Réponse temporelle : solution de l'équation d'état

Transcription

1 uoqu V uoqu Cours 9 Répos porll : soluo d l'équo d'é SI

2 Cou! Répos porll à prr d l oco d rsr! Clcul d l répos porll à prr du odèl d'é " Résoluo d l'équo d'é # Cs sclr # Cs rcl # Ms évdc d l rc d rso " Clcul d l rc d rso # Propréés d l rc d rso # lso d l rsoré d plc vrs # Dévlopp sér d Tylor # Théorè d Cly-Hlo # Dolso d l rc d'é! Epl récpul uoqu

3 Répos porll à prr d l FT! Cs d l oco d rsr Cosdéros u sysè oo-ré oo-sor décr pr u oco d rsr Hs Y s H s Y s H s s y s Y s H s s vc l rsoré d plc vrs C clcul 's vlbl qu s ls codos ls so ulls Epl H s T s T s uoqu Répos dcll s s Y s T y T s T T T T T s s T d'près ls bls d T

4 Répos porll à prr d'u odèl d'é! Cs sclr bu y c du I II cossc d pr cll d y " T d l'équo d'é Codo l : bu s s s b s uoqu " Evoluo d l'é $ Rppls # s # * F s F s b s s s s τ bu τ dτ Ré lbr u Ré orcé covoluo

5 Répos porll à prr d'u odèl d'é! Cs sclr " Répos porll y c du y c c bu τ dτ du " Rrqu τ S l'or ds ps s ls équos précéds o l or éérl suv τ bu τ d τ y c c τ bu τ dτ du >! Géérlso u cs rcl Y uoqu B C D R B R C R p D R p R R Y R p 5

6 Répos porll à prr d'u odèl d'é! Géérlso u cs rcl " T d l'équo d'é Codos ls : B s s s B s s si si B s I : rc dé d'ordr " Répos porll : éérlso si si B - s τ B τ d τ vcur rc vcur rc vcur uoqu Y C D Y C C τ B τ dτ D 6

7 Mrc d rso " Rrqus # répos porll dépd d l'poll d rc # Pour o s si. D'où Φ Φ s l rc d rso du vcur d'é l u vcur d'é pour! Propréés d l rc d rso $ Φ s u poll d rc. R Φ $ Φ I vc I : rc dé d'ordr $ $ d Φ Φ d Φ Φ Φ Φ Φ $ Φ uoqu Φ 7

8 Clcul d l rc d rso uoqu 8! lso d l rsoré d plc vrs si " Procédur d clcul # Forr l rc si # Clculr l'vrs d si si corc si d si # Prdr l rsoré d plc vrs d chqu élé d si procédur s pplcbl à l s l'ordr d l rc 's ps élvé T Epl So l'équo d'é Clculr l rc d rso

9 Clcul d l rc d rso : T vrs uoqu 9 " Epl su

10 Clcul d l rc d rso uoqu! Dévlopp sér d Tylor " Dévlopp sér d'u oco poll sclr!! " Géérlso à u poll d rc! vc R I!!! R R os rc d rso s u so podéré ds rs d pussc d l rc. O suppos qu l so s covr clcul s splé s s lpo Déo : l rc crré s d lpo d'ordr s'l s u r l qu pour ou r r> r []

11 uoqu Clcul d l rc d rso : dvl d Tylor So l sysè crcérsé pr l'équo dérll u z J Js s H Doubl érur z $ Es : z $ Equo d'é u J $ Clcul d l rc d rso I Pr coséqu $ Soluo d l'équo hooè [ ] T Codos ls Epl

12 Clcul d l rc d rso! Théorè d Cly-Hlo Dévlopp d Tylor! S l rc 's ps lpo l clcul s sdu. héorè d Cly-Hlo pr d lr c clcul à u obr d rs $ Equo crcérsqu d'u rc crré So u rc crré d'ordr. So équo crcérsqu s P d I Théorè d Cly-Hlo Tou rc crré ss so équo crcérsqu c's-à-dr P I O dédu du héorè l rlo suv uoqu I

13 uoqu Clcul d l rc d rso : h d Cly-Hlo! Irpréo du héorè C rlo pu lors s r sous l or suv Tou pussc d c's-à-dr l qu > pu s'écrr co l cobso lér ds prèrs pusscs d. I vc vc b b O cos qu s u cobso lér d D ço slr o pu clculr oco ds prèrs pusscs d

14 uoqu Clcul d l rc d rso : h d Cly-Hlo! Corollr du héorè Forul d Sylvsr O pu rouvr ds ocos dépd du ps lls qu! C orul pr d lr l clcul du dévlopp d Tylor à u obr d rs. S o coî ls ocos o ob Jusco du corollr D'près l héorè vc b O dédu vc!! b D'où!!! I l qu > s'écrv co l cobso lér ds prèrs pusscs d s uss u cobso lér ds prèrs pusscs. s cocs so ds c cs ds ocos du ps

15 5 uoqu Clcul d l rc d rso : h d Cly-Hlo! Clcul ds ocos " Cs O suppos qu l rc crré d'ordr d vlurs proprs dscs j j O or qu ls ocos so soluos du sysè d équos M éhod écss l déro prélbl ds vlurs proprs d l rc. O ssoc u équo à chqu vlur propr.

16 6 uoqu Clcul d l rc d rso : h d Cly-Hlo 5 Epl Clculr l rc d rso $ Vlurs proprs d : $ Déro ds ocos I $ Mrc d rso 5

17 7 uoqu Clcul d l rc d rso : h d Cly-Hlo! Clcul ds ocos " Cs : l rc ds vlurs proprs o dscs So j u vlur propr spl. O lu ssoc l'équo j j j So u vlur propr ulpl d'ordr d ulplcé r O lu ssoc ls équos suvs d d d d d d d d r r r r M E procéd s pour ous ls vlurs proprs spls ou ulpls o ébl u sysè d équos duqul o dédu ls ocos

18 8 uoqu Clcul d l rc d rso : h d Cly-Hlo Epl Clculr l rc d rso $ Vlurs proprs d : $ Déro ds ocos d d d d I $ Mrc d rso vlur propr doubl

19 Clcul d l rc d rso uoqu 9! Mrc dol S l rc crré d'ordr s dol o O! Mrc dolsbl O S l rc crré d'ordr d vlurs proprs dscs ll s dolsbl c's-à-dr TDT vc D O T : rc ds vcurs proprs d O or qu D T T

20 uoqu Répos porll : pl Epl [ ] y Clculr l répos dcll du sysè

21 uoqu érso du odèl d'é! érso uour du po O réls u dévlopp d Tylor u r ordr d p p p p p p p u Y u Y M $ Equos d'é $ Equos d sor u u M

22 uoqu érso du odèl d'é $ For rcll u G G y Y Y u F F u G G y u F F Modèl d'é lérsé F M M F M M p p G M M p p G M M F F G G so ls rcs jcobs ds dérvés prlls d rspcv pr rppor à évlués u po G D G C F B F Mrcs du odèl :

23 érso d'u odèl d'é! Epl : rssor à copor o-lér rssor F z Equo dérll z F Modèl d'é z z $ Eré u F $ Sor y z $ Es du sysè z z $ Modèl o-lér z z z z z F F uoqu u y h u u

24 érso d'u odèl d'é uoqu! Epl $ Déro du po d oco O chos co po d oco u po sor c's-à-dr l qu u u D plus o prdr u. O lors ou ± Pos d oco : ou ±

25 5 uoqu érso d'u odèl d'é : pl $ Prr po : u u B ] [ h h C u h D $ Mrcs $ Duè po : ± Sul l rc d cod ch slo ls pos d oco