Cours n 12 : Optique géométrique

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1 Cours n 12 : Optique géométrique 1) Emission et propagation de la lumière 1.1) Approximation de l optique géométrique Les résultats de ce cours restent valables dans le cas de l approximation de l optique géométrique. Dans le cadre de cette approximation, on considérera que la longueur d onde λλ du rayonnement lumineux est très inférieure aux dimensions des surfaces et des irrégularités rencontrées. L optique géométrique apparaît donc comme l approximation des très faibles longueurs d onde de l optique ondulatoire. 1.2) Source lumineuse Par définition, une source lumineuse représente tout objet émettant de la lumière. Il existe deux types de sources lumineuses : - Les sources primaires qui sont les corps qui vont produire de façon propre de la lumière (soleil, lampes à incandescence, ) - Les sources secondaires : ce sont les corps qui vont diffuser la lumière qu ils reçoivent (la lune, ). 1.3) Le rayon lumineux Par définition, un rayon lumineux représente le trajet suivi par la lumière depuis un point lumineux. Un faisceau lumineux est constitué par un ensemble de rayons lumineux. Propagation rectiligne de la lumière Dans tout milieu transparent (laissant passer la lumière), homogène( mêmes propriétés en chacun des points du milieu) et isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions) comme le vide ou l air, la lumière se propage en ligne droite. Principe de retour inverse de la lumière Le trajet suivi par la lumière entre deux points est indépendant de son sens de propagation. 1.4) Réception de la lumière Fonctionnement de l œil Un point lumineux émet un faisceau divergent de lumière dont une certaine partie pénètre dans l œil par le cristallin. Pour un œil normal, le cristallin va reconstituer un point sur la rétine qui joue alors le rôle d écran. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 1

2 Un œil normal donne d un objet situé à l infini une image nette sur la rétine. Lorsque l objet se rapproche, le cristallin se déforme afin que l image de l objet, qui n est plus au foyer image, se forme encore sur la rétine. On dit alors que l œil accommode. Cette déformation est maximale lorsque l objet est situé à une distance dd mm appelée «distance minimale de vision distincte». Cette distance varie d un individu à l autre et change avec l âge. On la prend souvent égale à 25 cm. Ainsi un œil normal voit nettement un objet placé entre un point PP appelé le punctum proximum situé à la distance dd mm et un point RR, le punctum remotum situé à l infini. rayon lumineux cristallin rétine Diamètre apparent d un objet Par définition, le diamètre apparent d un objet est l angle sous lequel l objet est vu par un œil qui l observe. θθ AA BB LL tan θθ 2 = AAAA 2 LL = AAAA 2LL Pour des objets suffisamment éloignés (AAAA LL), l angle θθ est petit sin θθ 2 tan θθ 2 θθ 2. Soit θθ 2 = AAAA 2LL θθ = AAAA LL Plus l objet est éloigné, plus θθ est petit. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 2

3 2) Réflexion et réfraction du rayon lumineux 2.1) Réflexion de la lumière 2.1.1) Lois de la réflexion Lorsqu un rayon lumineux arrive sur un miroir, il est entièrement dévié par le miroir. On appelle ce phénomène la réflexion. Par définition, l angle d incidence ii est l angle entre le rayon incident et la normale au plan du miroir. L angle de réflexion rr est l angle entre la normale au plan du miroir et le rayon réfléchi. 1 ère loi Le rayon réfléchi est dans le plan défini par le rayon incident et la normale au plan du miroir. 2 ème loi ii rr L angle d incidence est égal à l angle de réflexion ii = rr 2.1.2) Rotation d un miroir Lorsqu un miroir pivote d un angle αα autour du point d incidence, le rayon réfléchi tourne d un angle 2αα. SS αα RR 1 ii 2 2αα ii 2 RR 2 II Démonstration Angle d incidence avant rotation : SSSSRR 1 = Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 3

4 Angle d incidence après rotation ii 2 : ii 2 = + αα SSSSRR 2 = 2ii 2 = 2( + αα) = 2 + 2αα SSSSRR 2 = SSSSRR 1 + 2αα 2.1.3) Construction d une image par un miroir plan L image d un objet après réflexion sur un miroir plan est une image virtuelle symétrique de l objet par rapport au miroir. AA miroir ii rr = ii AA Le rayon réfléchi par le miroir semble provenir du point AA, symétrique de AA par au plan du miroir ) Champ de vision d un miroir On appelle champ de vision d un miroir, pour une position donnée de l observateur, la région de l espace dont l image par le miroir peut être vue par un observateur donné. Le champ de vision dépend de la position de l observateur et ses déplacements modifient son champ de vision par le miroir. On a par exemple le champ de vision d un rétroviseur. La figure est réalisée en traçant les deux rayons extrêmes. L observateur est situé au point. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 4

5 2.2) Réfraction de la lumière 2.2.1) Réfringence d un milieu transparent La réponse d un milieu au passage de la lumière est différente selon les propriétés du matériau. Ainsi, un milieu pourra être plus ou moins transparent au passage de la lumière. Cette propriété est caractérisée par la notion de réfringence et se traduit par l existence d un indice de réfraction. Par définition, l indice de réfraction représente le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et la vitesse de la lumière dans le milieu considéré. On a : nn = cc vv cc = vitesse de la lumière dans le vide = mm ss 1 vv = célérité de la radiation dans le milieu considéré. Ainsi vv = cc nn dans un milieu d indice nn, la lumière se propage nn fois moins vite que dans le vide. Comme on a toujours vv cc nn 1. Plus l indice de réfraction est élevé et plus le milieu est dit réfringent ) Lois de la réfraction Par définition, un dioptre est une surface séparant deux milieux d indices différents. Lors du passage de la lumière à travers un dioptre, celui-ci va dévier la trajectoire suivie par les rayons lumineux. Ce phénomène s appelle la réfraction. Par définition, on appelle rayon incident le rayon avant le passage du dioptre. On appelle rayon réfracté le rayon après le passage du dioptre. Par définition, on appelle angle d incidence, l angle entre le rayon incident et la normale au dioptre. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 5

6 1 ère loi : Le rayon réfracté est dans le plan défini par le rayon incident et la normale au dioptre. 2 ème loi L angle d incidence et l angle de réfraction ii 2 vérifient la relation : nn 1 sin = nn 2 sin ii 2 milieu 1 d indice nn 1 dioptre ii 2 milieu 2 d indice nn 2 Conséquence immédiate : Un rayon incident normal au dioptre n est pas dévié. Si = 0 nn 2 sin ii 2 = 0 sin ii 2 = 0 ii 2 = 0 = ii 2 = ) Lois de Snell-Descartes 2.3.1) Enoncé des lois Au passage d un dioptre, une partie de la lumière est transmise par réfraction et une autre partie par réflexion. Les lois de Snell-Descartes définissent les rayons réfracté et réfléchi en fonction du rayon incident. Soit un rayon lumineux arrivant sous un angle d incidence, sur un dioptre, au passage du milieu d indice nn 1 vers le milieu d indice nn 2. 1 ère loi Le rayon réfracté et le rayon réfléchi, lorsqu ils existent, sont tous les deux dans le plan défini par le rayon incident et la normale au dioptre. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 6

7 2 ème loi L angle de réflexion est égal à l angle d incidence. 3 ème loi L angle d incidence et l angle de réfraction ii 2 vérifient la relation : nn 1 sin = nn 2 sin ii 2 milieu 1 d indice nn 1 dioptre ii 2 milieu 2 d indice nn ) Traversée d un dioptre vers un milieu plus réfringent (air verre ou air eau) nn 1 sin = nn 2 sin ii 2 sin ii 2 = nn 1 nn 2 sin On a : nn 1 < nn 2 nn 1 nn 2 < 1 sin ii 2 < sin ii 2 < milieu 1 d indice nn 1 dioptre ii 2 milieu 2 d indice nn 2 avec nn 2 > nn 1 Le rayon se rapproche de la normale En incidente rasante = 90 ii 2 = ii 2mmmmmm avec sin ii 2mmmmmm = nn 1 nn 2 Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 7

8 2.3.3) Traversée d un dioptre vers un milieu moins réfringent nn 1 > nn 2 sin ii 2 > sin ii 2 > milieu 1 d indice nn 1 dioptre ii 2 milieu 2 d indice nn 2 avec nn 2 < nn 1 Le rayon s éloigne de la normale Il existe un angle limite d incidence llllll au-delà duquel le rayon réfracté n existe plus. Angle limite de réfraction pour ii 2 = 90. Pour > llllll, il y a réflexion totale. sin llllll = nn 2 nn ) Réfraction par un prisme d un rayon monochromatique nn 0 SS BB AA II αα ββ rr 1 rr 2 DD CC ii 2 rayon incident nn HH rayon émergent Un prisme est composé d un matériau optiquement transparent comme le verre par exemple. Il est constitué de deux dioptres plans formant un angle AA au sommet. Relations entre les angles d un prisme Il existe quatre relations entre les angles d un prisme. Les deux premières découlent des lois de Snell-Descartes. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 8

9 En BB, on a : nn 0 sin = nn sin rr 1 En CC, on a : nn sin rr 2 = nn 0 sin ii 2 où nn est l indice du verre composant le prisme et nn 0 l indice du milieu dans lequel est placé le prisme (nn 0 = 1 pour l air). Somme des angles dans le triangle SSSSSS d où AA + ππ 2 rr 1 + ππ 2 rr 2 = ππ AA = rr 1 + rr 2 Calcul de l angle de déviation DD BBBBBB + αα + ββ = ππ BBBBBB + DD = ππ DD = αα + ββ = αα + rr 1 ii 2 = ββ + rr 2 αα = rr 1 ββ = ii 2 rr 2 DD = αα + ββ = rr 1 + ii 2 rr 2 = + ii 2 (rr 1 + rr 2 ) DD = + ii 2 AA L angle DD est l angle de déviation. Il mesure le changement de direction du rayon incident. 3) Lentilles optiques 3.1) Généralités 3.1.1) Définitions Par définition une lentille est formée de l association de deux dioptres sphériques. L axe optique est la droite joignant les centres des deux dioptres Une lentille est dite mince si son épaisseur reste petite devant les rayons de courbure des deux dioptres. Il existe deux types de lentilles : les lentilles convergentes et divergentes. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 9

10 Les résultats de ce cours sont valables dans les conditions de Gauss : - les rayons incidents sont peu inclinés par rapport à l axe optique - le point d incidence est proche de l axe optique ) Lentilles convergentes Une lentille est dite convergente si elle transforme un faisceau parallèle en un faisceau convergent. axe optique Il existe trois géométries de lentille convergente : lentille convergente 3.1.3) Lentilles divergentes biconvexe plan convexe ménisque convergent Une lentille est dite divergente si elle transforme un faisceau parallèle en un faisceau divergent. axe optique lentille divergente Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 10

11 biconcave plan concave ménisque divergent 3.1.4) Conventions de vocabulaire espace objet espace image ssssssssèmmmm oooooooooooooo axe optique image virtuelle image réelle objet réel objet virtuel A gauche du système optique, on trouve l espace objet et à droite, on trouve l espace image. Dans l espace objet, on a une image virtuelle et dans l espace image, on a une image réelle. 3.2) Image d un objet par une lentille mince convergente 3.2.1) Définitions et caractéristiques Le foyer objet FF est le point de l axe optique tel que tout rayon incident passant par FF émerge de la lentille parallèlement à l axe optique. Le plan perpendiculaire à l axe optique passant par FF s appelle le plan focal objet. Le foyer image est le point de l axe optique tel que tout rayon incident parallèle à l axe optique émerge de la lentille en passant par lui. Le plan perpendiculaire à l axe optique passant par s appelle le plan focal image. FF et sont symétriques l un de l autre par rapport au centre optique de la lentille. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 11

12 La distance focale d une lentille est la grandeur algébrique ff telle que : ff = = On appelle vergence CC d une lentille l inverse de la distance focale. CC = 1 ff = 1 CC s exprime en dioptries de symbole δδ avec 1 δδ = 1 mm 1 Rayons particuliers - Tout rayon incident passant par le centre optique n est pas dévié FF - Tout rayon incident parallèle à l axe optique émerge en passant par le foyer image. FF Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 12

13 - Tout rayon incident passant par le foyer objet émerge parallèlement à l axe optique. FF 3.2.2) Construction géométrique de l image d un objet On utilise les rayons particuliers précédents pour déterminer l image d un objet AAAA vertical avec AA un point de l axe optique. Deux cas vont se présenter suivant la position de l objet par rapport au foyer objet 1 er cas : BB AA AA FF BB On obtient une image réelle renversée. 2 ème cas : BB BB FF AA AA On obtient une image virtuelle droite. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 13

14 3.2.3) Nature de l image Une image est dite réelle si elle se forme dans l espace image à droite de la lentille. On peut observer l image sur un écran qui sera nette si l écran est placé en AA. Une image est dite virtuelle si elle se forme dans l espace objet à gauche de la lentille. Grandissement On appelle grandissement le rapport Si γγ > 0 l image est droite. Si γγ < 0 l image est renversée. γγ = AA BB AAAA Si γγ > 1 l image est agrandie. Si γγ < 1 l image est rétrécie ) Formules de conjugaison Formule de Newton FFFF AA = ff 2 où ff est la distance focale de la lentille. Formule de Descartes Formule du grandissement 1 1 = 1 γγ = = AA BB AAAA On peut montrer à partir de la formule de conjugaison les formules suivantes : = (1 γγ) ff = 1 γγ γγ ff Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 14

15 3.2.5) Image d un objet placé à l infini = 1 = L image d un objet situé à l infini se forme dans le plan focal image. BB plan focal image AA θθ FF AA = BB AA BB = ff tan θθ 3.2.6) Image d un objet situé dans le plan focal objet = ff 1 = 0 + L image d un objet situé dans le plan focal objet est rejetée à l infini. BB AA = FF θθ AA BB tan θθ = AAAA ff Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 15

16 3.3) La loupe BB BB AA FF AA αα αα La loupe est une lentille convergente pour laquelle l objet à observer est situé entre le foyer objet de la loupe et son centre optique. Celle-ci est utilisée dans des conditions telles que l image de l objet à travers la loupe est plus grande que l objet. Sans loupe, l observateur voit l objet AAAA sous un angle αα. Avec la loupe, il voit l image AA BB de l objet AAAA sous un angle αα > αα. Pour la loupe, on a γγ = αα αα > 1. La vergence d une lentille jouant le rôle de loupe est grande (toujours supérieure à 4 δδ ) 4) Appareils optiques 4.1) Description du système Un appareil optique est en général constitué d un assemblage en ligne de systèmes optiques. objet AAAA ssssssssèmmmm ssssssssèmmmm ssssssssèmmmm SS 1 SS 2 SS nn AA 1 BB 1 AA 2 BB 2 image AA nn 1 BB nn 1 AA BB Le système SS ii produit une image intermédiaire objet pour le système SS ii+1 et on arrive de proche en proche à l image finale AA BB. Grandissement : γγ = γγ 1 γγ 2 γγ 3 γγ nn = γγ ii nn ii=1 Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 16

17 4.2) Lunette afocale BB plan focal image AA θθ FF 1 FF 1 = AA 1 = FF 2 2 θθ FF 2 BB 1 objectif LL 1 oculaire LL 2 BB Le principe de la lunette afocale est de renvoyer l image finale à l infini pour permettre une observation sans accommoder. Le grossissement GG de la lunette vaut : GG = θθ θθ = diamètre apparent de l'objet à l'œil nu diamètre apparent de l'objet observé à la lunette = ff 1 ff 2 Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 17