Leçon : Les fonctions

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1 Leçon : Les fonctions 1. Notion de fonction et généralités 1.a) Fonction Soit D une partie R. Définir une fonction sur un ensemble D, c est associer à chaque réel x de D, un unique réel, appelé image de x par f et noté f(x). Vocabulaire : On dit que D est l ensemble de définition de f. La fonction f est notée D -> R x -> f(x) Si f(a)=b, on dit que b est l image de a par f, on dit que a est un antécédent de b par f. Exemple : (Page 63 exercice résolu 2, page 73 numéro 12 et 15). Remarque : une fonction peut-être définie par un graphique. un tableau de valeurs. une formule.

2 1.b) Courbe représentative d une fonction Rappel : Repérage du plan. Un repère du plan est défini par trois points non alignés O, I, J du plan. O est l origine du repère, (OI) est l axe des abscisses et (OJ) l axe des ordonnées. Pour les représentations graphiques des fonctions on utilisera essentiellement les repères orthogonaux, c est-à-dire (OI) (OJ). Et les repères orthonormés, c est-à-dire (OI) (OJ) et OI = OJ. Dans un repère tout point M du plan est repéré par un couple de nombres réels appelé coordonnées du point M(x ; y) où x est l abscisse et y l ordonnée du point M. Soit f une fonction définie sur un ensemble D. Dans un repère du plan, la courbe représentative de f, noté Cf, est l ensemble des point M(x,y), dont : L abscisse x décrit l ensemble D. L ordonné y est l image de x par f, (y=f(x)). Vocabulaire : On dit que la courbe Cf a pour équation y=f(x) dans le repère choisi. 1.b) Méthodes Méthode pour tracer la courbe représentative d une fonction : à la main, point par point. à la calculatrice (utilisé le traceur de la calculatrice ou écrire un algorithme pour tracer la courbe) Méthode pour rechercher une image et un antécédent : graphiquement via l équation de la fonction via un tableau de données

3 2. Equations 2.a) Développement et factorisation Développer un produit c est le transformer en somme. Factoriser une somme c est le transformer en produit. Outils : -distributivité du produit par rapport à la somme. -double distributivité. -identités remarquables. En vrac : pour a, b, c, d des nombres réels on a les égalités suivantes : a.(b+c)=a.b+a.c (a+b).c=a.c+b.c (a+b).(c+d)=(a+b).c+(a+b).d=a.c+b.c+a.d+b.d (a+b)²=a²+2.a.b+b² (a-b)²=a²-2.a.b+b² (a+b).(a-b)=a²-b² 2.b) Equations et résolution Une égalité est une affirmation qui utilise le signe «=», et qui peut-être vrai ou fausse. (Exemple : 8+1=7 est une égalité fausse ; 8+1=9 est une égalité vrai). Une équation est une égalité où figure une inconnue. Cette inconnue est souvent notée x. (Exemple : x²=1 ; 7.x+1=0 ; x²=-1). Résoudre une équation d inconnue x, c est trouver toutes les valeurs possibles de x, telles que l égalité associée soit vrai. Ces valeurs sont les solutions de l équation. (Exemple : l équation x²=1 admet 1 et -1 comme solutions ; l équation x²=-1 n admet pas de solution ; l équation 2.x+1=0 admet une unique solution qui est 1/2). 2.c) Equation du premier degré On appelle équation du premier degré une équation du type a.x+b=0, avec a et b deux réels, et a un réel non nul. Propriété : L équation a.x+b=0, admet une unique solution, x=-b/a L ensemble des solutions est {-b/a }. Règle : Un produit est nul si, et seulement si, l un de ces facteurs est nul.

4 (A.B=0, équivaut à, A=0 ou B=0) Un quotient est nul si, et seulement si, son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. (A/B=0, équivaut à, A=0 et B 0) (Exemple : page 125 exercices 13 et17). 2.d) Méthode de résolution d équation Méthode de résolution d équation du type f(x)=k, avec k un réel fixé : Graphique. Tableau de valeurs. (Lorsque l ensemble de définition de f est fini) Calcul. Méthode de résolution d équation du type f(x)=g(x) : Graphique. Tableau de valeurs. (Lorsque l ensemble de définition de f est fini) Calcul. (Voir page116).

5 3. Etude d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, de courbe représentative Cf. 3.a) Idée intuitive de la notion de sens de variation et d extrémum 3.b) Sens de variation Dire que f est croissante signifie que pour tout nombres réels u et v de l intervalle I, si u v alors f(u) f(v). Dire que f est décroissante signifie que pour tout nombres réels u et v de l intervalle I, si u v alors f(u) f(v). f est croissante sur I f est décroissante sur I

6 Remarque : Une fonction croissante «conserve l ordre», c est à dire deux réels quelconques de I et leurs images sont rangés dans le même ordre. Une fonction décroissante «change l ordre», c est à dire deux réels quelconques de I et leurs images sont rangés dans des ordres contraires. 3.c) Tableau de variation Etudier les variations d une fonction f c est trouver les plus grands intervalles sur lesquels f est croissante ou décroissante. On résume les variations de f par un tableau appelé tableau de variation. (Voir page 64) 3.d) Extrémum Soit a un nombre réel de l intervalle I. Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que pour tout réel x de I : f(x) f(a). Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que pour tout réel x de I : f(x) f(a). Vocabulaire : On dit que f(a) est un extrémum de la fonction f sur l intervalle I, pour indiquer que f(a) est un maximum ou un minimum de f sur I.

7 4. Fonctions linéaires et affines 4.a) Rappel On appelle fonction affine, toute fonction définie sur R par la formule x-> a.x+b, avec a et b deux réels. Propriété : La représentation graphique de la fonction affine x-> a.x+b, est la droite d'équation y = ax + b. Vocabulaire : a est le coefficient directeur de la droite, b est l'ordonnée à l'origine. Remarque : Si a=0, alors la fonction f est la fonction constante à b. Si b=0, alors la fonction f une fonction linéaire. Méthode pour calculer les coefficients a et b : Graphiquement. Connaissant les images de deux abscisses. 4.b) Sens de variation d une fonction affine Propriété : Soit f une fonction affine définie par x-> a.x+b, avec a 0. Si a>0, alors f est croissante. Si a<0, alors f est décroissante.

8 4.c) Caractérisation d une fonction afffine Propriétés : toute situation de proportionnalité entre deux variables est modélisable par une fonction linéaire. toute situation de proportionnalité entre les accroissements de deux variables est modélisable par une fonction affine.

9 5. Inéquations 5.a) inégalité et inéquation Une inégalité est une affirmation qui utilise un des signes suivant «<, >,,», et qui peutêtre vrai ou fausse. (Exemple : 8<1 est une inégalité fausse ; 8>1 est une inégalité vrai ) Une inéquation est une inégalité où figure une inconnue. Cette inconnue est souvent notée x. (Exemple : x²>0 ; 2.x+1 0 ) Résoudre une inéquation d inconnue x, c est trouver toutes les valeurs possibles de x, telles que l inégalité associée soit vrai. Ces valeurs sont les solutions de l inéquation. (Exemple : Les solutions de l inéquation x² 0 sont tous les nombres réels ) 5.b) Inéquation du premier degré On appelle inéquation du premier degré une inéquation du type a.x+b 0 (ou >0), avec a et b deux réels, et a un réel non nul. Propriété : L inéquation a.x+b 0, admet comme ensemble de solution un intervalle. Si a est strictement positif, alors l ensemble de solution est l intervalle [-b/a, + [ Si a est strictement négatif, alors l ensemble de solution est l intervalle [-, -b/a] Règle : Le produit ou le quotient de deux réels de même signe est positif. Le produit ou le quotient de deux réels de signe contraire est négatif. (Exemple : ) 5.c) Méthode de résolution d inéquation Méthode de résolution d inéquation du type f(x) k, avec k un réel fixé : Graphique. Tableau. (Lorsque l ensemble de définition de f est fini) Calcul. Méthode de résolution d équation du type f(x) g(x) : Graphique. Tableau. (Lorsque l ensemble de définition de f est fini) Calcul.

10 (Voir page118)