Initiation à l analyse factorielle des correspondances

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1 Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique statistique permet de réduire le ombre de variables, afi d obteir ue représetatio graphique des tableaux de cotigece. Elle vise à y rassembler la quasi-totalité de l iformatio iitiale, e s attachat aux correspodaces etre les caractères. Table des matières 1 Exemple itroductif Les doées Défiitio d u score a priori Notio de score optimum Représetatios graphiques Table de Cotigece Tableau des doées Tableaux des profils liges et coloes Lie avec le test du χ 2 d idépedace Compréhesio des résultats d ue AFC Le tableau aalysé Les podératios La matrice diagoalisée Les coordoées des liges Les coordoées des coloes Lie avec le Khi-Deux Carte Factorielle sur les axes 1 et Aides à l iterprétatio Décompositio de l iertie totale Cotributios absolues des liges (resp. des coloes) Cotributios relatives des liges (resp. des coloes) Cotributios relatives cumulées

2 5 Applicatio 16 Référeces 16 1 Exemple itroductif 1.1 Les doées L exemple porte sur la couleur des yeux et la couleur des cheveux de 592 étudiats. Les doées ot été collectées das le cadre d u projet de classe par les étudiats d u cours de statistique élémetaire à l Uiversité de Delaware [3]. see74 <- read.table(" header=true) ames(see74) [1] "cheveux" "yeux" "sexe" head(see74) cheveux yeux sexe 1 Noir Marro Male 2 Blod Bleu Femelle 3 Noir Bleu Male 4 Marro Marro Femelle 5 Roux Marro Male 6 Marro Bleu Male La couleur des cheveux est défiie par 4 modalités : blod, marro, oir et roux. cheveux <- see74$cheveux summary(cheveux) Blod Marro Noir Roux La couleur des yeux est défiie par 4 modalités : bleu, marro, oisette et vert. yeux <- see74$yeux summary(yeux) Bleu Marro Noisette Vert Le lie etre les deux couleurs s obtiet à l aide d u tableau croisé qui vetile la populatio etre les modalités de ces deux variables qualitatives. C est ue table de cotigece. (table(yeux,cheveux) -> couleurs) cheveux yeux Blod Marro Noir Roux Bleu Marro Noisette Vert Par commodité, o trasforme cet objet e u data.frame : (dfcouleurs <- data.frame(uclass(couleurs))) Blod Marro Noir Roux Bleu Marro Noisette Vert Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 2/16 Compilé le

3 1.2 Défiitio d u score a priori O va affecter a priori u score à chacue des coloes (couleur des cheveux), par exemple (1,-1,-1,1), qui opère ue oppositio etre cheveux focés (Marro, Noir) et clairs (Blod, Roux). scorecheveux <- c(1,-1,-1,1) ames(scorecheveux) <- colames(couleurs) scorecheveux Blod Marro Noir Roux Pour chaque lige de la table de cotigece (couleur des yeux), ue fréquece observée correspod à chaque couleur de cheveux. Aisi, pour la modalité yeux Bleu o obtiet : dfcouleurs <- data.frame(uclass(couleurs)) dfcouleurs["bleu",]/sum(dfcouleurs["bleu",]) Blod Marro Noir Roux Bleu Il est alors possible de calculer le score moye pour la modalité yeux Bleu : dfcouleurs["bleu",]/sum(dfcouleurs["bleu",]) -> yeux.bleu yeux.bleu*scorecheveux Blod Marro Noir Roux Bleu sum(yeux.bleu*scorecheveux) [1] Ce score moye positif motre que les idividus aux yeux Bleu ot des cheveux plutôt clairs. Ce score moye peut être calculé pour toutes les couleurs de yeux. freqyeux <- apply(dfcouleurs, 1, fuctio(x) x/sum(x)) freqyeux Bleu Marro Noisette Vert Blod Marro Noir Roux t(freqyeux) Blod Marro Noir Roux Bleu Marro Noisette Vert scoreyeux <- apply(t(freqyeux), 1, fuctio(x) sum(x*scorecheveux)) scoreyeux Bleu Marro Noisette Vert Pour les yeux marros, o obtiet u score moye égal à -0.7 qui est égatif et idique doc que les cheveux focés domiet das cette sous-populatio. O pourrait assez bie séparer les 4 couleurs des yeux sur la base du score proposé pour la couleur des cheveux. Cepedat, deux questios se poset : Existe-t-il u score des cheveux qui permet de discrimier ecore mieux la couleur des yeux? Lorsqu o coaît mois bie le sujet, (ici, l oppositio clair/focé est aturelle), commet défiir u score qui permette de mieux compredre la structure du tableau de doées? Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 3/16 Compilé le

4 1.3 Notio de score optimum L Aalyse Factorielle des Correspodaces (AFC) est la méthode permettat de défiir pour ue table de cotigece u score sur les coloes tel que les scores moyes des liges (obteus e utilisat les fréqueces des tableaux de profils) soiet les plus séparés possibles, au ses de la variace de ces scores moyes. Et iversemet. Cette méthode choisit comme score optimal pour les coloes (cheveux) les valeurs : library(ade4) library(adegraphics) ac <- dudi.coa(dfcouleurs, scaf=f, f=3) rowames(ac$c1) [1] "Blod" "Marro" "Noir" "Roux" ac$c1[,1] [1] O vérifie que les valeurs extrêmes sot obteues pour les modalités Blod et Noir, ce qui reflète que la structure majeure de ce jeu de doées est l oppositio clair/focé. Exercice. Retrouver le score moye des liges (couleur des yeux) à partir des scores optimaux de la couleur des cheveux obteus par l AFC. Répose : Bleu Marro Noisette Vert Il est importat de oter que si o cherche d abord les scores optimaux pour le critère couleur des yeux par la méthode AFC (coordoées des liges, li sous ade4), o obtiet le même résultat : [1] "Bleu" "Marro" "Noisette" "Vert" [1] Le raisoemet que l o viet de teir peut se reproduire das la recherche de score moye des couleurs de cheveux à partir des scores optimaux de la couleur des yeux. rowames(ac$co) [1] "Blod" "Marro" "Noir" "Roux" ac$co[,1] [1] Représetatios graphiques O peut alors doer ue représetatio graphique des valeurs obteues pour les scores des liges (resp. des coloes) pour le premier score optimal des coloes (resp. des liges). score(ac) Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 4/16 Compilé le

5 Et pour fiir, o doe ue représetatio graphique des résultats obteus sur les deux premiers scores optimaux. scatter(ac) 2 Table de Cotigece 2.1 Tableau des doées La table egedrée par le croisemet de deux variables qualitatives s appelle ue table de cotigece observée. Il est importat de rappeler que : i) tout idividu présete ue modalité et ue seule de chaque variable ; Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 5/16 Compilé le

6 ii) chaque modalité doit avoir été observée au mois ue fois, sio elle est supprimée. Les doées sot extraites d ue étude de J. Blodel et H Farre e 1988 [1]. O s itéresse à l abodace d oiseaux - toutes espèces cofodues - das 4 régios européees, sur des sites où les stades de végétatio variet. Les deux variables reteues pour l aalyse sot : 1. la régio : Pologe, Bourgoge, provece ou Corse ; 2. le stade de végétatio : du milieu le plus ouvert S1 au milieu le plus fermé S6. Les doées sot stockées das oiseaux.txt. oiseaux <- read.table(" oiseaux Pologe Bourgoge Provece Corse S S S S S S taboiseaux <- as.table(as.matrix(oiseaux)) Les iformatios de base sot le ombre total d observatios (), le ombre de modalités pour la variable régio (I) et le ombre de modalités pour la variable stade de végétatio (J). ( <- sum(oiseaux)) [1] (I <- row(oiseaux)) [1] 6 (J <- col(oiseaux)) [1] 4 O peut costruire le tableau des fréqueces relatives où chaque terme est de la forme f ij = ij. freqoiseaux <- oiseaux/ roud(freqoiseaux,digits=4) Pologe Bourgoge Provece Corse S S S S S S O peut obteir différetes représetatios graphiques de la table de cotigece. Le pricipe est d utiliser des symboles dot la surface est proportioelle aux effectifs : library(gplots) library(catools) library(bitops) ballooplot(taboiseaux) Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 6/16 Compilé le

7 La foctio mosaicplot permet de mettre e évidece les lies les plus importats : mosaicplot(oiseaux, shade=true,mai="répartitio des oiseaux") Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 7/16 Compilé le

8 2.2 Tableaux des profils liges et coloes O calcule maiteat les fréqueces coditioelles. Pour ce faire, o ote V 1 et V 2, les deux variables qualitatives étudiées. Profils liges Les fréqueces coditioelles associées aux profils liges sot otées f i j défiies par f j i = P (V 2 = j V 1 = i) = P (V 2 = j V 1 = i) P (V 1 = i) et f j i = ij i = ij i (profliges <- prop.table(taboiseaux,1)) Pologe Bourgoge Provece Corse S S S S S S O vérifie que les sommes e liges sot toutes égales à 1. rowsums(profliges) S1 S2 S3 S4 S5 S Profils coloes Les fréqueces coditioelles associées aux profils coloes sot otées f i j et défiies par f i j = P (V 1 = i V 2 = j) = P (V 1 = i V 2 = j) P (V 2 = j) f i j = ij j = ij j (profcoloes <- prop.table(taboiseaux,2)) Pologe Bourgoge Provece Corse S S S S S S O vérifie égalemet que les sommes e coloes sot toutes égales à 1. colsums(profcoloes) Pologe Bourgoge Provece Corse Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 8/16 Compilé le

9 2.3 Lie avec le test du χ 2 d idépedace Le test du Khi-Deux d idépedace etre deux variables est caractérisé par les deux hypothèses : H 0 : les deux variables sot idépedates H 1 : les deux variables sot liées. Sous l hypothèse ulle H 0, P (V 2 = j V 1 = i) = P (V 1 = i) P (V 2 = j). Aisi, sous H 0, la fréquece théorique est égale à i j. O e déduit la table des effectifs théoriques (qui serait observée sous H 0 ), e coservat les effectifs margiaux observés. i j reschi <- chisq.test(oiseaux) reschi$expected Pologe Bourgoge Provece Corse S S S S S S La statistique du test est la suivate : χ 2 = I J i=1 j=1 ( ij i j ) 2 i j Elle ted vers ue loi du χ 2 à (I 1) (J 1) degrés de liberté. Das l étude de la relatio etre le mode de payemet de l assurace automobile et la situatio maritale, le résultat au test du Khi-Deux est reschi Pearso's Chi-squared test data: oiseaux X-squared = , df = 15, p-value < 2.2e-16 Comme la p-value est très faible, o rejette l hypothèse ulle. Les variables sot liées. Il est alors itéressat d explorer la structure de cette relatio. Défiitio O appelle lie etre la modalité i de la variable V 1 et la modalité j de la variable V 2 la quatité : 1 ( ij i j ) ) 2 i j Les couples de modalités (i, j) qui correspodet aux lies les plus importats sot les plus resposables de la dépedace etre la variable V 1 et la variable V 2. Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 9/16 Compilé le

10 Coclusio. Que la liaiso etre les 2 variables soit statistiquemet sigificative ou o, o peut explorer la structure du tableau plus e détail. Lorsque les variables présetet de ombreuses modalités, il est difficile d extraire ue iformatio pertiete si o se cotete d observer le tableau de doées. La techique de l Aalyse Factorielle des Correspodaces (AFC) est là pour pallier cette déficiece. 3 Compréhesio des résultats d ue AFC Les résultats de l AFC de la table de cotigece permettat d étudier l abodace globale des 79 espèces etre les régios et les stades de végétatios. afc <- dudi.coa(oiseaux, scaf=f, f=3) ames(afc) [1] "tab" "cw" "lw" "eig" "rak" "f" "c1" "li" "co" "l1" "call" [12] "N" 3.1 Le tableau aalysé Le tableau aalysé est : afc$tab Pologe Bourgoge Provece Corse S S S S S S C est le lie etre les effectifs théoriques et les effectifs observés. (oiseaux-reschi$expected)/reschi$expected Pologe Bourgoge Provece Corse S S S S S S Les podératios Les podératios des liges et des coloes sot les fréqueces margiales de la table de cotigece observée. afc$cw Pologe Bourgoge Provece Corse apply(oiseaux,2,fuctio(x) sum(x)/) Pologe Bourgoge Provece Corse afc$lw S1 S2 S3 S4 S5 S apply(oiseaux,1,fuctio(x) sum(x)/) S1 S2 S3 S4 S5 S Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 10/16 Compilé le

11 3.3 La matrice diagoalisée La matrice diagoalisée est H. matz <- as.matrix(afc$tab) DI <- diag(afc$lw) DrJ <- diag(sqrt(afc$cw)) math <- DrJ %*% t(matz) %*% DI %*% matz %*% DrJ Le rag de la matrice aalysée est doé par mi(i 1, J 1) soit mi(i-1,j-1) [1] 3 afc$rak [1] 3 Les valeurs propres et les vecteurs propres issus de cette diagoalisatio sot : eige(math) $values [1] e e e e-17 $vectors [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] eige(math) -> reseige O retrouve bie les valeurs propres de l aalyse. reseige$values [1] e e e e-17 afc$eig [1] Les coordoées des liges Les coordoées des liges dites axes pricipaux s obtieet par ZD 1/2 J U. Elles sot cetrées, de variaces λ et de covariaces ulles. matz %*% DrJ %*% reseige$vectors[,1:3] [,1] [,2] [,3] S S S S S S afc$li Axis1 Axis2 Axis3 S S S S S S sum(afc$li$axis1*afc$lw) [1] e-17 sum(afc$li$axis2*afc$lw) [1] e-18 sum(afc$li$axis1*afc$li$axis1*afc$lw) [1] Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 11/16 Compilé le

12 afc$eig[1] [1] sum(afc$li$axis2*afc$li$axis2*afc$lw) [1] afc$eig[2] [1] sum(afc$li$axis1*afc$li$axis2*afc$lw) [1] e Les coordoées des coloes Les coordoées des coloes dites composates pricipales s obtieet par UΛ 1/2. Elles sot cetrées, de variaces λ et de covariaces ulles. D 1/2 J diag(1/sqrt(afc$cw)) %*% reseige$vectors[,1:3] %*% diag(sqrt(afc$eig)) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] [4,] afc$co Comp1 Comp2 Comp3 Pologe Bourgoge Provece Corse sum(afc$co$comp1*afc$cw) [1] e-17 sum(afc$co$comp2*afc$cw) [1] e-17 sum(afc$co$comp1*afc$co$comp1*afc$cw) [1] afc$eig[1] [1] sum(afc$co$comp2*afc$co$comp2*afc$cw) [1] afc$eig[2] [1] sum(afc$co$comp1*afc$co$comp2*afc$cw) [1] e Lie avec le Khi-Deux Lie etre l iertie totale et la valeur de la statistique du Khi-Deux : I T = χ2 reschi$statistic X-squared reschi$statistic/ X-squared sum(afc$eig) [1] Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 12/16 Compilé le

13 3.7 Carte Factorielle sur les axes 1 et 2 scatter(afc) Commeter. 4 Aides à l iterprétatio Les statistiques d iertie sot importates das les aalyses à podératios o uiformes comme l aalyse factorielle des correspodaces. Elles s étedet à tout type d aalyse à u tableau. O les retrouve das la foctio iertia.dudi. Pour les aalyses à podératios uiformes comme l aalyse e composates pricipales, elles sot redodates avec les cartes factorielles. C est pourquoi les statistiques d iertie sot présetées das ce documet. aides <- iertia.dudi(afc, row.iertia=true, col.iertia=true) ames(aides) [1] "TOT" "row.abs" "row.rel" "row.cum" "col.abs" "col.rel" "col.cum" 4.1 Décompositio de l iertie totale La somme des valeurs propres est égale à l iertie totale du uage de poits. I T = r k=1 où r représete le rag de la matrice diagoalisée. La quatité λ k /I T est l iertie relative du vecteur pricipal de rag k. λ k Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 13/16 Compilé le

14 IT <- sum(afc$eig) IT [1] afc$eig/it [1] aides$tot iertia cum ratio La première coloe cotiet les valeurs propres λ k de 1 à r. La secode coloe cotiet la somme des valeurs propres de 1 à K : K k=1 λ k. La derière coloe cotiet l iertie relative cumulé du uage sur les K dimesios reteues : K k=1 λ k r k=1 λ k 4.2 Cotributios absolues des liges (resp. des coloes) L iertie des projectios sur la composate pricipale k se décompose e somme de cotributios absolues (CA) de la variable (ou de la modalité) à la défiitio de k. Cela soulige les poits qui cotribuet le plus à l aalyse. Soit V i 1 le vecteur associé à la modalité i de la variable V 1 comme par exemple le vecteur associé au stade de végétatio S5 : oiseaux[5,] Pologe Bourgoge Provece Corse S La cotributio du poit est défiie par : CA uk (V i 1 ) = 1 p i. < V1 i /u k > 2 D J λ k aides$row.abs Axis1 Axis2 Axis3 S S S S S S que l o retrouve facilemet à l aide des valeurs retourées par l objet dudi.coa. afc$li[,1]*afc$li[,1]*afc$lw/afc$eig[1] S1 S2 S3 S4 S5 S Notez que les résultats doés par la foctio iertia.dudi sot multipliés par 1000 pour faciliter la lecture. Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 14/16 Compilé le

15 4.3 Cotributios relatives des liges (resp. des coloes) L iertie totale se décompose e cotributios à la trace des liges (et des coloes). Le carré de la orme de la variable ou de la modalité se décompose e cotributios relatives (CR) des composates à la représetatio de la lige i (resp. de la coloe j). Les cotributios relatives sot des carrés de cosius. CR uk (V1 i ) = < V 1 i /u k > 2 D J V1 i 2 D J aides$row.rel Axis1 Axis2 Axis3 co.tra S S S S S S que l o retrouve, das le cas du payemet semestriel : (afc$li[3,]*afc$li[3,])/(sum(afc$tab[3,]*afc$tab[3,]*afc$cw)) Axis1 Axis2 Axis3 S Notez que : 1. les résultats sot égalemet multipliés par 1000, 2. les résultats obteus sot bie sûr tous supérieurs à 0 : le sige est rajouté afi de situer la modalité sur les axes, 3. la derière coloe cotiet la cotributio à la trace : (afc$tab[3,]*sqrt(afc$cw))*sqrt(afc$lw[3]) -> temp sum(temp*temp)/sum(afc$eig) [1] Cotributios relatives cumulées Ce derier tableau cotiet, pour chaque lige V i 1 la somme des cotributios relatives. Ce sot les carrés des cosius etre u vecteur et u sous-espace de projectio. aides$row.cum Axis1 Axis2 Axis3 remai S S S S S S La case remai est ici égale à 0 car ous avos coservé toutes les valeurs propres de l aalyse. Das le cas cotraire, cette coloe cotiet la somme des cotributios relatives du sous-espace qui a pas été reteu. Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 15/16 Compilé le

16 5 Applicatio La recherche scietifique e soulève que peu de cotroverse ou de résistace de la part du grad public. Das quelques cas, rares, le débat etre sciece, morale et religio resurgit. C est le cas de la recherche sur les embryos humais. L aalyse que ous ous proposos de réaliser est adaptée de l article Attitudes towards Embryo research, worldviews ad the moral status of the Embryo Frame [2]. Les doées ot été recueillies au près du grad public das 9 pays europées et elles coceret le statut accordé à l embryo. A huma embryo that is a few days old... (1) is a mere cluster of cells, ad it makes o sese to discuss its moral coditio ; (2) has a moral coditio halfway betwee that of a cluster of cells ad that of a huma beig ; (3) is closer i its moral coditio to a huma beig tha to a mere cluster of cells ; (4) has the same moral coditio as a huma beig. Les doées sot ragées das la table de cotigece ci-dessous. Répodre à la questio Peut-o faire ue typologie des pays?. Pays (1) (2) (3) (4) o réposes Autriche Daemark Frace Allemage Italie Pays.Bas Pologe Royaume.Ui Espage Pour etrer les doées, utilisez : res <- data.frame() fix(res) Référeces [1] J. Blodel ad H. Farré. The coverget trajectories of bird commuities alog ecological successios i europea forests. åcologia (Berli), 75 :83 93, [2] R Pardo ad F. Calvo. Attitudes towards embryo research, worldviews ad the moral status of the embryo frame. Sciece Commuicatio, 30, 1 :8 47, [3] R.D. See. Graphical display of two-way cotigecy tables. The America Statisticia, 28 :9 12, Logiciel R versio ( ) tdr620b.rw Page 16/16 Compilé le