COURS. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse.

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1 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES COURS Objectifs du chapitre : Déterminer des longueurs dans un triangle en utilisant le théorème de Pythagore ou de Thalès. Démontrer que deux droites ne sont pas perpendiculaires en utilisant la conséquence du théorème de Pythagore Démontrer que deux droites sont perpendiculaires en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles en utilisant la conséquence du théorème de Thalès Démontrer que deux droites sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès Partager un segment en plusieurs segments de même longueur sans utiliser la règle graduée. 1. Vocabulaire Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. hypoténuse Côtés de l angle droit Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 1 8

2 2. Théorème de Pythagore, sa conséquence, sa réciproque Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l angle droit. (hypoténuse) 2 = (côté 1) 2 + (côté 2) 2 Côté 2 hypoténuse Enoncé de type 1 : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm. Calculer BC. Côté 1 ABC est rectangle en A, donc, d après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AB² + AC² BC² = 3² + 4² BC² = BC² = 25 BC = 25 BC = 5 cm Enoncé de type 2 : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 24cm et BC = 25cm. Calculer AC. ABC est rectangle en A, donc, d après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AB² + AC² 25² = 24² + AC² 625 = AC² AC² = AC² = 49 AC = AC = 7 cm Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 2 8

3 Conséquence du théorème de Pythagore : Si un triangle ABC ayant pour plus grand côté BC est tel que BC² AB² + AC², alors le triangle ABC n est pas rectangle. Enoncé : ABC est un triangle avec AB = 5cm, AC = 6cm et BC = 8cm. Montrer que ce triangle n est pas rectangle. Dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté. On calcule séparément : BC 2 = 8² = 64 AB² + AC² = 5² + 6² = = 61 On constate que BC² AB² + AC², donc d après la conséquence du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ABC n est pas rectangle. Réciproque du théorème de Pythagore : Si un triangle ABC est tel que AB 2 + AC 2 = BC 2, alors le triangle est rectangle en A. Enoncé : IJK est un triangle avec IJ = 5cm, JK = 12cm et IK = 13cm. Montrer que ce triangle est rectangle. Dans le triangle IJK, KI est le plus grand côté. On calcule séparément : KI 2 = 13² = 169 IJ² + JK² = 5² + 12² = = 169 On constate que KI² = IJ² + JK², donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle IJK est rectangle en J. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 3 8

4 3. Théorème de Thalès, sa conséquence, sa réciproque Théorème de Thalès Si les droites (BM) et (CN) se coupent en A et si (BC) // (MN), alors Enoncé de type 1 : Sur la figure ci-dessous, OA = 15 cm, OM = 6 cm, MN = 5 cm, les droites (AB) et (MN) sont parallèles. Déterminer AB. Les droites et se coupent en et //, donc d après le, on a :. (On choisit l égalité :) (car on connaît, et et on cherche ) (On remplace les longueurs par les données :) Donc On conclut : Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 4 8

5 Enoncé de type 2 : Sur la figure ci-dessous, AD = 2cm, BD = 1,2cm, DC = 1,8cm. Sachant que les droites (AB) et (CE) sont parallèles, calculer DE. Les droites et se coupent en et //, donc d après le, on a :. (On choisit l égalité :) (car on connaît, et et on cherche ) (On remplace les longueurs par les données :) Donc On conclut : Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 5 8

6 La conséquence du théorème de Thalès Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A Si AM AB AN AC, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. Enoncé : Sur la figure ci-dessous, AB = 3cm, AM = 9cm, AN = 7cm et AC = 2cm. Démontrer que les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Les droites et se coupent en. Calculons séparément : = = On remarque que.... On en conclut, d après. que les droites.. et sont.. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 6 8

7 Réciproque du théorème de Thalès Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A. Si AM AB = AN AC ordre, et si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Enoncé : Sur la figure ci-dessous, AN = 2cm, AM = 3cm, AB = 9cm et AC = 6cm. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Les droites et se coupent en. Calculons séparément : = = On remarque que.... De plus les points,., et,.,. sont alignés dans le même ordre, on en conclut, d après que les droites.. et sont. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 7 8

8 Application du théorème de Thalès : partager un segment en 3 segments égaux sans utiliser la règle graduée : Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 8 8

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