GEOMETRIE VECTORIELLE
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- Patrick Lefèvre
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1 Page 1 sur 6 GEOMETRIE VECTORIELLE 1. Géométrie plane 1-1 Vecteurs Soient le repère R = {O ; i, } du plan et u = xi + y un vecteur du plan. i) (x, y) est appelé couple de coordonnées de u. 2 2 ii) u = x + y est appelée norme de u. Soient le repère R = {O ; i, } du plan, u = xi + y et v = x ' i + y ' deux vecteurs du plan et α R. On définit la somme de deux vecteurs et la multiplication d un vecteur par un scalaire par : i) w = u + v = ( x + x ') i + ( y + y '). ii) w = αu = ( α x) i + ( α y).
2 Page 2 sur Repères On appelle repère orthonormé direct du plan tout repère {O ; i, } vérifiant : i) i = =1 π ii) ( i, ) = +. 2 Soit {O ; i, } un repère orthonormé direct du plan. i) On appelle repère polaire du plan tout repère {O ; u( θ ), v( θ ) } où θ est un u( θ ) = cosθi + sinθ nombre réel et. v( θ ) = sinθi + cosθ ii) Le couple (ρ, θ) tel que OM = ρu( θ ) est appelé couple de coordonnées polaires du point M. Remarque : il n y a pas unicité des coordonnées polaires. Par exemple : M(-ρ, θ+π) = M(ρ, θ). 1-3 Produit scalaire Soient u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u et v le réel noté u. v défini par : u. v cos ( u, v) si u et v sont non nuls u. v =. 0 sinon
3 Page 3 sur 6 Propriétés 1 : Si R={O ; i, } est un repère orthonormé et u et v deux vecteurs de coordonnées (x, y) et (x, y ) respectivement dans R, alors : u. v = xx + yy. Propriété 2 : u. v = v.u (symétrie) au + bv. w = a u. w + b v. w ( ) ( ) ( ) u et v orthogonaux u. v = 0. (bilinéarité) 1-2 Déterminant Soient u et v deux vecteurs. On appelle déterminant de u et v le réel noté det(u, v ) défini par : u. v sin ( ) ( u, v) si u et v sont non nuls det u. v =. 0 sinon Propriété : Si R={O ; i, } est un repère orthonormé direct et u et v deux vecteurs de coordonnées (x, y) et (x, y ) respectivement dans R, alors : det(u, v x x ' ) = xy x y = y y '. 2. Géométrie de l espace Remarque : On définit un repère orthonormé de l espace, les coordonnées, normes, sommes et produits par un scalaire de vecteurs de l espace comme dans le plan, avec une troisième coordonnée. 2-1 Repères Soit R={O ; i,, k } un repère orthonormé de l espace E. On appelle repère cylindrique de l espace tout repère {O ; u( θ ), v( θ ), k } où θ est u( θ ) = cosθi + sinθ un nombre réel et. v( θ ) = sinθi + cosθ Le triplet (r, θ, z) tel que OM = ru( θ ) + zk est appelé triplet de coordonnées cylindriques du point M.
4 Page 4 sur 6 On appelle coordonnées sphériques d un point M(x, y, z) de l espace le triplet x = ρ cosθ sinϕ (ρ,θ,φ) tel que : y = ρ sinθ sinϕ. z = ρ cosϕ Orientation : Nous allons distinguer deux types de repères : direct observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k et indirect. Soit un ), les pieds en O et regardant le point I. Le repère est dit "direct" si l'observateur à le point J à sa gauche. Il est dit "indirect" dans le cas contraire. - Jacques Delfaud - Ecole Nationale Météo-France (ENM) -
5 Page 5 sur Produit scalaire Soient u et v deux vecteurs de l espace. On appelle produit scalaire de u et v le réel noté u. v défini par : u. v cos ( u, v) si u et v sont non nuls u. v =. 0 sinon Propriété 1 : Si R={O; i,, k } est un repère orthonormé et u et v deux vecteurs de coordonnées (x,y,z) et (x,y,z ) respectivement dans R, alors : u. v = xx + yy + zz. Propriété 2 : u et v orthogonaux u. v = 0. Propriétés 3 : u. v = v.u (symétrie) au + bv. w = a u. w + b v. w ( ) ( ) ( ) (bilinéarité) Propriété 4 : Si R={O; i,, k } est un repère orthonormé et A et B deux points de coordonnées (x,y,z) et (x,y,z ) respectivement dans R, alors : AB = AB = AB. AB = ( x x ') + ( y y ') + ( z z '). 2-3 Produit vectoriel Soient u et v deux vecteurs de l espace orienté. On appelle produit vectoriel de u et u. v sin u, v et qui est directement v le vecteur noté u v qui a pour norme ( ) orthogonal à ( u, v ).
6 Page 6 sur 6 Remarques : u et v colinéaires u v = 0. Soit R={O; i,, k } un repère orthonormé de l espace E. On a alors : i = k, k = i et k i = i = k, k = i et i k = Propriétés 1 : u v = -( v u ) (antisymétrie) au + bv w = a u w + b v w ( ) ( ) ( ) (bilinéarité) Propriété 2 : Si R={O ; i,, k } est un repère orthonormé direct et u et v deux vecteurs de coordonnées (x,y,z) et (x,y,z ) respectivement dans R, alors : u v = y z y ' z ' i - x z x ' z ' + x x ' y y ' k.
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