Énoncés des exercices

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1 Énoncés Énoncés des eercices Eercice [ Indication ] [ Correction ] Calculer la dérivée n-ième de f n ( = n ln, avec n Eercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Calculer la dérivée n-ième de f( = sin( cos α e sin α On proposera deu démonstrations différentes Eercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On pose y( = arctan Montrer que y (n ( = (n! cos n y sin(ny + n π 2 Eercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Calculer les zéros de la dérivée n-ième de f( = + 2 Eercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Pour tout entier naturel n, établir que dn d n ] n+/2 dn+ [(4 d n+ e = e Page Jean-Michel Ferrard wwwklubprepanet c EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (, le 04/0/207

2 Indications, résultats Indications ou résultats Indication pour l eercice [ Retour à l énoncé ] On a f n+ ( = f n ( Montrer par récurrence que f n (n ( s écrit sous la forme a n Vérifier que a n+ = na n pour tout n En déduire f (n n ( = Indication pour l eercice 2 [ Retour à l énoncé ] (n! Première méthode : remarquer que f ( = sin(α + sin α e cos α Prouver par récurrence que f (n ( = sin(nα + sin α e cos α Deuième méthode : remarquer que f( = Im g( avec g( = e ω et ω = e iα Indication pour l eercice 3 [ Retour à l énoncé ] Procéder par récurrence sur n, en remarquant d abord que y = cos 2 y Indication pour l eercice 4 [ Retour à l énoncé ] Remarquer que f( = ( + i( i = i ( 2 + i i En déduire f (n ( = i( n n!(( i n+ ( + i n+ 2( 2 + n+ Chercher ensuite les zéros du polynôme P n ( = ( i n+ ( + i n+ On trouve n solutions distinctes : les k = cotan θ k, avec avec θ k = Indication pour l eercice 5 [ Retour à l énoncé ] Poser y = e, z n = (4 n+/2 y (n+, puis établir z (n n kπ n + = y par récurrence Pour celà, montrer que 4y + 2y y = 0, égalité qu on dérivera n fois En déduire z + 2z 0 2y = 0 et pour n : z n+ + (4n + 2z n 4z n = 0 Enfin, dériver n + fois l égalité précédente et k n Page 2 Jean-Michel Ferrard wwwklubprepanet c EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (, le 04/0/207

3 des eercices Corrigé de l eercice [ Retour à l énoncé ] On vérifie que f ( = (ln = et f 2 ( = ( ln = ( + ln = Montrons par récurrence que pour tout n, il eiste a n IR tel que g n ( = f n (n ( = a n C est vrai si n = Supposons que ce le soit pour un entier n fié Alors : g n+ ( = f (n+ n+ ( = (f n ( (n+ ( = f n (n+ ( + (n + f n (n ( = g n( + (n + g n ( = a n + (n + a n = na n Ainsi il eiste a n+ tel que g n+ ( = f (n+ n+ ( = a n+, avec a n+ = na n Cela prouve la propriété au rang n + et achève la récurrence De plus la relation a n+ = na n et l égalité a = donnent n, a n = (n! Conclusion : pour tout n, on a f (n n ( = Corrigé de l eercice 2 [ Retour à l énoncé ] On calcule la dérivée première de f : (n! f ( = ((sin α cos( sin α + (cos α sin( sin α e cos α = sin(α + sin α e cos α Montrons que pour tout entier n, on a f (n ( = sin(nα + sin α e cos α La propriété est vraie pour n = 0 et n = Supposons qu elle le soit pour un entier n 0 donné On en déduit : f (n+ ( = d d (sin(nα + sin α e cos α = ((sin α cos(nα + sin α + (cos α sin(nα + sin α e cos α = sin((n + α + sin α e cos α ce qui prouve la propriété au rang n + et achève la récurrence Il y a une autre démonstration, qui utilise les fonctions à valeurs complees On a en effet f( = Im g( avec g( = e i sin α e cos α = e ω avec ω = e iα On a alors, pour tout n, g (n ( = ω n e ω = e inα e ω = ep(i(nα + cos α e cos α On en déduit, pour tout n de IN : f (n ( = Im g (n ( = Im (ep(i(nα + cos α e cos α = sin(nα + sin α e cos α Page 3 Jean-Michel Ferrard wwwklubprepanet c EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (, le 04/0/207

4 Corrigé de l eercice 3 [ Retour à l énoncé ] On procède par récurrence sur l entier n Pour n =, on a : (n! cos n y sin(ny + n π 2 = cos y sin(y + π 2 = cos2 y = La propriété est donc vraie pour n = + tan 2 y = + = 2 y ( Supposons qu elle le soit au rang n fié On a alors : y (n+ ( = (n! d d (cos n y sin(ny + n π 2 = (n! y ( ( n sin y sin(ny + n π 2 + n cos y cos(ny + nπ 2 cos (n (y = n! cos 2 (y (cos((n + y + n π 2 cos (n (y = n! cos (n+ (y sin((n + y + (n + π 2 Ce qui établit la propriété au rang n + et achève la récurrence Corrigé de l eercice 4 [ Retour à l énoncé ] On utilise une décomposition en éléments simples dans lc(x Pour tout de IR, on a On sait que la dérivée n-ième de f (n ( = i( n n! ( 2 + = 2 ( + i( i = i 2 ( + i n+ ( i n+ ( + i i + α est ( n n! On en déduit : ( + α n+ = i( n n!(( i n+ ( + i n+ 2( 2 + n+ Les zéros de f (n ( sont donc ceu du polynôme P n ( = ( i n+ ( + i n+ On note w k = ep 2iθ k, avec θ k = kπ, avec 0 k n n + Les ω k sont les n + racines (n + -ièmes de l unité (en particulier z 0 = On rappelle que pour tout u, v dans lc, on a u n+ = v n+ k {0,, n}, u = ω k v Pour tout z de lc, on peut donc écrire : P n (z = 0 (z i n+ = (z + i n+ k {0,, n}, z i = ω k (z + i k {,, n}, z = i + ω k ω k = i + e2iθk e 2iθ k Les θ k forment une suite strictement croissante de ]0, π[ = i 2 cos θ k 2i sin θ k = cotan θ k Ainsi f (n possède n zéros distincts sur IR qui sont les k = cotan θ k, avec k n Page 4 Jean-Michel Ferrard wwwklubprepanet c EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (, le 04/0/207

5 Corrigé de l eercice 5 [ Retour à l énoncé ] On pose y = e, et z n = (4 n+/2 y (n+ On trouve tout d abord y = y 2 puis y = y 2 y 4 = y 4 y 2 On en déduit l égalité 4y + 2y y = 0 On dérive n fois l égalité précédente On trouve 4y (n+2 + 4ny (n+ + 2y (n+ y (n = 0 donc 4y (n+2 + (4n + 2y (n+ y (n = 0 On multiplie membre à membre par (4 n+/2 On trouve (4 n+3/2 y (n+2 + (4n + 2(4 n+/2 y (n+ 4(4 n /2 y (n = 0 { z + 2z 0 2 y = 0 si n = 0 Autrement dit : z n+ + (4n + 2z n 4z n = 0 si n On dérive n + fois la dernière égalité Pour tout n, on pose Z n = z (n n On trouve z (n+ n+ + (4n + 2z n (n+ 4z (n+ n 4(n + z (n n = 0 Autrement dit Z n+ + (4n + 2Z n 4Z n 4(n + Z n = 0 Il reste à montrer que Z n = y et pour cela on procède par récurrence sur n Tout d abord Z 0 = z 0 = 2 y ( qui est bien égal à y D autre part Z = z = (8 y et on sait que y = y 2 y 4 On en déduit 8 y = 4y 2y puis (8 y = 4y + 2y = y Ainsi la propriété est vraie au rangs n = 0 et n = Supposons qu elle le soit au rangs n et n (n donné Ainsi Z n = Z n = y Alors Z n+ + (4n + 2Z n 4Z n 4(n + Z n = 0 devient Z n+ = 4y + 2y = y Cela établit la propriété au rang n + et achève la récurrence Page 5 Jean-Michel Ferrard wwwklubprepanet c EduKlub SA Fichier généré pour Visiteur (, le 04/0/207

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