MATHEMATIQUES TES Corrigés des devoirs

Transcription

1 MATHEMATIQUES TES Corrigés des devoirs DS1 26/09/2012 page2 DV 09/10/2012 page 6 DS 24/10/2012 page 8 DV 30/11/2012 page 14 DV 14/12/2012 page 16 BAC BLANC 18/01/2013 page 17 DV 05/02/2013 page 23 DS 12/02/2013 page 25 DV 12/03/2013 page 31 DS 27/03/2013 page 32 DV 18/04/2013 page 38 DS 15/05/2013 page 39

2 TES Bleue Pervenche 26/09/2012 EXERCICE I : ( 5 points) On donne la courbe C représentation graphique d une fonction définie sur [ 6;7]. 1 Par lecture graphique, a)tableau de variations de la fonction ( ) ( ) b) Sens de variation de la fonction : la fonction est strictement croissante sur l intervalle [ 6 ; 1], strictement décroissante sur l intervalle [ 1 ;4], puis strictement croissante sur l intervalle [4 ;7] c) Tableau de signe de la fonction : D après le tableau de variation complété par la racine 5 (ou d après la position de la courbe par rapport à l axe des abscisses ( ) d) Les solutions de l équation ( )=3 sont les abscisses des points de ayant pour ordonnée 3. Ces solutions sont 4, 2 et 7 e) Les solutions de l inéquation ( ) 3 sont les abscisses des points de ayant une ordonnée inférieure ou égale à 3. L ensemble de ces solutions est =[ 6 ; 4] [2;7] f) Déterminer l intervalle image de [ 4 ; 1], de [1 ;2] et de [ 4 ;4] Justifier le premier d entre eux. ([ 4 ; 1])=[ 3 ;8], c est l ensemble des ordonnées des points de ayant leur abscisse dans [ 1 ;0] Ou est strictement croissante sur [ 4 ; 1] et ( 4)=3 ( 1)=8 ([ 1 ;2])=[ 3 ;6] ([ 4 ; 4 ])=[ 0 ;8] 2 On considère la fonction affine définie sur par : ( )=! + "# a) ( 4)= $%"! + "#! = %!! =3 est une fonction affine donc & est la droite passant par le point de coordonnées ( 4 ;3) et dont coefficient directeur est! = ( ) b) Résoudre graphiquement l équation ( )=( ) sur [ 6 ;7]. Justifier. Les solutions sont les abscisses des points d intersection des représentations graphiques et &. Les solutions sont 4 1 EXERCICE II : ( 3 points) 1 Equation de droite : * %,= +5,* " =1, * :, 2, * -,=. +/.. = é é6 (01é ) * - :, = 3 5 +/ :(1 ;1) * -, < = 3 5 < +/ 1= / /=8 5! d où l équation de * - :, =! +?!

3 2 Tracer dans ce repère les droites : *! d équation, = passant par A(3 ;2 de coefficient directeur % EXERCICE III : ( 4 points ) La fonction est définie sur par 3 ²3. 1 Dérivée : Pour tout de : 3 " : polynôme du second degré factorisable sans delta Racines : D D Tableau de variation de la fonction 0 2 E a) D après son tableau de variations, La fonction est continue et strictement décroissante sur 2 ;4 L intervalle image de 2 ;4 est 13 ; ;7 Donc l équation 0 admet une unique solution dans 2 ;4. 3 b) encadrement d amplitude 0,01 de cette solution E. 3,27 0,11292 D où : 3,27E 3,28 est un E 3,28 0 0,0124 encadrement de E à 0,01 près

4 3 c) Du tableau de variations complété avec H, on déduit : E + ( ) + 0 EXERCICE IV : (8 points ) Le coût total de I milliers de poupées est donné par : (I)=0,05I²+I+80 pour I [ 0 ;100] où (I) est exprimé en milliers d euros. 1 Sens de variation de la fonction : (I)=0,1I+1 La racine de (I) est -10 or 10 [ 0 ;100] La fonction est strictement croissante sur [ 0 ;100] b) pour I [ 0 ;100] (I)=480 0,05I " +I+80=480 0,05I " +I 400=0 Δ=1 " 4(0,05)( 400)=81=9 " I= $%$L " M,M! 7D I = $%NL " M,M! Tableau de variation de C I (I) (I) 80 I= 100 7D I = [0 ;100] La solution de l équation est 80. Interprétation : Pour avoir un coût total de , l entreprise doit produire 80 milliers de poupées. c) tableau de valeurs : I (I) Recette a) 1 poupée est vendue 6 Donc 1000 poupées sont vendues C est-à-dire 1 millier de poupées est vendu 6 milliers d euros D où pour I milliers de poupées vendues O(I)=6I en milliers d euros b) La fonction R est linéaire, sa courbe représentative est une droite passant par l origine et par le point de coordonnées (100 ; 600) 3 Bénéfice a) Bénéfice = Recette Coût, Or, O(I) (I)=6I (0,05I " +I+80)= 0,05I²+5I 80, donc P(I)= 0,05I²+5I 80 b) Variations de B sur [ 0 ;100] P (I)= 0,1I+5 La racine de P Vous devez avoir le réflexe : (I) est 50 Je veux les variations (ou le minimum, I P ou le maximum) : (I) + 0 -je calcule la dérivée 45 P(I) -j étudie le signe de la dérivée

5 c) D après son tableau de variations, la fonction B admet un maximum égal à 45, obtenu pour I =50. L entreprise doit donc fabriquer et vendre poupées pour obtenir un bénéfice maximal de d) pour I [ 0 ;100] PI 0 OI I 0 OI I Le bénéfice est positif ou nul lorsque la recette est supérieure ou égale aux coûts. Graphiquement, les solutions sont les abscisses des points pour lesquels la courbe de la recette est au-dessus ou au contact de la courbe des coûts. Les solutions sont toutes les abscisses I appartenant à l intervalle [ 20 ;80]. La plage de production est donc de à poupées pour réaliser un bénéfice positif ou nul. y Coûts Recette x Remarques : - Dans un exercice il faut trouver une méthode qui corresponde aux outils dont on dispose : Ici comme on avait les courbes des couts et de la recette mais pas cette du bénéfice. - Faites attention à bien répondre à la question telle qu elle est posée. Il ne suffit pas de répondre de façon sensée mais il faut aussi que la conclusion réponde exactement au sens de la question. - En particulier, dans les problèmes économiques, il faut soigner les réponses en termes de quantités : unités, formulation, 5 / 43

6 TESB 09/10/2012 EXERCICE I : (3 points) Question de cours : Soit une fonction définie sur un intervalle [8 ;9] Parmi les affirmations suivantes, retrouvez celles qui sont vraies pour toute fonction R convexe sur [S ;T]. P2 : ( ) 0 pour tout de [8 ;9] P3 : est une fonction croissante sur [8 ;9] P5 : est au-dessus de chacune de ses tangentes sur [8 ;9] EXERCICE II : (4 points) Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur [0 ;6]. En exploitant au mieux les informations données par le logiciel de calcul formel : 1 On nous donne pour [0 ;6]: " ( )= ( )= ( +4) 8 +2 ( +2) " ( )= ( +2) Signe de R (V) : ( +2) = 2 [0 ;6] ( +2) est du même signe que +2 ( ) + On a ( )>0 pour tout de [0;6] donc la fonction est convexe sur [0;6] 2 Dresser le tableau de variation de la fonction ( +2) " + + ( ) 0 + On en déduit : 0 6 ( ) 0 + 9/2 3 =0 3 = 4 [0 ;6] 3 = 2 [0 ;6] ( ) 0 EXERCICE III : (5 points) On considère une fonction définie sur [ 4 ;7]. Sa dérivée admet le tableau de variations suivant : ( ) a) Etudier la convexité de. La fonction est croissante sur [ 4;2], donc est convexe sur [ 4;2] La fonction est décroissante sur [2;7], donc est concave sur [2;7] 6 / 43

7 b) La courbe admet-elle des points d inflexion? ( ) ( ) + 0 ( ) s annule et change de signe en 2, donc admet un point d inflexion :(2 ;(2)). 2 Déterminer le sens de variations de la fonction Le tableau de variation (donné) de permet de lire le signe de ( ) : ( ) On en déduit que la fonction est croissante sur [ 4 ;5] et décroissante sur [5 ;7] EXERCICE IV: (8 points) On considère la fonction définie sur [ 5 ;5] par ( )= " Dérivées Pour tout [ 5 ;5] : ( )= 6 " ( )= Convexité de R ( ) + 0 La fonction est convexe sur [ 5 ;2] et concave sur [2 ;5] 3 ( ) est un polynôme de degré 2 : Δ=24² 4 ( 6) ( 24)=0 Ce polynôme a une racine : M = "- $%" = ( ) 0 La fonction f est décroissante sur [ 5 ;5] 4 a) Equation de la tangente T : (2)= 23 (2)=0, = (2) ( 2)+(2), =0( 2) 23,= 23 La tangente à au point d abscisse 2 est la droite T d équation, = 23 b) ( ) s annule et change de signe en 2, donc admet un point d inflexion :(2 ;(2)), donc traverse sa tangente T au point d abscisse 2, donc est en contact avec T en K ; de plus, la fonction est convexe sur [ 5 ;2] et concave sur [2 ;5], donc est au-dessus ou au contact de T sur [ 5 ;2] et en dessous ou au contact de T sur [2 ;5]. 7 / 43

8 24/10/2012 Ds2 3h TES Bleue et Pervenche EXERCICE I : ( 3 points) Dans cet exercice, aucune justification n est demandée. 1 On donne la représentation graphique d une fonction définie sur [ 1 ;5] : y a)) est continue sur les intervalles [ 1 ;2] et ]2;5] x b)) Les solutions de l équation ( )=2 sont les abscisses des points de la courbe dont l ordonnée est égale à 2. Les solutions sont 0 et 2. c)) Déterminer l ensemble des réels X tels que l équation ( )=X admette exactement 1 solution. L équation ( )=X a une solution lorsque la courbe a un seul point d ordonnée X. On lit X sur l axe des ordonnées : X =1 7D X ]2 ;3] 7D X ]5 ;6] soit X Y0Z ]2 ;3] ]5 ;6] d))valeurs des réels X tels que l équation ( )=X admette exactement 2 solutions. L équation ( )=X a deux solutions lorsque la courbe a deux points d ordonnée X. X ]1 ;2] ]3 ;5 ] 2 On donne la représentation graphique d une fonction définie sur [0 ;6]. a)) La fonction est strictement croissante sur [0 ;6] y b)) La fonction est concave sur [0 ;6] donc sa dérivée est décroissante sur [0 ;6] x -2 EXERCICE II : (5 points) 1 Tracé de T tangente en :(1 ;3) de coefficient directeur -4/3 en partant de :, on se déplace de 4 unités vers la droite puis de 3 unités vers le bas. 2 Tableau de signe de ( ) : (le signe dépend de la position de par apport à l axe des abscisses) 4 E 5 ( ) Tableau de signe de "( ) : (le signe dépend de la position de par rapport à ses tangentes) "( ) Sens de variation de la fonction : D après le signe de "( ), la fonction est décroissante sur [ 4 ;1], puis croissante sur [1 ;5]. 3 Tableau de signe de ( ) : (le signe dépend des variations de la fonction ) ( ) / 43

9 6 2 est le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse -2, c est-à-dire le coefficient directeur de D : 2! 7 L affirmation 04,25 est fausse. 0 1 ;3 or 0 sur 1 ;3 Ne pas confondre 0 0 il serait possible d avoir simultanément 04,25 et 04,25 Par exemple : \ ²1, \ 2 On a \12 \ 12 8 En exploitant le tableau de signe établi à la q3 : Q0 4 ;1 3 ;5 9 le signe de établi à la question 3 permet d affirmer que % est la courbe de le signe de établi à la question 4 permet d affirmer que est la courbe de " on ne peut pas dire qu une courbe est positive ou qu une courbe est croissante. EXERCICE III : (6 points) A : B : 2 Partie A : On considère la fonction définie sur 0 ;9 par 12 " a) Calculer, puis étudier son signe. Pour 0 ;9 : 3 " Racines Second degré : 24 " 4>480 donc la dérivée a une racine double : " Signe de R V : le signe est celui du coeffcinet de b) Enoncer le sens de variation de la fonction La dérivée est positive et ne s annule qu en une valeur de donc la fonction R est strictement croissante sur _ ;` c) Dresser le tableau de variation de la fonction. 0 4 E / 43

10 2 a) Montrer que l équation ( )=100 admet une unique solution que l on notera E. La fonction est continue et strictement croissante sur [0 ;9] L intervalle image de [0 ;9] par est [0 ;189] Or 0 [0 ;189] Donc par le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( )=100 admet une seule soultion E dans [0 ;9]. b) Déterminer une valeur approchée de E à 0,01 /3è6 Par balayage 7,30< E <7,31 Une valeur approchée par défaut à 0,01 près est 7,30 3 a) Calculer ( ) Pour [0 ;9] ( )=3 " ( )=6 24 b) Etudier la convexité de la fonction Racine et signe de ( ) : fonction polynome du 1 er degré Racine : = " ( ) convexité est concave de (4)=64 est convexe ( ) 7,30 99,94 E 0 7,31 100,26 Donc R est concave sur [_ ;c] et R est convexe sur [c ;`] 4 Tracés la tangente T à au point K d abscisse 4 a pour coefficient directeur 0, car (4)=0 Partie B : ( ) représente le coût de fabrication de centaines de kg d un produit cosmétique en milliers d euros. L entreprise ne peut pas fabriquer plus de 900 kg de produit. On pourra réinvestir les résultats obtenus dans la partie A pour répondre aux questions suivantes. 1 Quelle quantité fabrique-t-on pour un coût de euros? On donnera la réponse à 1 kg près. ( ) représente le coût de fabrication de centaines de kg d un produit cosmétique en milliers d euros. Pour trouver la quantité fabriquée pour un coût de euros càd 100 milliers d euros, on résout l équation ( )=100. En A-2, on a prouvé que cette équation a une solution unique E dans d0 ;9e avec E 7,30 La quantité est comprise entre 7,30 et 7,31 centaines de kg soit entre 730 kg et 731 kg. Pour un coût de euros, on fabrique 730 kg à 1kg près. 2 Quantité à produire pour avoir un coût marginal minimal. Complétons le tableau de la convexité avec le sens de variation de la dérivée, càd du coût marginal ( ) Cout marginal ( ) 0 10 / 43

11 Le coût marginal est donc minimal pour V=c, càd pour 400 kg de produit fabriqués 3 Avec l augmentation de la production, la croissance du coût est-elle ralentie ou accélérée pour une production inférieure à 400 kg? La croissance du coût correspond au coût marginal D après son tableau de variation en 2, le coût marginal est décroissant sur [0 ; 4] Donc la croissance du coût est ralentie pour une production inférieure à 400 kg. 11 / 43

12 EXERCICE IV : (6 points) 1 er contrat : ème contrat : 3.25 Un généalogiste veut acheter un logiciel spécialisé accompagné d un contrat d assistance. On lui propose de choisir entre deux contrats. 1 er contrat : En 2012, le coût est de 189, puis chaque année le coût baisse de 8 par rapport à l année précédente. On note D g le coût en euros en Ainsi On a D M =189 1 D % =189 8=181 D " =D % 8=181 8=173 2 a) en û D g En 2012+(4+1) coût : D gn% Chaque année le coût diminue de 8, donc D gn% =D g 8 On en déduit que la suite (D g ) est arithmétique de raison 8 2 b) La suite (D g ) étant arithmétique de raison 3 = 8 et de 1 er terme D M =189, on a : D g =D M +4 3, c est-à-dire D g = on résout : D g < <150 84< 39 4> 39 8 De plus -L 4,875, donc c est à partir de l année de rang 5, en 2017 que le coût de l assistance sera? inférieur à D M = D % =181 = i j$i k i k 100= $? %?L 100 4,2 Il y a une diminution de 4,2% entre 2012 et est l année de rang 6, = = est l année d e rang 7 D # 8= = D # 8=133 = i l$i m i m 100= $? %-% 100 5,7 Il y a une diminution de 5,7% entre 2018 et 2019 Le pourcentage de baisse est différent, et il augmente dans le temps. Pour une suite arithmétique, l écart absolu par année est constant ( 8 par an), mais l écart relatif ( 4 % ) varie. 2 ème contrat : En 2012, le coût est de 189, puis chaque année le coût baisse de 4% par rapport à l année précédente. On note o g le coût en euros en o % =189 p1 - %MM q=0.96o M =0,96 189=181,44 o " =0,96o % =0,96 181,44 174,18 2 a) en û o g En 2012+(4+1) coût : o gn% Chaque année le coût diminue de 4%, donc o gn% =o g p1 - %MM q, c est-à-dire : o gn% =0,96o g On en déduit que la suite (o g ) est géométrique de raison 0,96 12 / 43

13 2 b) La suite (o g ) étant géométrique de raison 0,96 et de 1 er terme o M =189, on a : o g =o M 0,96 g, c est-à-dire o g =189 0,96 g 2 c) 2018 est l année de rang 6 : = ,94 Selon ce modèle, le coût en 2018 serait de 147, o initialisation 189>150 T 181,44>150 T 174,94>150 T 167,22>150 T 160,52>150 T ,11>150 T ,44 174,18 167,22 160,52 154,11 147,94 147, arrêt les valeurs affichées en sortie sont 6 et 147,94 Cela signifie que c est à partir de l année de rang 6, c est-à-dire en 2018 que le coût de la maintenance sera inférieure ou égale à On ajoute 7 termes consécutifs d une suite géométrique, de o M coût en 2012 à coût en =o M +o % +o " + =o M 1 0,96# 1 0,96 = ,96# A la fin de l année 2018, le généalogiste aura dépensé 1174, à 1 près pour la maintenance de son logiciel. 13 / 43

14 TESB 30/11/2012 Ex1 1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. 0,9 0,30 0,20 0,50 v F w issues v x w Gain : B ,1 0,40 v v 3 0,60 x x 2 Données : /(5)= L =0,9 / %M z(v)=0,30 / z (w)=0,50 / z (x)=0,6 Données déduites : /( )=0,1 / z (x)=0,20 / z (v)=0,4 2.. il s agit de la justification d une donnée déduite : La somme des probabilités issues d un même nœud est égale à 1, on a : / z (x)=1 / z (v) / z (w)=1 0,3 0,5=0,2 La probabilité que le client demande des framboises sachant qu il achète une barquette de fruits à confiture est égale à 0,2. 3.a. /( x)=/( ) / z (x)=0,1 0,6=0,06 La probabilité que le client achète une barquette de framboises à déguster est 0,06. 3.b. x est la réunion des événements x et x qui sont incompatibles, /(x)=/( x)+/( x) Or /( x)=/() / z (x)=0,9 0,2=0,18 D où /(x)=0,18+0,06=0,24 Ainsi la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0, / { ()= (z {) ({) = M,%? M,"- =0,75 Sachant que le client achète une barquette de framboises, la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture est 0, /( x)=0,18 et /() /(x)=0,9 0,24=0,216 On observe que /( x) /() /(x) donc les événements etx ne sont pas indépendants. 6.a. Le bénéfice réalisé peut être de 2, 3 ou 5 /(P =2)= /( x)=0,06 /(P =3)=/( v)=/( ) / z (v)=0,1 0,4=0,04 /(P =5)=/()=0,9 D où la loi de probabilité : Valeur ~ Probabilité / ~ 0,06 0,04 0,9 14 / 43

15 6.b. Espérance de la loi de probabilité : ~ = / ~ ~ =0,06 2+0,04 3+0,9 5=4,74 ~ % 6.c. D après la q6b, le commerçant peut espérer gagner 4,74 par barquette vendue, De plus : 4,74 150=711 Il peut donc espérer gagner 711 en vendant 150 barquettes. EXERCICE II : (6,5 points) d après La réunion Juin 2011 Compléter le tableau d effectifs donné ci-dessous. Seconde Première Terminale Total Utilise internet régulièrement N utilise pas internet régulièrement Total On choisit au hasard un questionnaire d élève en supposant que ce choix se fait en situation d équiprobabilité. De plus, on dispose de la répartition des effectifs, donc on raisonne avec : ƒ T ˆS RSŠƒ ST ƒ T ˆS Œƒ T 1.. Déterminer la probabilité d obtenir le questionnaire d un élève de seconde qui utilise régulièrement internet. Il y a 760 élèves qui sont en seconde et utilisent internet (favorables) parmi les 2000 élèves (possibles), donc /( Ž)= =0,38 Ainsi, la probabilité d obtenir le questionnaire d un élève de seconde qui utilise régulièrement internet est 0, Calculer la probabilité de I sachant T, notée p T (I ), et interpréter ce résultat à l aide d une phrase. Il y a 350 utilisateurs d internet (favorables) parmi les 500 élèves de Terminale (possibles), donc / (Ž)=!M!MM =0,7 Ainsi, la probabilité de I sachant T est égale à 0,7 Ou : parmi les élèves de terminale, 70 % utilisent régulièrement internet, cela signifie que / (Ž)= #M %MM =0,7 Interprétation : sachant que le questionnaire est celui d un élève de terminale, la probabilité qu il soit d un utilisateur régulier d internet est 0, Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d un élève qui n utilise pas internet. Il y a 260 élèves non utilisateurs d internet (favorables) parmi les 2000 élèves (possibles), donc /(Ž)= =0,13 La probabilité que le questionnaire choisi soit celui d un élève qui n utilise pas internet est : 0, / 43

16 DV TESB 14/12/ d après Amérique du Nord Juin Arbre pondéré : issues Dépenses en Entrée+car+boisson 0,8 P P 9 (=4+3+2) 0,7 0,2 P P P P 7( =4+3+0) 6( =4+0+2) 0,3 P P 4 ( =4+0+0) Donnée :/( )=0,3 / z (P)=0,8 Donnée déduite /()=0,7 / z (P)=0,2 Donnée supplémentaire /( P)=0,18 2 «le touriste achète une boisson, sachant qu il visite à pied» P 685h84 / /( P) z (P)= = 0,18 /( ) 0,3 =0,60 La probabilité que le touriste achète une boisson, sachant qu il visite à pied est : 0,60. 3 B est la réunion des événements P et P, de plus ces deux événements sont incompatibles donc /(P)=/( P )+/( P) or /( P)=/() / ()=0,7 0,8=0,56 et /( P)=0,18 D où /(P) =0,18+0,56=0,74 3.b. On a /(P)=0,74, donc pour 1000 visiteurs, on peut estimer que 740 achèteront une boisson. Chaque boisson est vendue 2, d où une recette prévisible de 1480, car 2 740= a. Les valeurs possibles de la dépense sont 9, 7, 6 et 4 selon la prestation choisie. 4.b. Loi de probabilité de la dépense * : /(* =9)=/( P)=0,56 /(* =6)=/( P)=0,18 D où la loi de probabilité de la dépense D 0 ~ /(0 =0 ~ ) 0,56 0,14 0,18 0,12 Total : 1 ~ - /(* =7)=/( P)=/() / z (P)= =0,14 /(* =4)=/( P)=/( ) / z (P)= =0, Espérance (0)= / ~ 0 ~ =0,56 9+0,14 7+0,18 6+0,12 4=7,58 ~ % L espérance est de 7,58.Interprétation : on peut espérer une dépense moyenne par touriste de 7,58 5.a. On répète 8 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n a que 2 issues : «le touriste a visité le site en car» de probabilité /()=0,7 et «le touriste a visité le site à pied» de probabilité /( )=0,3 La variable aléatoire šdonnant le nb de touristes ayant visité en car suit une loi binomiale de paramètres 8 et 0,7 5.b. «exactement 7 touristes ont visité en car» : (š =7) /(š =7)=p 8 7 q 0,7# 0,3 % =8 0,7 # 0,3 % 0,20 5.c. Nommons Ž «au moins 1 touriste a visité à pied» Son contraire Ž «tous les touristes ont visité en car», c est-à-dire : (š =8) /(Ž )=/(š =8)=p 8 8 q 0,7? 0,3 M =1 0,7? 1=0,7? D où /(Ž)=1 0,7? 0,94 5.d. Espérance : (š)=8 0,7=5,6 En moyenne, pour 8 touristes, il y a 5,6 touristes qui visitent le site en car. 16 / 43

17 Bac Blanc TES 2012 lycée saint thomas d Aquin Oullins-Mornant EXERCICE I : (5,5points) 1-4 : 2,75 5 0,75 6 :2 d après Sujet national Septembre 2012 Dans cet exercice les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. 1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation. Données : p(a)=0,6 ; p(b)=0,3 ; / ()=0,37 ; / ()=0,25 ; / z ()=0,12 Données déduites : /()=1 /(A) /(P)=0,1 / ( )=1 0,27=0,63 ; / ( )=1 0,25=0,75; / œ ž Ÿ=1 0,12=0,88 Issues 0,37 A A 0,6 0,63 A 0,3 0,25 B B 0,1 0,75 B 0,12 C C 0,88 C 2. Quelle est la probabilité que le lave-vaisselle provienne du site A et connaisse une panne avant 5 ans? /(A )=/(A) / ()=0,6 0,37=0,222 La probabilité que le lave-vaisselle provienne du site A et connaisse une panne avant 5 ans est égale à 0, Démontrer que la probabilité de l évènement S est 0,309. A, P, C, forment une partition de donc par la formule des probabilités totales /()=/(A )+ /(P )+/(C ) = 0,222 + /(B) / B ()+ /(C) / C () =0,222+0,3 0,25+0,1 0,12=0,222+0,075+0,012 Œ( ) =0, Le lave-vaisselle est tombé en panne avant 5 ans d utilisation; quelle est la probabilité qu il provienne du site B? ( ) / (P)= = M,M#! 0,243 ( ) M, ML La probabilité que la machine provienne du site B sachant que le lave-vaisselle est tombé en panne avant 5 ans est égale à 0, Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. L entreprise E assure le service après-vente : si le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans d utilisation, elle finance la réparation, dont le prix est estimé à 110 euros par appareil réparé. Déterminer, pour l entreprise, le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations. Etablissons la loi de probabilité du cout C pour l entreprise Cout C en euros Probabilité 0,691 0,309 Total = 1 /( =0)=/()=1 0,309 = 0,691 /( =110)=/()=0,309 Le cout moyen est l espérance mathématique du cout C : ()=0 0, ,309=33,99 Le cout moyen du service après-vente est de 33,99 par lave-vaisselle. On accepte : 17 / 43

18 0, =33,99 donc 33,99 de coût moyen par lave-vaisselle 6. On prélève au hasard 6 dossiers de clients ayant acheté un et un seul lave-vaisselle provenant des sites industriels A, B, C. On admet que le nombre de clients de l entreprise est suffisamment important pour que les choix de dossiers soient indépendants. On désigne par š la variable aléatoire donnant le nombre de dossiers de lave-vaisselle tombé en panne avant 5ans. 6. a. Reconnaître la variable aléatoire š. Pour chaque dossier de lave-vaisselle, il y a deux issues : et. /()=0,309 et /( )=0,691 Il s agit d une épreuve de Bernoulli. Cette épreuve est répétée 6 fois de manière identique et indépendante. La variable aléatoire X qui donne le nombre de lave-vaisselle tombés en panne avant 5 ans suit donc une loi binomiale de paramètres = Œ=_, _` 6. b. Déterminer la probabilité d obtenir exactement quatre dossiers de lave-vaisselle ayant eu une panne avant 5ans. /(š =X)=p 4 X q0,309 0,691 g$ /(š =4)=ª 6 4 «0,309-0,691 " =15 0, ,691 " =0,065 La probabilité d obtenir exactement 4 dossiers de lave-vaisselle ayant eu une panne avant 5ans est 0, c. Déterminer la probabilité d obtenir au moins un dossier de lave-vaisselle ayant eu une panne avant 5ans. C est l évènement š 1 L événement contraire est «aucun dossier n est celui d un lave-vaisselle qui a eu une panne» : š =0 /(š 1)=1 /(š =0)=1 ª 6 0 «0,309M =1 /(š 1) 0,891 la probabilité d obtenir au moins un dossier de lave-vaisselle ayant eu une panne avant 5ans est 0,891 EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE Les parties A et B sont indépendantes. Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kilogrammes de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe. Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450. Partie A : (2pts) On désigne par le nombre de kilogrammes de truffes traités chaque semaine et par ( ) le coût unitaire de revient en euros. La fonction est définie sur l intervalle [0;45] et sa courbe représentative est la suivante : 1 Aucune justification n est demandée dans cette question 1. Estimer graphiquement : a) Le cout unitaire de revient lorsque l entreprise conditionne 10 kg de truffes. Pour 10 kg de truffes le cout unitaire est d environ 475 b) Le nombre de kilogrammes traités si le coût unitaire de revient est de 300. Pour un cout unitaire de 300, la production est de 15kg ou 45 kg. c) Le nombre de kilogrammes à conditionner pour que le coût unitaire de revient soit minimal. Quel est alors ce coût? 18 / 43

19 Le cout unitaire est minimal pour une production de 30 kg de truffes et le cout unitaire minimal est d environ 75 euros. 2 A l aide du graphique, déterminer pour quelles productions de truffes l exploitation est bénéficiaire? L exploitation est bénéficiaire si le cout unitaire ( ) est inférieur au prix de vente qui est de 450 par kg. On résout graphiquement l inéquation ( )<450 Les solutions sont les abscisses des points de la courbe dont l ordonnée est inférieure à 450. L entreprise est bénéficiaire pour une production comprise entre 11kg environ et 45 kg Partie B : (3pts) On admet dans la suite du problème que la fonction est définie sur [0 ;45] par ( )= ² Justifier que le coût de production total ( ) pour kilogrammes de truffes est : ( )= 60 " D 78 =57D.7,4 ID841é ( )= ( )= ( " ) ( )= 60 " Exprimer le bénéfice P( ) réalisé par le producteur pour kg de truffes conditionnés et vendus. Pé4é15 78 = D 78 P( )=450 ( 60 " +975 )= " 975 (V)= V + _V V 3 Déterminer la fonction dérivée P et montrer que : P ( )=( 3 +15)( 35) P( )= +60 " 525 P ( )= 3 " éo 7//746 ( 3 +15)( 35)= 3 " = 3 " =P ( ) Donc : P ( )=( 3 +15)( 35) 4 Etudier le signe de P ( ) P ( ) est un polynôme du second degré. Racines 3 +15=0 = %! =5 35=0 =35 Tableau de signe P ( ) Dresser le tableau de variation de la fonction P P ( ) P( ) Pour quelle quantité de truffes le bénéfice total du producteur est-il maximal? Quel est alors ce bénéfice maximal? Le bénéfice total maximal est de pour 35 kg de truffes Exercice III 1) Pour tout [ 4 ;2] ( )=1 ² + ² =( +1) ². 19 / 43

20 2.a) Signe de ( ): ² ( ) 0 + ² >0 sur 2.b) Sur l intervalle [ 4 ; 1[, ( )<0 et ( 1)=0 donc f est strictement décroissante sur [ 4 ; 1] Sur l intervalle ] 1; 2], ( )>0 et ( 1)=0 donc f est strictement croissante sur [ 1 ; 2]. 3) D après la question précédente on peut donner le tableau de variation suivant : x ( ) $- 1 2 " 1 f 1 j ³ Images : ( 4)= 4 $- 1 (2)=2 " 1 ( 1)= $% 1 7D ( 1)= 1 % 4.a) d après son tableau de variations, on sait que : * est continue sur [0 ; 2]. * est strictement croissante sur [0 ; 2]. * l intervalle image de [0 ;2] est [(0 ;(2)] * (0)= 1 et (2)=2 " 1 13,8 et 0 [(0);(2)]. Donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l équation ( )=0 admet une unique solution dans [0;2], on la note E 4.b) A l aide de la calculatrice ( ) 0,56 0,0196 E 0 0,56 +0,00791 On en déduit l encadrement : 0,56 E 0,57 à 0,01 près 5) D après la copie d écran on a : ( )=( +2) ². 1 Signe de R (V) ² ( ) 0 + ² >0 sur D après le signe de ( ), la fonction est concave sur [ 4 ; 2] et convexe sur [ 2 ;2] Exercice IV 1) µ _ =5000 D % =D M p1+? %MM q=d M 1,08=5400. Puis D " =D % p1+? %MM q=d % 1,08= / 43

21 2.a) La production augmente de 8% par semaine D g est la prod de la 4-ième semaine D gn% est la prod de la (4+1)-ième semaine Pour 4 entier variant de 1 à 52 : D gn% =D g 1,08. La suite (D g ) est donc géométrique de raison I =1,08 et de premier terme D M = b) D après la question 2.a), pour tout entier naturel n, D g =D M I g =5000 1,08 g. 2.c) On a I =1,08>1 et D M =5000 strictement positif, Donc la suite (D g ) est strictement croissante. 3.a) on a à l aide de la calculatrice : D L 9995<10000 et D %M 10795>10000 De plus la suite (D g ) est croissante Donc la production hebdomadaire dépassera flacons à partir de la dixième semaine. 3.b) On retrouve le résultat avec l algorithme 3. 4) Soit P la production cumulée des 10 premières semaines de l année =µ +µ +..+µ _. C est la somme des termes consécutifs d une suite géométrique donc =(1 ¹ 3.) 1 Ig]¹ º ¹» ¼ 1 I = ,08%M 1 1,08 =67500(1,08%M 1) 78227,43 La production sur les dix semaines est donc d environ unités à 10 près. OU La production sur les dix semaines est donc d environ unités à 10 près. Exercice de spécialité 1.a) (500 *+500 x P) grammes de farine pour une production de D danois, f feuilletés, S sablés et B brioches. Soit (500*+500x P)=. Le raisonnement est similaire pour les trois autres ingrédients et la seule équation matricielle qui transcrive cela est : A ½ =¾. 21 / 43