Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain

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1 Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 0 On considère un univers de titres constitué de trois titres risqués dont les rendements nets, les volatilités (écart-types), et les coe cients de corrélation sont les suivants : titres rend. volatilité growth value espérés (%) (%) stocks stocks bonds growth stocks 0 0:6 0: value stocks 0 6 0:6 0: bonds 6 6 0: 0:. Déterminer la matrice de covariances de l univers dé ni par ces trois autres titres.. Déterminer le portefeuille le moins risqué de cet univers. On suppose que l investisseur a comme critère d évaluation E [er p ] (er p ) Donner le programme d optimisation, ses conditions de premier ordre.. Calculer la composition des portefeuilles optimaux (ainsi que des couples volatilités - risques) pour allant de à 0 (avec un pas de ). () Pour calculer la matrice de covariances, on utilise la relation : ij = ij i j () reliant la covariance entre deux titres i et j ( ij ) à leur coe cient de corrélation ( ij ) et à leurs volatilités ( i et j ). Cette relation peut-être généralisée

2 à la matrice des covariances en introduisant la matrice diagonales des volatilités : ::: 0 ::: 0 ::: ::: ::: ::: ::: 6 0 ::: j ::: 0 7 ::: ::: ::: ::: ::: 0 ::: 0 ::: J La matrice des covariances est alors donnée par le produit quadratique : ::: 0 ::: 0 ::: 0 ::: 0 ::: ::: ::: ::: ::: = 6 0 ::: j ::: 0 7 ::: ::: ::: ::: ::: Corr ::: ::: ::: ::: ::: 6 0 ::: j ::: 0 7 ::: ::: ::: ::: ::: 0 ::: 0 ::: J 0 ::: 0 ::: J où Corr est la matrice des coe cients de corrélation. Numériquement dans notre cas, on a donc : 0: 0 0 0:6 0: = 0 0:6 0 0:6 0: 0 0 0:06 0: 0: = dont l inverse est égal à : = 0: : :06 0:0 0:09 0:00 0:09 0:0 6 0: :00 0: :00 6 0:09 9:0 9:00 9:0 6:07 :9 9:00 :9 9: () () () Le portefeuille le moins risqué de cet univers va être la solution du programme suivant : < : min x ;x ;x p sous la contrainte : x + x + x = ()

3 avec : p = x x x x x x Le lagrangien du problème peut s écrire : 0:0 0:09 0:00 0:09 0:0 6 0: :00 0: :00 6 L = p + (x + x + x ) () où est le multiplicateur de lagrange. Les conditions de premier ordre (nécessaires et su santes ici) sont : < x p + = 0 x : p + = 0 x p + = 0 ou encore : < x p = x : p = x p = ou encore comme x j p = P k x k jk : < [] x = [] x = : [] x = où [j] est le vecteur ligné constitué par la j-eme ligne de, x est le vecteur colonne des parts. Matriciellement la soution est donc : x = où est le vecteur colonne de J éléments égaux à. Le portefeuille optimal est donc : x = (7) Numériquement dans notre cas : 0:09 9:0 9:00 = 9:0 6:07 :9 9:00 :9 9: 9: 79 = : 6 0: (6)

4 Par conséquent le portefeuille optimal est en fonction de : 9: 79 x = : 6 () 0: Ici n est pas un coe cient d aversion au risque, un paramètre exogène, mais un multiplicateur de lagrange, donc une variable endogène dont la valeur est une des solutions du problème. Pour trouver, il nous faut utiliser une relation du problème non encore utilisée dans la résolution : la contrainte budgétaire : x + x + x = (9) ou encore : T x = (0) En injectant dans la contrainte budgétaire la valeur des parts, on a donc : T x = 9: 79 : 6 0: = 6: Par conséquent, la valeur de dans notre problème est : = 6: et donc on trouve le portefeuille optimal : x = 6: 9: 79 : 6 0: = : 0 0 7: 76 0 :0 0 () Ses performances (rendements espérés, volatilité, ratio de Sharpe) peuvent s écrire : Eer min var = 0: 0: 0:06 : 0 0 7: 76 0 ' 6: 0 0 () :0 0 min var = 0:0 0: :0 : 0 0 7: 76 0 :0 0 0:0 0:09 0:00 0:09 0:0 6 0: :00 0: :00 6 ()

5 min var ' : :0 0 S p = ' :96 () :7 9 0 où le ratio de Sharpe est calculée comme le rapport du rendement espéré à la volatilité en l absence d un taux d intérêt certain: () Si l on adopte comme fonction objectif le modèle espérance variance, alors le programme d optimisation s écrit : < : dont le lagrangien peut s écrire : Comme : L = Eer p max x ;x ;x Eer p p sous la contrainte : x + x + x = () p (x + x + x ) (6) Eer p = 0:x + 0:x + 0:06x (7) p = x x x 0:0 0:09 0:00 0:09 0:0 6 0: :00 0: :00 6 x x x = 0:0x + 0:0 x x 0:00 x x + 0:0 6x 0:00 9x x + 0:00 6x les conditions de premier ordre (nécessaires et su santes ici) sont : < 0: (0:0x + 0:09x 0:00x ) = 0 0: (0:09x + 0:06x 0:00096x ) = 0 : 0:06 ( 0:00x 0:00096x + 0:0006x ) = 0 ou sous forme matricielle : 0: 0:0 = 0:06 0:0 0:09 0:00 0:09 0:0 6 0: :00 0: :00 6 x x x () En mettant divisant par, puis en pré-multipliant par on trouve : 0: 0:0 0:0 0:09 0:00 x = 0:09 0:0 6 0: x (9) 0:06 0:00 0: :00 6 x

6 = 0:09 9:0 9:00 9:0 6:07 :9 9:00 :9 9: x x x 0: 0:0 0:06 0:09 9:0 9:00 9:0 6:07 :9 9:00 :9 9: (0 ( et donc comme : 0:09 9:0 9:00 9:0 6:07 :9 9:00 :9 9: on a : 0:09 9:0 9:00 9:0 6:07 :9 9:00 :9 9: x x x = : 0 : 6 9: 0: 0:0 0:06 = = 9: 79 : 6 0: : 0 : 6 9: 9: 79 : 6 0: () Le portefeuille est la somme de deux vecteurs, de deux portefeuilles. Le dernier a déjà été calculer : il s agit du portefeuille de variance minimale. Si est nul, on remarque que ce portefeuille ne contribuera pas à déterminer le portefeuille. Mais = 0 est équivalent à négliger la contrainte budgéaire puisque est la pénalité appliquée pour inciter l investisseur à respecter sa contrainte budgétaire. Ceci indique que dans la détermination du portefeuille optimal, on utilise le portefeuille de variance minimale pour équilibrer la contrainte budgétaire. Le premier portefeuille sera négligable dans le portefeuille lorsque l investisseur sera très prudent. En fait ce second portefeuille est un instrument permettant non d équilibrer la contrainte budgétaire mais d augmenter la performance. Des deux variables et, est une variable exogène, est une variable endogène, une solution du système. Donc il est nécessaire de la déterminer en fonction des paramètres du problème. Pour cela, on doit utiliser la relation non encore utilisée : la contrainte budgétaire. Comme : x + x + x = 6 x x x =

7 aversion lambda x x x volatilite Er Sharpe 0,07,0 0, 0,60,%,6% 0, 0,06 0, 0,0 0,,9% 0,7% 0,7 0,06 0, 0, 0,6 0,7% 9,% 0, 0,06 0, 0,9 0,,7%,7%,00 0,0 0, 0,7 0, 7,7%,%,09 6 0,0 0, 0, 0,60 7,0%,%,6 7 0,0 0, 0, 0,6 6,6% 7,9%,0 0,0 0, 0, 0,66 6,% 7,%, 9 0,0 0,9 0, 0,6 6,% 7,7%,6 0 0,0 0, 0, 0,70,9% 7,6%, on a donc en replaçant les parts par leurs expressions : : 0 ( : 6 9: 79 : 6 ) = 9: 0: ou encore : : 0 : 6 9: : 700 6: = 9: 79 : 6 0: ) = = 6:0 0 : 7 0 () Le tableau ci-dessous donne en fonction de la valeur du coe cient d aversion les valeurs de lambda, des parts des portefeuilles, de l espérance des rendements, de leurs volatilités et du ratio de Sharpe. On remarque dans le tableau comme dans le er graphique que l évolution des parts est monotone : lorsque l aversion est élevée, le portefeuille comprend essentiellement le titre (à plus des =) et à part égale les titres et ; puis plus l aversion diminue, plus le poids des titres les plus rentables (les titres et ) augmentent et le titre devient un actif de nancement (sa part devient négative). Sur le dernier graphique sont reportés les couples (volatilités, rendements espérés). En bleu, les portefeuilles optimaux, en rouge e portefeuille de variance minimale. Ce dernier est la base de la frontière des portefeuilles optimaux. En l absence d un actif certain, cette frontière n est pas une droite, mais une parabole inversée dont la base est le portefeuille de variance minimale. 7

8 ,0,00 0,0 0,60 0,0 0,0 0,00 0,0 0,0 0,60 0, x x x 0,6 0, 0, 0, 0,0 0,06 frontière min variance 0,0 0, ,0 0, 0, 0, 0, 0,