PUISSANCES D'EXPOSANTS REELS, FONCTIONS PUISSANCES, CROISSANCES COMPAREES

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Julien Michaud
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1 PUISSANCES D'EXPOSANTS REELS, FONCTIONS PUISSANCES, CROISSANCES COMPAREES ) PUISSANCES D'EXPOSANTS REELS A ) La otatio a Si est u etier aturel, la otatio a a u ses pour tout réel a Das le cas où est u etier égatif, la otatio a a u ses pour tout réel a o ul car a = a - O se propose de doer u ses à la otatio a b quad b est u réel quelcoque Défiitio Soit b u réel et a u réel strictemet positif a eposat b ( ou a puissace b ) est le réel oté a b défii par : a b = e b l a Cette défiitio est cohérete avec celle de a lorsque a est u réel strictemet positif et u etier E effet : e l a = e l ( a ) = a Soit a et a', deu réels strictemet positifs, b et b' deu réels quelcoques O a : l ( a b ) = b l a a b + b' = a b a b' b = a - b = a b Preuve partielle : ( o e va démotrer que la deuième égalité ) a b + b' = e ( b + b' ) l a = e b l a + b' l a = e b l a e b' l a = a b a b' B ) Les foctios epoetielles de base a Défiitio Soit a u réel strictemet positif O appelle foctio epoetielle de base a la foctio otée ep a défiie sur IR par : ep a : IR IR a = l a a b- b' = a b a b' ( a a' ) b = a b a' b ( a b ) b ' = a b b' La foctio epoetielle de base, ep : est costate et vaut La foctio epoetielle de base e, ep e : est la foctio epoetielle déjà étudiée Soit a u réel strictemet positif La foctio ep a est dérivable et cotiue sur IR et à valeurs das IR+ * Pour tout réel, ep' a ( ) = l a ep a ( ) = a l a Pour tout réel, ep a ( ) = e u ( ) avec u ( ) = l a u est dérivable sur IR et pour tout réel, o a u' ( ) = l a O e déduit que ep a est dérivable ( et doc cotiue ) sur IR et pour tout réel, o a : ep' a ( ) = l a l a = l a ep a ( ) = a l a Pour tout réel, a >, doc ep' a ( ) est du sige de l a Aisi : si a >, ep a est strictemet croissate sur IR si < a <, ep a est strictemet décroissate sur IR Tableau de variatios : ep a ( ) = ep a ( ) = L'ae des abscisses est asymptote horizotale e - a > < a < ep a ( ) = L'ae des abscisses est asymptote horizotale e ep a ( ) = - ep' a ( ) + ep a - ep' a ( ) + ep a - Puissaces d'eposats réels, foctios puissaces, croissaces comparées - / 5 -

2 Représetatios graphiques : y =,8 y =, y =,2 y = Remarques : Toutes les courbes passet par le poit de coordoées ( ; ) La foctio ep a est la foctio réciproque de la foctio logarithme log a O a : - pour tout réel strictemet positif, ep a (log a ( )) = - pour tout réel, log a (ep a ( )) = - Les courbes représetatives, das u repère orthoormé, des foctios ep a et log a sot symétriques par rapport à la droite d équatio y = 2 ) FONCTIONS PUISSANCES A ) Cas où est u etier strictemet positif Soit u etier strictemet positif et f la foctio défiie sur IR par f ( ) = Si est pair f est paire, décroissate sur ] - ; ] et croissate sur [ ; [ Si est impair f est impaire et croissate sur IR Tableau de variatios : pair = et = - f ' ( ) + f impair = et = - - f ' ( ) + + f - Représetatios graphiques : y = 2 Toutes les courbes passet par O et par le poit de coordoées ( ; ) y = 3 B ) Cas où est u etier strictemet égatif Soit u etier strictemet égatif et f la foctio défiie sur IR * par f ( ) = Si est pair f est paire, croissate sur ] - ; [ et décroissate sur ] ; [ Si est impair f est impaire et décroissate sur ] - ; [ et sur ] ; [ Tableau de variatios : pair = et = + L'ae des ordoées est asymptote verticale = et = L'ae des abscisses est asymptote horizotale - f ' ( ) + f impair = - et = + L'ae des ordoées est asymptote verticale = et = L'ae des abscisses est asymptote horizotale - f ' ( ) f - - Puissaces d'eposats réels, foctios puissaces, croissaces comparées - 2 / 5 -

3 Représetatios graphiques : y = 4 y = 3 C ) Foctio racie -ième Soit u etier aturel o ul La foctio est ue bijectio de IR+ sur IR+ C'est-à-dire que pour tout k IR+, l'équatio = k a ue solutio uique das IR+ La foctio Eemple : Défiitio Si 2, cette solutio est otée k et se lit racie -ième de k est cotiue et strictemet croissate sur IR+ De plus = et = O e déduit le résultat 4 6 = = 5 O appelle foctio racie -ième la foctio défiie sur IR+ par Remarques : La foctio est ue bijectio de IR+ sur IR+ L'équivalece IR+ y = y IR+ traduit le fait que la foctio y restreite à IR+ et la foctio racie -ième sot = réciproques l'ue de l'autre Pour tout réel positif, o a : ( ) = = Pour tout réel strictemet positif, et pour tout etier aturel supérieur ou égal à 2, o a : = Pour tout >, ( ) O e déduit que pour tout > : = O a alors, pour tout > : l (( ) ) = l l ( ) = l l ( ) = l l = e = e l = Pour tout réel strictemet positif, et pour tout etier aturel p et q avec q 2, o a : p q = q p = ( q p ) q = q Attetio : est défii et vaut, mais 'est pas défii e p q = p q = ( 2 Eemple : 8 3 q ) p = ( q p ) = ( 3 8 ) 2 = 4 L'autre égalité se démotre de la même faço - Puissaces d'eposats réels, foctios puissaces, croissaces comparées - 3 / 5 -

4 Soit u etier aturel supérieur ou égal à 2 La foctio racie -ième est dérivable sur ] ; [ et pour tout >, o a : Pour tout réel >, o pose f ( ) = ( ) ' = - O a alors f ( ) = e u est dérivable sur IR+ * et pour tout réel >, o a u' ( ) = l = e u ( ) avec u ( ) = l O e déduit qu est dérivable sur IR+ * et pour tout réel >, o a : Etude de la dérivabilité e : f ( ) - f ( ) = e ( - ) l Or ( - ) l = et e X = ( ) ' = e l = = - f ( ) - f ( ) O e déduit que = et que f est pas dérivable e La courbe admet ue tagete verticale à l origie La foctio racie -ième est cotiue sur [ ; [ La foctio racie -ième est strictemet croissate sur [ ; [ La foctio racie -ième est dérivable sur ] ; [, elle est doc cotiue sur ] ; [ l De plus e = et = La foctio racie -ième est doc cotiue e O e déduit qu'elle est cotiue sur [ ; [ De plus, pour tout >, - > O e déduit que la foctio racie -ième est strictemet croissate sur [ ; [ Tableau de variatios : f désigat la foctio racie -ième f ' ( ) + f Pour tout >, o a = e Or l l = et = Aisi = Représetatios graphiques : y = Toutes les courbes passet par O et par le poit de coordoées ( ; ) Pour tout réel α et pour tout réel strictemet positif, o a α = e α l Doc, pour α doé, o peut défiir sur ] ; [ la foctio f : α L'étude de cette foctio puissace 'est pas au programme O peut tout de même oter que la foctio f : α est dérivable sur ] ; [ et que pour tout >, o a f ' ( ) = α α - - Puissaces d'eposats réels, foctios puissaces, croissaces comparées - 4 / 5 -

5 3 ) CROISSANCES COMPAREES Soit α u réel O a : α = et e - = Soit α u réel strictemet positif O a : l α = - La croissace epoetielle est beaucoup plus forte que la croissace de 'importe quelle foctio puissace - La croissace de 'importe quelle foctio puissace est plus forte que la croissace logarithmique e α l = - α l Pour tout réel >, o a : α = Or ( - α l ) = ( - α l Doc α = - α l = α e - α = = Pour tout réel >, o a : l Or α = et l α Doc α = α l X X = α = et l α α l α = ) = ( car l = ) et e X = y = 2 y = y = l y = 3 - Puissaces d'eposats réels, foctios puissaces, croissaces comparées - 5 / 5 -

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