CCP Filière MP Corrigé de l épreuve Mathématiques I Nicolas Basbois & Damien Broizat Institut Stanislas, Cannes - Lycée Jules Ferry

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1 CCP 6 - Filière MP Corrigé de l épreuve Mathématiques I EXERCICE I I Supposons que l équation différentielle E possède une solution développable en série entière sur ] r; r[ avec r >, notée y : n= a n n En dérivant deu fois cette série entière terme à terme sur son intervalle ouvert de convergence, on obtient pour tout ] r; r[ : y = na n n = na n n+ na n n = n a n n na n n, ainsi que n= n= y = nn a n n = n= n= n= nn a n n = n= n= nn a n n En sommant ces développements en série entière, il vient, pour tout ] r; r[ : y + y + y = = n= n= nn a n n + n= n a n n n= n n + a n + n a n n + a n= na n n + Puisque y{ est solution de E, on obtient par unicité du développement en série entière les a = relations n, n n + a n + n a n = { Puisque n n+ = +n a =, ces relations se réécrivent n, a n = n a, +n n ce qui entraîne la nullité de la suite a n n N par une récurrence immédiate En conclusion, on a montré qu une telle solution est nécessairement la fonction nulle Il n eiste donc pas de solution non nulle de E qui soit développable en série entière au voisinage de n= a n n EXERCICE II On utilisera dans cet eercice les relations : ] ; [, = n, n= = d d n = n= n= n n, la seconde étant obtenue par dérivation de la somme d une série entière sur son intervalle ouvert de convergence De ces relations, on déduit en évaluant en = : n= n =, n= n n = n= n n = n= n n = =

2 Corrigé CCP MP 6 - Math I / II Notons u i,j = i + j i+j pour tout couple i, j N On a : u i,j = u j,i pour tout i, j N ; pour tout i N, la série j u i,j converge En effet, on a sous réserve de convergence de chacune des séries utilisées : j= u i,j = j= i i+j + j= j i+j = i i j= j + i j= et on reconnaît là des séries convergentes Au passage, on obtient en utilisant les calculs du préambule ; u i,j i= u i,j j= i= j j j= u i,j = i + i = 4u i, la série converge, car pour tout i N, u i,j = 4u i, par ce qui précède i j= j= et parce que u i, converge et elle a même somme que u,i par symétrie On i i obtient concrètement : = 4u i, = 4 u,i = 4 4 u, = 6u, On en déduit, par le théorème de sommation par paquets pour les familles à termes positifs, que la famille u i,j i,j N est sommable, et sa somme vaut : u i,j = u i,j = 6 u, = 6 = 8 i,j N i= j= II IIa Les relations données définissent bien une loi de probabilité sur l univers dénombrable N, puisque : i, j N, i,j N i + j i+j+3 = 8 i + j i+j+3 = u i,j 8 ; u i,j = i,j N }{{ } =8 IIb Pour tout i N, on a la décomposition d événement : X = i = et cette réunion est disjointe, donc De même, on a P Y = i = P X = i = j= j= j= i= X = i Y = j, P X = i Y = j = P X = j Y = i = j= u j,i 8 j= u i,j 8 = P X = i,

3 Corrigé CCP MP 6 - Math I 3/ puisque u i,j = u j,i Les variables aléatoires X et Y suivent donc la même loi, donnée par N, P X = = P Y = = IIc On a d après l énoncé : l= u,l 8 = 4u, 8 = u, = + + P X = Y = = + = ++3 Pourtant P X = P Y = = + + = P X = Y =, donc les variables X et Y ne sont pas indépendantes III PROBLÈME : Fonction Digamma Partie préinaire a Soit > La fonction h : t e t t est continue sur ], [ par produit de fonctions continues, les fonctions eponentielle et puissances étant bien continues sur ], [ On a h t t = avec < et t e t t = t + e t par croissance t + t t comparée, d où h t = o t t Ainsi, par comparaison de fonctions positives et critère de Riemann en et en, h : t e t t est intégrable sur ], [ On peut ainsi définir la fameuse fonction Gamma d Euler Γ : sur ], [ e t t dt, b Soit > La fonction h définie dans la question précédente est continue et strictement positive sur ], [ La positivité de l intégrale nous donne h tdt et la continuité de h implique qu on ne pourrait avoir h tdt = que si h était identiquement nulle sur ], [, ce qui n est pas le cas Ainsi Γ = h tdt >, et ce pour tout > { R c On définit h : + R + R, t h t = e t t Pour tout t >, h, t est de classe C et même C en fait sur R + On a donc l eistence de h sur tout R + et, pour tout t >, la continuité de h, t sur R + Notons d ailleurs qu on a, pour tout, t R +, h, t = lnte t t Pour tout >, t h, t est continue donc continue par morceau sur R + Soit [a, b] un segment de R + On a donc < a b {, t [a, b] R +, h, t lnt e t t a si t lnte t t b si t > { lnt e Notons donc ϕ la fonction définie sur R + par ϕt = t t a si t lnte t t b Cette si t > fonction est continue par morceau et même continue en fait De plus, pour t >, on a t ϕt = t +b lnte t, donc t ϕt par croissance t comparée, d où ϕt = o t t Et, pour t ], ], on a t a ϕt = t a lnt e t t + toujours par croissance comparée, car a >, donc ϕt = o t + t a, avec a <

4 Corrigé CCP MP 6 - Math I 4/ Donc ϕ est intégrable sur ], [ On en déduit l hypothèse de domination sur tous les segments de ], [ Cela prouve finalement que Γ est de classe C sur ], [, donc dérivable, avec : >, Γ = h, tdt = n lnte t t dt III Pour tout entier n, on pose u n = n t dt n { [, [ R a Notons f : t Comme la fonction f est continue donc continue par t morceau, décroissante et à valeurs positives, un théorème du cours indique que la série n n ftdt fn converge, c est-à-dire que u n converge n n n b Pour tout entier n, on pose H n = Pour n, on a n = u = n n u = lnn + n = n Comme la suite u H n n converge = dt t n = = H n n On note dans la suite γ = ], [, par ψ = Γ Γ lnn par relation de Chasles, d où converge par la question précédente, il s ensuit que la suite H n, et on définit la fonction Digamma ψ, pour Epression de la fonction Digamma à l aide d une série III3 Pour ], [ et pour tout entier n, on définit la fonction f n sur ], [ par : { t n f n : t n t si t ], n] si t > n a On peut établir l inégalité souhaitée par simple étude de la fonction ln + sur ], [, ou bien par un argument de conveité : en effet la fonction ln est notoirement concave sur R +, donc son graphe est au-dessous de chacune de ses tangentes Comme la tangente en = a pour équation y =, on en déduit : R +, ln Il vient ensuite, via deu changements de variable successifs : >, ln +, puis <, ln Ensuite, soit n et, normalement, > est déjà fié aussi dès l énoncé de la question III3 La fonction f n est positive par définition De plus, pour tout t ], n[, f n t = e n ln n t t, avec ln n t t n par la question précédente, vu qu on a bien t n < pour t ], n[ On en déduit, par croissance de l eponentielle et produit par une quantité positive : f n t e n t n t = e t t Enfin f n est nulle sur [n, [, tandis que la fonction t e t t y est positive, d où finalement l encadrement : t >, f n t e t t b Comme demandé, on applique le théorème de convergence dominée : Pour tout n, f n est continue par morceau sur R +

5 Corrigé CCP MP 6 - Math I 5/ Soit t > Il eiste N N tel que N t, par eemple N = t + Alors, pour tout n N, t ], n], et donc f n t = n t n t Or, n t n = e n ln n t, et ln n t = t n + o n, donc t n n = e n t +o n n = e t+o e t par continuité de l eponentielle Donc f n t e t t On a ainsi prouvé que f n n converge simplement sur R + vers la fonction t e t t De plus, pour tout n et pour tout t >, f n t e t t par la question précédente, et on a prouvé dans la première question du problème que la fonction t e t t est continue bien sûr et intégrable sur R + Donc, par le théorème de convergence dominée, f n tdt Comme f n est nulle sur [n, [, cela donne finalement : n n t n t dt Γ, et ce raisonnement a bien été mené pour tout > III4 Pour tout entier naturel n et tout >, on pose I n = e t t dt u n u du a Soient n N et > La fonction α : u u n u est bien définie et continue sur ], ] De plus, αu u =, avec <, donc α est intégrable sur ], ] par u + u comparaison de fonctions positives et critère de Riemann Cela assure la bonne définition de I n On définit maintenant sur ], ] les fonctions α : u u n et α : u u Ces fonctions sont de classe C, et on a α uα u qui admet une ite finie pour u +, en l occurrence On en déduit, par intégration par parties : I n = α uα udu = α α u +α uα u = + n u n u du = n I n + α uα udu b Soit > On a I = u du = [ ] u = Soit n On a, par une récurrence immédiate, I n = n I n + = n n + I n! n + = + +n I n! + n = + +n c La fonction t t n réalise une bijection strictement croissante et de classe C de ], n] sur ], ] Via le changement de variable u = t n, on obtient donc : n n t n t dt = u n nu ndu = n u n u du = n I n Le résultat de la question 3b se réécrit ainsi : Γ = question précédente permet de conclure : Γ = n n! + + n = n I n Et le calcul de la n!n + Cette relation est appelée formule de Gauss selon l énoncé, mais n est-ce pas plutôt la formule dite d Euler dans la littérature? III5 Soient n N et > L indication donnée fallait-il la prouver? est immédiate en remarquant qu on a =

6 Corrigé CCP MP 6 - Math I 6/ e Hn = e np e lnn = e n Ensuite, d après la formule de Gauss établie à la question précédente, on a : + + Γ = = n!n = n = n Grâce à l indication fournie, on réécrit : Or H n produit de ites, Γ = ehn [ + ] e γ donc, par continuité de l eponentielle, ehn Γ = eγ Cette formule est appelée formule de Weierstrass III6 [ + ] e + eγ et, finalement, par a On note qu on pourrait répondre directement à la question à l aide d un DL d ordre Si l on veut rester dans les clous du sujet, on commence par réécrire la formule précédente : [ + ] e Γe γ Par continuité de ln, on en déduit : n [ ln + ] e ln n [ ln + ] Γe γ, i e ln Γe γ En particulier, on a prouvé que la série [ ] ln + converge Ceci ayant été démontré pour tout >, on a établi la convergence simple de la série de fonctions g sur ], [, où l on pose g : ln + b On note g = g sur ], [ Outre la convergence de g vers g établie à la question précédente, on a : Les fonctions g sont toutes de classe C sur ], [ Pour tout, pour tout >, g = + = + Soit [a, b] un segment de R + On a donc < a b Alors pour tout et tout [a, b], g b et, comme b converge, on a établi la convergence normale, donc uniforme, de g sur [a, b] On en déduit que g est de classe C, avec : >, g = g = c Par la question 6a, on a, pour tout >, g = ln Γe γ = ln Γ ln γ +

7 Corrigé CCP MP 6 - Math I 7/ Dérivant cette relation sur R +, on obtient : g = Γ Γ γ, c est-à-dire, vu que ψ = Γ Γ, ψ = g γ Comme g = + = + +, on a finalement établi : III7 >, ψ = γ + + a Posant = dans la formule précédente, on trouve : ψ = γ + +, d où, par télescopage, ψ = γ + = γ De plus Γ = e t dt = X [ e t ] X = X e X = donc, vu que ψ = Γ Γ, on obtient Γ = γ Mais en reprenant l epression obtenue à la question c, on constate que Γ = e t lntdt, d où finalement : e t lntdt = γ b D après la formule de la question 6c, on a, pour tout >, ψ + ψ = = par somme de séries convergentes Et donc : ψ + ψ = Remarque On aurait aussi pu procéder ainsi : ψ + ψ = Γ + Γ + Γ Γ = d d = ln = + + = + + Γ + Γ Or, il est bien connu que Γ + = Γ il suffit d intégrer par parties, donc ψ + ψ = d d ln = En particulier, pour tout N, ψ + ψ = Il s ensuit, pour tout entier n, n ψn = ψ + n ψ + ψ = γ + { R c Soit > fié Pour tout N, on définit j : + R y +y+ +y+ Cette notation est discutable : il aurait peut-être été préférable de noter j,, pour insister sur le fait que l on travaille à > fié, et que la convergence uniforme étudiée ici ne

8 Corrigé CCP MP 6 - Math I 8/ porte que sur la variable y On peut réécrire j y = +y+ y +y++y+ = ++ y >, j y +y++y+ donc, + + Comme est une série convergente, vu que convergence normale, donc uniforme, de j sur ], [ ++ Ensuite, reprenant la formule de 6c, on a, pour tout n N, ψ + n ψ + n = + n + n n, on a la, + + n et selon le même principe de calcul qu à la question précédente, on aboutit à : ψ + n ψ + n = + + n = j n + + n Or, pour tout N, j n = = donc, par le théorème de la double ite qui s applique ici car la série de fonctions étudiée converge uniformément sur un voisinage de, ψ + n ψ + n = j n = III8 Par analyse-synthèse : Analyse : Soit f solution On va montrer que f vérifie la formule de ψ établie en 6c, à savoir : >, f = γ + + Puisque t = ft + ft pour tout t >, on a = f + f f f + + = n n = f + f + f + f + + = fn + f +f + fn + + }{{} = γ = f + + γ f + + n f + n = f + }{{} + γ, = ce qui montre bien la relation voulue, et donc f = ψ Synthèse : La seule solution éventuelle au problème est donc ψ Mais on a prouvé en 7a, 7b et 7c que ψ satisfait les trois conditions voulues, donc finalement ψ est solution, et c est la seule

9 Corrigé CCP MP 6 - Math I 9/ III9 Soit n N Autour de la fonction Digamma a On suppose les boules indiscernables, ce qui implique qu à tout moment de l epérience, chaque boule de l urne a la même probabilité d être tirée, peu importe son numéro cette hypothèse n était pas faite par l énoncé est-ce un oubli ou un acte volontaire de la part du concepteur du sujet? mais elle est éminemment raisonnable Avec cette hypothèse, X suit la loi uniforme sur {,, n} On a donc, pour tout {,, n}, P X = = n Il s ensuit EX = n P X = = n n Les correcteurs acceptent-t-ils la formule n = nn+ n = n+ = nn+ sans preuve? S il faut la redémontrer, on peut utiliser la jolie méthode du jeune Gauss, ou une bête récurrence b Vu l epérience, Y prend ses valeurs dans {,, n} Soit {,, n} On utilise la formule des probabilités totales, avec le système complet d événements {X =, X =,, X = n} : n P Y = = P X=j Y = P X = j = n P n X=j Y = j= On calcule cette somme en distinguant selon les valeurs de j j = ou j En effet, pour j =, le premier tirage aura amené boules numérotées en plus dans l urne, tandis que pour j, le premier tirage n aura pas amené de boule numérotée supplémentaire dans l urne Ainsi : P Y = = P n X= Y = + P X=j Y = = + n + n +, j + n j n, j Or, par 7b, ψn + ψn + = n = n n + n + j + n {,, n}, P Y = = n j= n = n =n+ j= + ψn + ψn + + n j n, j = n j+n, d où finalement : j= Et il faut corriger ce que demandait l énoncé, c est-à-dire prouver cette relation pour tout N, alors qu elle n est valable que pour {,, n} c On a EY = n P X = = n n +n, + ψn + ψn + donc : EY = n Utilisant l indication fournie, EY = n nn + + n + ψn + ψn + + n ψn + ψn + + n + ψn + ψn + = n + 3n + ψn + ψn + Et on est un peu perplee devant ce résultat : était-ce ce à quoi l énoncé voulait arriver?

10 Corrigé CCP MP 6 - Math I / Remarque Il n était pas demandé de démontrer l indication fournie, mais elle n avait rien d etraordinaire : n n nn + = n = n + n n + n = n + n n n + n + n + = n + n + n n n + = n + n n =n+ = n + n ψn + ψn +