Physique Statistique

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1 Physique Statistique Chapitre 9 Gaz idéal de Bosons et de ermions Introduction Il existe deux types de particules en physique : Les fermions ont un spin entier : e a un spin s =, He 3 a un spin s = Les bosons ont un spin entier : He 4 a un spin s = Il ne peut y avoir qu un fermion dans un état donné Il n y a pas de limite au nombre de bosons dans un état donné Nous avons vu que le taux d occupation d une orbitale d énergie ε à la température τ est donné par : Pour les fermions : f () = exp µ + Pour les bosons : f () = exp µ La limite classique est obtenue quand, ou grand. Dans ce cas, les deux fonctions ont la même limite : f () = exp µ =.exp = n exp n q << avec = exp µ m Ce qui revient à dire que n << n q = Par contre les statistiques de ermi-dirac et Bose-Einstein s appliquent quand n n q, ou quand = m n 3/ q Par exemple pour He-4 : v = 7,8cm 3.mole, et T = 5, 9K Pour les électrons dans du cuivre : n 8, 5. e.cm 3, et T =K. Donc à température ambiante, les électrons dans un métal sont dans un régime quantique. Un gaz dans un régime quantique est dit dégénéré. /3 Gaz de fermions. Etat fondamental en 3D

2 Nous avons vu qu à T = K, la fonction f () = pour < µ. Toutes les orbitales < µ sont occupées. Le niveau de ermi est donné par µ =. La température de ermi est donnée par =. On en déduit : T = k. f (ε) µ= ε ε Nous avons vu au chapitre 3, paragraphe 5, que pour un gaz parfait monoatomique que : n = m... (n x + n y + n z ). A T = K, tous les niveaux n < n sont occupés. L La sphère de rayon n dans l espace des entiers n x, n y, n z sépare les états pleins et vides. On en déduit : = m L n avec V = L 3 Le nombre total d électrons dessous le niveau de ermi sera : N = n 3 = 3 n 3 Le chiffre provient du fait que les électrons ont deux spins pour la même énergie Le rapport 8 provient du fait que les n x, n y, n z sont positifs, on n utilise que 8 du volume de la sphère. 4 3 n 3 est le volume de la sphère de ermi de rayon n. On en déduit donc : n = 3N /3 D où : = m L 3N & /3 = ( m 3 n) /3 avec n = N V = N L 3 Exemple : le cuivre Dans le cuivre, il y a environ un électron libre par atome de cuivre.

3 La masse molaire du cuivre est M = 63, 5g.mole, et la masse volumique du cuivre est = 8, 96g.cm 3. Donc : n = M = 8, 49. cm 3 D où : =,. 8 J = 7, ev et T = 8K Quelle est l énergie des fermions à OK, c est à dire à l état fondamental f () =? n U = n = D(n) n dn nn avec : D(n)dn = 8 4n dn = n dn, le nombre d états compris entre n et n + dn D (n) est la densité d états dans l espace des n. n U = n ' m L. n dn = ' n 3 n 4 dn = 3 ml m L n 5 Nous avons plus haut que n 3 = 3N d où : U = 3 n N m L Or = m L n Donc : U = 3 5 N L énergie moyenne par électron sera : U N = 3 5. Densité d états Soit N() le nombre d orbitales dont l énergie est. Le nombre d orbitales par unité d énergie est : D() = dn(), c est la densité d orbitales ou la densité d états. d Nous avions vu que n = 3N /3, ceci est également vrai pour N(), donc : n() = 3N() /3 Nous avions vu que = ( m 3 n) /3 De la même manière : = m 3 N() V /3 3

4 D où : N() = V m 3 inalement : D() = dn() d 3/ = V m 3./ / Autre méthode de calcul : Nous avons : N() = V 3/ m que l on peut ré-écrire : N() = V m 3 3 En prenant le logarithme : ln N() = 3 ln + Cte En dérivant : dn() N = 3 d inalement : D() = dn() d = 3 N() En remplaçant N() par sa valeur : D() = V m 3./ / 3/ 3/.3 Calcul de l énergie cinétique du gaz d électrons dans l état fondamental : T=K L énergie cinétique du gaz de fermions à K U = f ()D() d A T =, si, alors f () =, si >, alors f () =. Donc l intégration peut se faire entre et. D() = V m U = V m..3./ 3./ / ' 3/ d = V m..3./ 5 5/ /3 Or, nous avons vu que = m 3 N() donc : = V m 3 N V U = 3 3 N 5 m V &./3 N ou U= Nε 5 3./3 La vitesse de ermi est donnée par : 4

5 = mv d où v = m /.4 Application au calcul de la chaleur spécifique d un gaz d électrons Quand la température passe de à, l énergie interne du gaz de N électrons augmente : U =U( )U() U = f ()D() d D() d Or on a : N = f ()D()d = D()d le premier terme est pour T >, alors que le deuxième est pour T = On multiplie les trois membres par ε : N = f ()D()d = D()d En soustrayant terme à terme à U la relation ci-dessus, on obtient : U N = f ()D()( )d D()( )d Le premier terme dépend de la température par f (), alors que le deuxième est indépendant de la température. Donc la chaleur spécifique d un gaz d électrons est : C élec = d(u) dt = k d(u) d = k ( )D() df () d d En général pour les métaux <<, donc la fonction df () d est très petit, et n est appréciable que vers = Puisque <<, alors on peut faire l approximation : D() = D( ). On a alors : df () C élec = kd( ) ( ) d d Or pour un gaz de fermions : f () = exp µ + f () = exp µ + On montre qu aux basses températures : µ =, donc : f () = exp + 5

6 On a df () d = ( )exp exp +' & ( ). exp ( Donc : C élec = kd( ) ) d exp +' & On pose : x = donc dx = d x.e x C élec = k D( ) dx e x + ( ) Or nous avons vu que <<, alors x.e x x.e dx = x dx = e x + ( e x +) 3 ( ) Nous avions vu que D() = 3 N Donc : C élec = k N = k N T T La chaleur spécifique des électrons est proportionnelle à la température, alors que pour les solides elle est proportionnelle au cube de la température. Exemple : Chaleur spécifique des métaux On peut écrire la chaleur spécifique d un métal sous la forme : C v = T + AT 3 avec = Nk T Le premier terme de droite est dû aux électrons, et le second aux vibrations du réseau. Le premier terme domine à basses températures 6

7 3 Gaz de Bosons 3. Potentiel chimique à T=K Au zéro absolu, les N bosons occupent l état fondamental. A une température proche du zéro, mais non nulle, certaines molécules occupent des orbitales d énergie plus élevée. Le taux d occupation est donné par : f (, ) = exp µ Le nombre de particules occupant l état fondamental = est donné par : f (, ) = exp µ Quand la température, on peut écrire : lim f (, ) = N = lim µ = µ Nous savons qu au zéro absolu toutes les N particules sont dans l état fondamental, donc lim f (, ) = N, mais en développant l exponentielle, on obtient aussi : lim f (, ) = lim µ = µ Il faut donc que µ << On aura N = µ d où µ = N Exemple : l hélium-4 N = cm 3 Si T =K on obtient : µ =, J µ = µ kt = <<, l approximation est donc justifiée. 3. Occupation des orbitales en fonction de la température a) Densité d états pour un gaz de bosons On fait le même raisonnement qu avec les fermions, mais cette fois, il n y a pas de dégénérescence dû a spin. On a donc : D() = V m 4 3./ / b) Condensation de Bose-Einstein On sépare l occupation en deux contributions : N = N ( )+ N e ( ) N ( ) est le nombre de bosons dans la phase condensée au niveau fondamental N e ( ) est le nombre de bosons dans la phase normale excitée ; 7

8 On a : N ( ) = exp µ et N e ( ) = D() f (, )d f ( ε, τ) est la fonction de distribution d une distribution de Bose-Einstein Donc : N e ( ) = V m 4..3./ ) ( / e 'µ/.e / '.d Si N ( ) est grand, alors : µ << donc : eµ/ On pose x = On en déduit : N e ( ) = V 3./ m 3/ ( x ) / 4 e x. ' dx x / / Or : dx =,36. e x Le nombre de bosons dans l état excité est : m N e ( ) =, 6.n q V avec n q = Donc : N e N =, 6n qv N =, 6 n q n Température de condensation de Bose-Einstein C est la température e telle que N e ( e ) = N Donc : N e N =, 6 n q n =, 6 m 3/ e = n = N V e = m 3/ N, 6V N On peut réécrire : e N =, 6 n q n e Le nombre de bosons dans l état fondamental est : Pour l hélium-4, on trouve T e = 3K 3/ /3 ( N = N N e = N * ' )* e & 3/ + -,- 8