ij A ji diagonale si A ij pour i j triangulaire supérieure inférieure si A ij pour i > j i < j respectivement.
93 Exemples 1. une matrice symétrique : la table des multiplication, la table des kilométrages entre des pairs de villes. 2. un exemple antisymétrique : la table des différence, ou prêt-emprunts. 1 x y 3. correspond à l opération "chapeau" 1 y x x; y y; x qui effectue une rotation de π/2 9 o dans le sens direct dans le plan.
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